Exercicis: Operacions amb fraccions

En un berenar amb amics, s'han comprat diverses pizzes de la mateixa mida, totes tallades en 8 racions iguals.

• Marcos ha menjat $\frac{3}{8}$ d'una pizza.

• Sara ha menjat $\frac{2}{8}$ d'una pizza.

Calcula quina fracció de pizza han menjat entre tots dos i quantes racions queden si només s'havia obert una pizza.

Per a un projecte de Plàstica, un grup d'alumnes té una caixa amb $60$ retoladors. Si han gastat $\frac{2}{5}$ dels retoladors per fer un mural, quants retoladors han utilitzat en total?

Calcula les sumes i restes de fraccions següents amb el mateix denominador, simplificant el resultat quan sigui possible:

1. a) $\frac{5}{12} + \frac{1}{12}$

1. b) $\frac{11}{15} - \frac{4}{15}$

1. c) $\frac{7}{9} + \frac{2}{9} - \frac{4}{9}$

Una jove influencer dedica la seva tarda a organitzar els seus vídeos. Gasta $\frac{1}{4}$ del temps a gravar, $\frac{1}{3}$ a editar i la resta del temps la fa servir per respondre comentaris. Calcula quina fracció del temps total dedica a gravar i editar (recorda cercar un denominador comú).

Realitza les multiplicacions de fraccions següents i simplifica els resultats fins a arribar a la fracció irreductible:

1. a) $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}$

1. b) $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}$

1. c) $5 \cdot \frac{3}{10}$

A la cuina d'una cafeteria volen repartir $3$ litres de suc de taronja en gots de $\frac{1}{4}$ de litre cadascun. Quants gots podran omplir completament? Il·lustra el teu raonament dividint cada litre en parts. A la figura tens els $3$ litres en tres ampolles d'$1$ L; pots copiar-la al teu quadern i dividir cada ampolla.

Resol aquestes divisions utilitzant el producte en creu:

1. a) $\frac{4}{5} : \frac{2}{3}$

1. b) $\frac{1}{6} : \frac{1}{2}$

1. c) $\frac{3}{7} : 3$

Una bateria de tauleta indica que li queda $\frac{7}{10}$ de càrrega. Si després de veure uns vídeos ha consumit $\frac{2}{5}$ de la càrrega total, quina fracció de bateria li queda encara? (Ajuda: transforma $\frac{2}{5}$ en una fracció amb denominador $10$).

En una festa d'aniversari han sobrat dues plates amb porcions de truita de patates de la mateixa mida: en una queda $\frac{1}{2}$ de truita i en l'altra queda $\frac{1}{4}$. En Sergio vol calcular quanta truita queda en total i escriu al seu quadern:

1. a) Sense fer operacions per escrit, explica per què el resultat d'en Sergio és impossible en la realitat (pensa si en ajuntar menjar és lògic obtenir menys de la meitat de truita que ja tenies a la primera plata).
2. b) Explica quin ha estat l'error matemàtic d'en Sergio en operar amb les fraccions.
3. c) Resol la suma correctament reduint a comú denominador i expressa el resultat en forma de fracció irreductible.

Per preparar una beguda isotònica al laboratori de l'institut, aboques en un gerro de $2$ litres de capacitat primer $\frac{4}{5}$ de litre d'aigua mineral i, a continuació, hi afegeixes $\frac{7}{10}$ de litre de suc de taronja.

1. a) Estima: Abans de calcular amb exactitud, raona si el gerro s'arribarà a desbordar (és a dir, si la suma superarà els $2$ litres) i si el volum final serà més gran, més petit o igual que $1$ litre i mig ($\frac{3}{2}$ de litre). Justifica la teva estimació comparant mentalment cada fracció amb la unitat o amb la meitat.
2. b) Calcula: Troba la quantitat exacta de líquid al gerro sumant les fraccions amb el mínim comú múltiple. Expressa el resultat com a fracció irreductible.
3. c) Comprova: Converteix la teva fracció a nombre decimal i comprova si confirma la teva estimació de l'apartat a).

Per preparar un refresc tropical, un grup d'amics barreja $\frac{3}{4}$ de litre de suc de pinya, $\frac{1}{3}$ de litre de suc de taronja i $\frac{5}{6}$ de litre d'aigua amb gas. Si després de barrejar-ho tot, es beuen $\frac{2}{5}$ de litre abans de ficar-ho a la nevera, quina quantitat de refresc queda en total? Expressa el resultat simplificat en litres.

Una plataforma de streaming divideix el seu catàleg de sèries en tres parts: $\frac{2}{5}$ són d'acció, $\frac{1}{3}$ són de comèdia i la resta són documentals. Si un usuari ja ha vist $\frac{3}{4}$ de totes les sèries d'acció disponibles, quina fracció del total del catàleg representen les sèries d'acció que encara no ha vist?

Calcula el resultat de l'operació combinada següent, respectant la jerarquia de les operacions i simplificant el resultat final fins a obtenir la fracció irreductible:

Un jardiner ha gastat $\frac{2}{9}$ dels estalvis que tenia per a eines a comprar un tallagespa i $\frac{3}{10}$ del pressupost inicial en unes tisores de podar. Si encara li queden $172$ € al seu pressupost, quants diners tenia al principi?

(Pista: Calcula primer quina fracció del total ha gastat sumant totes dues quantitats).

Aplica les propietats de les potències i arrels per simplificar l'expressió numèrica següent:

Al taller de tecnologia, es tallen llistons de fusta. Tenim un llistó de $\frac{15}{2}$ metres de llarg i el volem dividir en trossos iguals que mesurin $\frac{3}{4}$ de metre cadascun. Quants trossos complets obtindrem? Sobrarà fusta?

Troba el valor de la incògnita $x$ en la igualtat d'operacions amb fraccions següent:

Un dron s'enlaira des del terra i ascendeix fins a una altura de $12$ metres. Després, a causa d'una ràfega de vent, descendeix $\frac{14}{3}$ de metre. Si després torna a pujar una altura igual a $\frac{2}{5}$ de la posició en què es trobava després del descens, a quina altura sobre el terra es troba el dron finalment?

A la classe de Matemàtiques es planteja resoldre la següent operació combinada:

Dos companys de classe defensen estratègies diferents:

• La Sofía multiplica primer en línia els numeradors i els denominadors del parèntesi, i després aplica la divisió multiplicant en creu els nombres grans per simplificar al final de tot.

• La Lucía transforma la divisió en una multiplicació per la inversa, descompon els nombres en factors primers per simplificar factors comuns a dalt i a baix abans de multiplicar, i calcula al final.

1. a) Resol l'operació seguint pas a pas el procediment de la Sofía.
2. b) Resol l'operació seguint el procediment de la Lucía, indicant clarament com simplifiques abans d'operar.
3. c) Compara els dos camins: quin dels dos resulta més eficaç i redueix el risc de cometre errors de càlcul amb nombres grans? Justifica la teva resposta.

Volem resoldre un repte de lògica amb fraccions: troba dues fraccions unitàries diferents (és a dir, de la forma $\frac{1}{a}$ i $\frac{1}{b}$, amb numeradors iguals a $1$ i denominadors naturals diferents) que compleixin aquestes dues condicions alhora:

1. El seu producte sigui exactament $\frac{1}{12}$.

2. La seva diferència (la més gran menys la més petita) sigui exactament $\frac{1}{12}$.

1. a) Dedueix raonadament quins nombres han de ser $a$ i $b$ analitzant els divisors del denominador comú.
2. b) Fes les operacions i comprova que totes dues fraccions compleixen alhora la condició del producte i de la resta.
3. c) Raona per què seria impossible que la suma de dues fraccions positives donés com a resultat una fracció menor que qualsevol de les dues fraccions inicials.

L'editorial d'una revista juvenil està analitzant la procedència dels seus lectors. Sap que $\frac{2}{5}$ del total viuen a Espanya. De la resta dels seus lectors, $\frac{3}{8}$ viuen en països de Llatinoamèrica. Si encara queden $1.500$ lectors que viuen a la resta del món, quants lectors té en total la revista?

Calcula el resultat de l'operació combinada següent, simplificant el resultat fins a obtenir la fracció irreductible:

En un laboratori de química, un recipient $A$ conté $\frac{3}{4}$ de litre d'alcohol, i un recipient $B$ conté $\frac{2}{3}$ de litre d'aigua. Es transvasa la meitat del contingut del recipient $A$ al recipient $B$. Quina fracció de litre de mescla hi ha ara al recipient $B$? Si després es vessa $\frac{1}{5}$ de la mescla total de $B$, quants litres queden en aquest recipient?

Un arquitecte està dissenyant una casa sostenible. El jardí ocupa les $\frac{2}{7}$ parts de la parcel·la total. La casa ocupa les $\frac{3}{5}$ parts de la superfície restant. Si el garatge i la piscina ocupen els $120$ $m^2$ finals, quina és la superfície total de la parcel·la?

Troba el valor de l'expressió següent amb potències i arrels de nombres racionals. Recorda aplicar la jerarquia de les operacions i simplificar al màxim:

Tres amics, Alba, Bruno i Carla, compren una pizza gegant per sopar. L'Alba es menja $\frac{1}{4}$ de la pizza. En Bruno es menja $\frac{1}{3}$ del que queda. La Carla es menja les $\frac{2}{5}$ parts del que queda després de menjar l'Alba i en Bruno.

1. a) Quina fracció de la pizza ha sobrat?

1. b) Si la pizza pesava $1,2$ kg, quants grams s'ha menjat cadascun?

Un ciclista recorre una etapa de $120$ km en tres trams. En la primera hora recorre $\frac{2}{5}$ del trajecte. En la segona hora, a causa del cansament, la seva velocitat disminueix i només recorre $\frac{1}{3}$ de la distància que li faltava per cobrir. Quants quilòmetres li queden per recorrer per a la tercera hora? Quina fracció del total representa aquest últim tram?

Calcula el valor de la incògnita $x$ en la igualtat d'operacions amb fraccions següent:

Segons les dades de gestió d'una confederació hidrogràfica a Espanya, un embassament comença la tardor amb una certa reserva d'aigua embassada. Durant el mes d'octubre es registren els següents moviments:

• S'allibera $\frac{3}{8}$ de l'aigua inicial per a reg agrícola i cabal ecològic del riu.

• De l'aigua que queda a l'embassament després del reg, se n'evapora $\frac{1}{5}$ a causa de les altes temperatures tardanes.

• A finals de mes, un temporal de pluges aporta un volum d'aigua equivalent a $\frac{1}{4}$ de l'aigua que hi havia inicialment a primers de mes.

Després d'aquests canvis, l'embassament emmagatzema exactament $150\text{ hm}^3$ (hectòmetres cúbics) d'aigua.

1. a) Escriu una única expressió combinada amb fraccions que representi la fracció de l'aigua inicial que quedava just abans que comencés el temporal de pluja.
2. b) Determina quina fracció del volum inicial hi ha a l'embassament en finalitzar l'octubre.
3. c) Calcula quants hectòmetres cúbics d'aigua contenia l'embassament a començaments de mes.
4. d) Justifica si al llarg del mes l'embassament ha guanyat o ha perdut aigua respecte al seu nivell inicial comparant la fracció obtinguda amb la unitat.

Un tren d'alta velocitat de Renfe surt de Madrid cap a Sevilla amb totes les places ocupades i fa només dues parades intermèdies durant el trajecte:

• A la primera parada (Ciudad Real), baixa exactament $\frac{1}{4}$ dels viatgers i no en puja cap.

• A la segona parada (Córdoba), baixa una fracció desconeguda $\frac{a}{b}$ de les persones que viatjaven en aquell moment al tren i tampoc no en puja ningú.

• El tren arriba a la seva destinació final a Sevilla amb $120$ passatgers, la qual cosa representa exactament $\frac{2}{5}$ del total de viatgers que van iniciar el viatge a Madrid.

1. a) Dedueix quants viatgers hi havia en total al tren en sortir de Madrid.
2. b) Calcula quantes persones viatjaven al tren just després de sortir de la parada de Ciudad Real.
3. c) Quina fracció del passatge inicial de Madrid van representar els viatgers que van baixar a Córdoba?
4. d) Determina el valor de la fracció desconeguda $\frac{a}{b}$, és a dir, quina fracció dels viatgers que hi havia en aquell moment al tren va baixar a Córdoba. Expressa el resultat com a fracció irreductible i justifica cada pas.

Repte del tema. Com gestiona la teva llar els recursos? Converteix-te en auditor ambiental analitzant el consum d'aigua de casa teva i contrastant-lo amb dades oficials.

1. Recollida de dades: Consulta al web de l'INE el consum mitjà d'aigua a Espanya (aprox. $133$ litres per persona i dia) o anota la lectura del comptador de casa teva durant dos dies consecutius per calcular la despesa diària real.

2. Fraccions i racionals: Estima i classifica el repartiment de l'aigua per activitats (dutxa, cisterna, cuina, neteja). Expressa cada ús com una fracció del total i simplifica-la fins a obtenir la seva fracció irreductible, justificant la seva pertinença al conjunt dels nombres racionals ($\mathbb{Q}$). Obtén a més dues fraccions equivalents per a cada cas amplificant els valors.

3. Càlcul amb decimals: En un full de càlcul, sabent que el preu mitjà del $m^3$ ($1000$ litres) és d'$1,97$ €, opera amb decimals per calcular el cost diari de cada ús i la factura estimada d'un mes ($30$ dies).

4. Proposta raonada: Redacta un informe breu proposant un pla per reduir $2/15$ del consum i calcula amb decimals l'estalvi mensual en euros.

Es valorarà:

• L'obtenció rigorosa de fraccions irreductibles i equivalents a partir de dades reals.

• La correcció en les operacions combinades amb nombres decimals.

• L'organització clara de les dades en el full de càlcul i la viabilitat de la proposta.