Exercicis: Concepte

Observa la figura següent, que representa una rajola de xocolata. Quina fracció de la rajola queda si ens hem menjat els quadrats que estan ombrejats en taronja? Indica quins són el numerador i el denominador.

Escriu amb xifres les fraccions següents i classifica-les en pròpies o impròpies:

1. a) Tres vuitens.
2. b) Set meitats.
3. c) Onze onzens.
4. d) Quatre novens.

En un equip de bàsquet hi ha $12$ jugadors. Si $5$ d'ells mesuren més de $1,80$ metres, escriu la fracció que representen els jugadors que mesuren menys o igual a aquesta alçada.

Representa gràficament a la teva llibreta les fraccions següents utilitzant rectangles o cercles:

1. a) $\dfrac{2}{5}$

1. b) $\dfrac{5}{4}$

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Calcula el valor numèric d'aquestes fraccions (com a nombre enter o decimal):

1. a) $\dfrac{15}{3}$

1. b) $\dfrac{1}{4}$

1. c) $\dfrac{18}{2}$

1. d) $\dfrac{3}{10}$

Relaciona cada fracció impròpia amb el seu nombre mixt corresponent:

Quina fracció d'una hora representen els intervals de temps següents? (Expressa la fracció de la forma més senzilla que sàpigues).

1. a) $30$ minuts.
2. b) $15$ minuts.
3. c) $20$ minuts.
4. d) $10$ minuts.

Al menjador escolar es repartiran a parts iguals $3$ panades idèntiques entre $4$ comensals. En organitzar el repartiment, en Lucas afirma: «A cadascú ens pertoquen $\frac{4}{3}$ de panada, perquè som $4$ persones i tenim $3$ panades».\na) Identifica l'error conceptual que comet en Lucas en assignar els nombres al numerador i al denominador, i explica què representa cadascun d'aquests termes en la fracció.\nb) Classifica la fracció proposada per en Lucas ($\frac{4}{3}$) en pròpia o impròpia. A partir d'aquesta classificació, justifica per què la seva afirmació és impossible a la pràctica si només disposen de $3$ panades.\nc) Escriu la fracció correcta que li correspon a cada comensal i calcula el seu valor decimal exacte per comprovar quanta panada menja cadascú.

En una escola esportiva municipal d'atletisme se sap que $\frac{3}{5}$ de l'alumnat inscrit són noies. El registre de secretaria confirma que hi ha exactament $27$ noies inscrites.\na) A partir d'aquestes dades, dedueix quantes persones hi ha inscrites en total a l'escola esportiva. Explica detalladament el raonament que segueixes: quina quantitat representa $\frac{1}{5}$ del total i com s'obté el total complet ($\frac{5}{5}$).\nb) Quina fracció del total representen els nois inscrits i quants nois són?\nc) Si una persona afirmés que en aquesta mateixa escola hi ha $20$ noies inscrites mantenint exactament la fracció de $\frac{3}{5}$, raona per què aquesta situació seria numèricament impossible en la realitat.

En una plataforma de videojocs digitals, la Lucía té estalviats $180$ tòkens. Decideix gastar $\frac{4}{9}$ dels seus tòkens en una nova skin per al seu personatge i $\frac{2}{5}$ del que li queda a millorar el seu equip de protecció. Quants tòkens ha gastat en total i quants li sobren al final?

Observa la figura següent i determina quina fracció de l'àrea total del rectangle representa la zona ombrejada en taronja. Tingues en compte que per resoldre-ho hauràs d'imaginar una subdivisió de la figura en parts iguals.

Un grup d'amics ha comprat diverses ampolles de refresc per a una festa. Cada ampolla té una capacitat de $\frac{1}{4}$ de litre. Si han consumit un total de $19$ ampolles, expressa aquesta quantitat mitjançant una fracció impròpia i mitjançant un nombre mixt. Quants litres complets han begut?

Representa en una mateixa recta numèrica els nombres racionals següents. Per a fer-ho, dibuixa la recta al teu quadern i utilitza una escala adequada (per exemple, que cada unitat mesuri $4$ cm, de manera que cada quart d'unitat mesuri $1$ cm):

1. a) $A = \frac{3}{4}$

1. b) $B = -\frac{1}{2}$

1. c) $C = \frac{9}{4}$

1. d) $D = -1,25$

Tres alumnes estan descarregant el mateix videojoc als seus ordinadors a la vegada. Al cap d'una hora, les seves barres de progrés indiquen el següent:

• Ordinador A: Ha descarregat $\frac{5}{8}$ del total.

• Ordinador B: Ha descarregat $\frac{11}{16}$ del total.

• Ordinador C: Ha descarregat $\frac{3}{4}$ del total.

Ordena els tres ordinadors de menor a major quantitat de joc descarregat utilitzant el símbol $<$ i reduint prèviament les fraccions a denominador comú.

Per preparar una recepta de galetes per a $6$ persones, es necessiten $\frac{3}{4}$ de kg de farina. Si volem adaptar la recepta per convidar $15$ persones:

1. a) Quina fracció de quilo de farina necessitarem?
2. b) Aquesta fracció és més gran o més petita que la unitat? Justifica si és una fracció pròpia o impròpia.

Identifica si les parelles de fraccions següents són equivalents utilitzant el mètode dels productes creuats:

1. a) $\frac{12}{15}$ i $\frac{4}{5}$

1. b) $\frac{7}{3}$ i $\frac{21}{6}$

1. c) $\frac{10}{25}$ i $\frac{6}{15}$

Per al cas que no sigui equivalent, indica quina de les dues fraccions és més gran.

Escriu una fracció que compleixi simultàniament les tres condicions següents:

1. El seu denominador és el nombre primer més proper a $10$.

2. És una fracció impròpia.

3. El numerador és un múltiple de $4$ comprès entre $13$ i $22$.

Existeix més d'una solució? Troba-les totes i expressa-les en forma de nombre mixt.

Una etapa de muntanya de La Vuelta Ciclista a España té un recorregut total de $176\text{ km}$. La retransmissió televisiva informa que els ciclistes al capdavant ja han completat $\frac{5}{8}$ de l'itinerari previst.\na) Sense realitzar encara la divisió exacta, estima si han superat o no la meitat de l'etapa ($88\text{ km}$) comparant la fracció $\frac{5}{8}$ amb $\frac{1}{2}$. Justifica la teva conclusió.\nb) Estima raonadament entre quines dues desenes de quilòmetres consecutives ($100$ i $110\text{ km}$, $110$ i $120\text{ km}$, etc.) s'ha de trobar la distància recorreguda.\nc) Calcula el valor exacte dels quilòmetres recorreguts aplicant la fracció com a operador sobre la distància total.\nd) Comprova si la teva estimació prèvia ha estat encertada i calcula quants quilòmetres els falten per creuar la línia de meta, expressant la distància restant com a fracció irreductible del total.

Per organitzar una excursió escolar, l'equip docent ha de calcular els $\frac{2}{5}$ dels $135$ estudiants d'1r d'ESO matriculats al centre, que viatjaran en el primer torn d'autobusos.\nDos estudiants de la classe plantegen estratègies diferents per calcular aquesta xifra:\n- La Lucía diu: «Primer divideixo $135$ entre $5$ per calcular quant és un cinquè del total i després multiplico aquest resultat per $2$».\n- En Marcos diu: «Primer multiplico $135$ per $2$ i després divideixo el nombre obtingut entre $5$».\na) Desenvolupa ambdós mètodes pas a pas i comprova si tots dos condueixen al mateix resultat.\nb) En el mètode de la Lucía, quin significat concret té el resultat intermedi obtingut després de la primera operació ($135 : 5$)?\nc) Suposa ara que s'ha de calcular els $\frac{2}{5}$ d'un pressupost sobrant de $19\text{ \euro}$. Si apliques el mètode de la Lucía obtens un nombre decimal en el primer pas ($19 : 5 = 3,8$), mentre que amb el d'en Marcos el primer pas dona un enter ($19 \cdot 2 = 38$). Quin dels dos mètodes triaries en aquest segon cas per fer el càlcul mentalment de manera més còmoda i per què?

La Marina ha decidit organitzar el seu temps d'estudi setmanal de la manera següent: dedica $\frac{2}{5}$ del temps total a matemàtiques. Del temps restant, utilitza $\frac{1}{3}$ per a llengua. Si encara li queden $8$ hores setmanals per a la resta de matèries, quin és el temps total, en hores, que dedica a l'estudi a la setmana? Representa mitjançant un esquema de barres quina fracció del total representen les $8$ hores finals.

Troba una fracció equivalent a $\frac{4}{9}$ tal que la suma del seu numerador i el seu denominador sigui exactament $104$. Una vegada trobada, determina si aquesta fracció és pròpia o impròpia i justifica si el seu valor decimal és més gran o més petit que $0,5$.

Observa la recta numèrica següent on s'han representat diversos punts. El punt $A$ correspon al nombre $-1$ i el punt $B$ correspon al nombre $0$. Si el segment entre $A$ i $B$ es divideix en $12$ parts iguals, indica quina fracció irreductible representen els punts marcats amb un cercle taronja. Quin nombre mixt representaria un punt situat $5$ divisions a l'esquerra del punt $A$?

Una ONG reparteix els $48.000$ € recaptats en una cursa solidària entre tres projectes. Al primer li correspon $\frac{3}{8}$ del total. Al segon, $\frac{5}{12}$ del total. Quina fracció del total li correspon al tercer projecte? Quants diners rep cadascun? Expressa les tres quantitats com a fraccions de denominador comú $24$ per comparar quin projecte ha rebut més de forma visual.

En una competició de robòtica, els prototips han de recórrer un circuit de $60$ metres. El robot A ha recorregut $\frac{7}{10}$ del circuit, el robot B ha recorregut $45$ metres i el robot C ha recorregut $\frac{3}{4}$ de la distància que li faltava al robot A per acabar. Ordena els robots de més gran a més petita distància recorreguda i expressa la posició del robot C com una fracció del total del circuit.

Un agricultor té una parcel·la quadrada de $10.000$ $m^2$. Decideix dedicar $\frac{1}{4}$ de l'àrea a cultivar hortalisses. De la resta de la parcel·la, divideix el terreny en $5$ parts iguals per plantar diferents arbres fruiters. Quina fracció del terreny total representa cadascuna de les parts dedicades als fruiters? Si cada fruiter necessita $20$ $m^2$ d'espai, quants arbres podrà plantar en una d'aquestes cinc parts?

Considera les fraccions $\frac{2}{3}$ i $\frac{3}{4}$.

1. a) Calcula els seus valors decimals.
2. b) Troba una fracció amb denominador $24$ que estigui just al punt mitjà entre totes dues.
3. c) Aquesta fracció és més gran o més petita que $\frac{5}{7}$? Justifica la teva resposta comparant els productes encreuats.

Imagina un rellotge de paret.

1. a) Quina fracció d'una volta completa representen els minuts transcorreguts entre les 12:15 i les 12:50? Expressa el resultat com a fracció irreductible.
2. b) Si l'agulla dels minuts ha recorregut $\frac{5}{6}$ d'hora, quants graus ha girat? (Recorda que una volta completa són $360^\circ$).
3. c) Si una tasca escolar et porta $\frac{3}{10}$ d'hora i una altra et porta $\frac{1}{4}$ d'hora, quina fracció d'hora et sobra si disposes d'una hora completa per estudiar?

Segons dades hidrològiques oficials, un embassament té una capacitat màxima d'emmagatzematge de $240\text{ hm}^3$. Després d'una època de sequera, l'embassament emmagatzema únicament $\frac{3}{10}$ de la seva capacitat total. Al llarg d'una setmana amb borrasques abundants, els rius aporten a l'embassament un volum d'aigua equivalent a $\frac{1}{4}$ de la capacitat màxima d'aquest. Durant aquesta mateixa setmana, per atendre les necessitats de consum urbà i reg, es desembassen $18\text{ hm}^3$.\na) Modela la situació plantejant una única expressió aritmètica que combini les fraccions i les dades proporcionades per determinar el volum final d'aigua emmagatzemada.\nb) Calcula quants $\text{hm}^3$ d'aigua conté l'embassament en acabar aquesta setmana.\nc) Expressa el volum d'aigua final com una fracció pròpia irreductible de la capacitat total de l'embassament.\nd) El protocol de sequera de la conca estipula que una comarca passa a 'situació de normalitat' únicament si l'embassament supera la meitat de la seva capacitat total. Justifica matemàticament si l'embassament ja ha assolit la situació de normalitat o si continua per sota d'aquesta.

En una envasadora d'aliments es comercialitzaran pots de llegums cuits a partir d'un gran dipòsit. Es barallen dos formats d'envasament:\n- El format estàndard té una capacitat de $\frac{3}{4}\text{ kg}$.\n- El format familiar té una capacitat d'$1 + \frac{1}{8}\text{ kg}$.\nEl responsable de producció observa que si s'utilitza el format familiar es necessiten exactament $6$ pots menys que si s'utilitza el format estàndard per envasar tot el contingut del dipòsit.\na) Expressa la capacitat del format familiar com a fracció impròpia i transforma la capacitat del format estàndard a una fracció equivalent amb denominador $8$. Quants vuitens de quilogram conté cada format?\nb) A partir de les fraccions obtingudes en vuitens, raona quants pots estàndard es necessiten per envasar exactament la mateixa quantitat de llegum que contenen $2$ pots familiars.\nc) Dedueix quants pots de cada tipus es necessitarien perquè la diferència entre ambdós formats sigui de $6$ pots en total. Explica la teva deducció amb claredat.\nd) Quants quilograms de llegums hi havia al dipòsit? Expressa la quantitat com a nombre mixt i com a nombre decimal exacte.