Exercicis: El conjunt dels nombres racionals

En una pizzeria, han dividit una pizza familiar en $8$ porcions idèntiques. Si Marcos s'ha menjat $3$ porcions, expressa mitjançant una fracció la part de pizza que ha consumit i identifica clarament quin és el numerador i quin és el denominador. Com es llegeix aquesta fracció?

Observa la figura geomètrica següent i escriu al teu quadern la fracció que representa la zona ombrejada de color taronja.

Classifica les fraccions següents en pròpies, impròpies o iguals a la unitat:

1. a) $\dfrac{4}{7}$

1. b) $\dfrac{9}{9}$

1. c) $\dfrac{11}{3}$

1. d) $\dfrac{2}{5}$

Estem preparant una festa i comprem paquets de refrescos. Cada paquet té $6$ llaunes. Si per a la festa necessitem utilitzar $\dfrac{12}{6}$ de paquets, quants paquets enters de refrescos hem de comprar? És aquesta fracció un nombre natural?

Representa gràficament al teu quadern, utilitzant quadrats o rectangles, les fraccions següents:

1. a) $\dfrac{3}{4}$

1. b) $\dfrac{5}{2}$ (Pista: necessitaràs dibuixar més d'una figura sencera).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Indica quina fracció d'hora representen els intervals de temps següents (recorda que una hora té $60$ minuts):

1. a) $15$ minuts.

1. b) $30$ minuts.

1. c) $10$ minuts.

1. d) $60$ minuts.

Copia al teu quadern la recta numèrica de la figura (amb el 0, l'1 i el 2, i cada unitat dividida en 4 parts iguals) i situa-hi els nombres racionals següents:

$A = \dfrac{1}{2}$

$B = \dfrac{3}{4}$

$C = \dfrac{5}{4}$

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Escriu els nombres naturals següents en forma de fracció (pots fer servir el denominador que prefereixis, sempre que el resultat sigui correcte):

1. a) $3$

1. b) $1$

1. c) $5$

1. d) $10$

La Lucía ha de determinar quin tipus de decimal genera la fracció $\frac{21}{60}$ sense fer la divisió. Al seu examen escriu el següent: «Descomponc el denominador en factors primers: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Com que a la descomposició apareix el nombre primer 3, que és diferent de 2 i de 5, la fracció genera obligatòriament un nombre decimal periòdic». a) Explica detalladament l'error que ha comès la Lucía en el seu raonament. b) Corregeix el procediment simplificant prèviament la fracció i conclou, justificant la teva resposta, quin tipus de nombre decimal s'obté en realitat.

Dissenya dues fraccions diferents que compleixin alhora les tres condicions següents: 1) El denominador de cada fracció ha de ser un nombre enter comprès entre $10$ i $20$. 2) El valor d'ambdues fraccions ha d'estar comprès estrictament entre $0,4$ i $0,6$. 3) Una de les fraccions ha de generar un nombre decimal exacte i l'altra ha de generar un nombre decimal periòdic. Justifica la teva resposta comprovant la factorització dels denominadors un cop reduïdes les fraccions a irreductibles i calcula'n l'expressió decimal.

En Pablo està estudiant els nombres racionals i afirma el següent al seu quadern:

1) «El nombre $A = \frac{-18}{-3}$ no pertany al conjunt dels nombres racionals ($\mathbb{Q}$) perquè la divisió dóna $+6$, i $+6$ és un nombre enter, no una fracció».

2) «El nombre $B = -\frac{5}{-2}$ és negatiu perquè té dos signes menys».

Identifica l'error conceptual que comet en Pablo en cadascuna de les seves afirmacions, explica amb les teves paraules per què està equivocat (recordant la relació entre els nombres enters i els racionals, així com la regla dels signes en les fraccions) i escriu el valor simplificat i el signe definitiu d'$A$ i de $B$.

Un nombre racional es pot escriure en forma de fracció $\frac{a}{b}$, on $a$ i $b$ són nombres enters amb $b \neq 0$. Troba un nombre racional que compleixi alhora les quatre condicions següents:

1) És un nombre estrictament negatiu.

2) El seu valor està comprès entre $-2$ i $-1$ a la recta numèrica.

3) El seu denominador $b$ és un nombre primer menor que $6$.

4) El valor absolut del seu numerador és igual a l'oposat de $-5$.

Escriu la fracció que compleix aquestes condicions, comprova pas a pas que satisfà cadascuna d'elles i explica entre quines dues divisions de la recta numèrica quedaria situada si divideixes cada unitat en tantes parts com indica el seu denominador.

En matemàtiques, els nombres s'organitzen en "famílies" o conjunts. Observa el diagrama de Venn següent que representa els conjunts dels nombres naturals ($\mathbb{N}$), enters ($\mathbb{Z}$) i racionals ($\mathbb{Q}$).

Ubica cadascun dels nombres següents al seu lloc corresponent dins del diagrama:

$-5$, $\frac{12}{4}$, $\frac{3}{7}$, $0$, $-\frac{10}{2}$, $1,25$, $-\frac{1}{4}$, $8$

Tres amics estan completant el «Passe de Batalla» del seu videojoc preferit. Cadascun ha progressat una fracció diferent del total:

• Marcos: ha completat $\frac{12}{18}$ del total.

• Sara: ha completat $\frac{20}{30}$ del total.

• Álex: ha completat $\frac{2}{3}$ del total.

Raona si els tres amics van pel mateix nivell del joc buscant la fracció irreductible de cadascun.

Representa a la recta numèrica següent els punts $A$, $B$, $C$ i $D$ que corresponen a aquests nombres racionals. Cada unitat està dividida en 4 parts iguals.

$A = \frac{3}{2}$

$B = -1,25$

$C = -\frac{1}{4}$

$D = \frac{11}{4}$

En un estudi sobre l'ús del mòbil, s'ha analitzat quina fracció de l'emmagatzematge total ocupen diferents aplicacions al telèfon de la Lucía:

• Xarxes socials: $\frac{3}{10}$ del total.

• Jocs: $\frac{2}{5}$ del total.

• Fotos i vídeos: $\frac{1}{4}$ del total.

1. a) Redueix les fraccions a comú denominador.
2. b) Ordena les categories de major a menor ocupació.
3. c) Queda espai lliure al telèfon? Explica la teva resposta.

Un influencer té $120.000$ seguidors. Dilluns, $\frac{2}{5}$ dels seus seguidors van donar "like" a la seva foto. Dimarts, ho van fer les $\frac{3}{4}$ parts dels que li van donar "like" dilluns.

1. a) Quantes persones van donar "like" dilluns?
2. b) Quantes persones van donar "like" dimarts?
3. c) Quina fracció del total de seguidors representa les persones que van donar "like" dimarts?

Per a una festa d'aniversari s'han comprat diverses pizzes de la mateixa mida. En acabar la festa, han sobrat els trossos següents:

• $\frac{3}{4}$ d'una pizza de pernil.

• $\frac{5}{4}$ de pizzes de pepperoni.

• $\frac{1}{2}$ d'una pizza vegetal.

1. a) Expressa la fracció de pizza de pepperoni com un nombre mixt.
2. b) Si ajuntem totes les sobres, tenim més o menys de 3 pizzes completes? Raona la resposta fent la suma.

Identifica quines de les fraccions següents donaran lloc a un nombre decimal exacte i quines a un decimal periòdic (pur o mixt) sense fer la divisió, fixant-te només en la descomposició dels seus denominadors:

1. a) $\frac{7}{20}$
2. b) $\frac{5}{12}$
3. c) $\frac{11}{25}$
4. d) $\frac{2}{9}$

(Pista: Recorda la regla dels factors 2 i 5 al denominador).

En una competició de salts, els jutges anoten les distàncies de quatre atletes. Alguns resultats es donen en forma de fracció i altres en decimal:

• Atleta 1: $6,4$ metres.

• Atleta 2: $\frac{13}{2}$ metres.

• Atleta 3: $6,35$ metres.

• Atleta 4: $\frac{32}{5}$ metres.

1. a) Passa totes les mesures a forma decimal.

1. b) Quins dos atletes han saltat exactament la mateixa distància?

1. c) Ordena els atletes des del que va saltar menys fins al que va saltar més (si hi ha empat, indica'l).

En una estació meteorològica de Sierra Nevada (AEMET) s'han registrat les següents anomalies tèrmiques en quatre dies consecutius: $-\frac{9}{4}$ ºC, $-\frac{8}{3}$ ºC, $0,75$ ºC i $\frac{7}{5}$ ºC. a) Sense fer divisions amb decimals, estima raonadament entre quins dos nombres enters consecutius es troba cadascuna de les dues anomalies negatives i dedueix quina d'elles correspon a la temperatura més baixa (menor valor). b) Passa totes les fraccions a la seva expressió decimal exacta o periòdica per comprovar amb exactitud la teva estimació prèvia. c) Ordena els quatre registres de menor a major utilitzant el símbol $<$ i indica a quin conjunt numèric més específic (naturals $\mathbb{N}$, enters $\mathbb{Z}$ o racionals $\mathbb{Q}$) pertanyeria el resultat si sumessis les dues anomalies positives.

Per ordenar de menor a major els nombres racionals $-\frac{3}{4}$, $-0,8$, $-\frac{5}{6}$ i $-\frac{7}{10}$, dos alumnes proposen estratègies diferents: - En Javier diu: «És millor calcular l'expressió decimal de cada fracció fent la divisió i comparar tots els nombres en forma decimal». - La Sara diu: «És preferible escriure $-0,8$ en forma de fracció irreductible, reduir les quatre fraccions a comú denominador positiu i comparar-ne els numeradors». a) Aplica el mètode d'en Javier i escriu l'ordre obtingut. b) Aplica el mètode de la Sara per verificar el resultat. c) Quin dels dos mètodes consideres més adequat i precís en aquest cas particular? Justifica la teva resposta analitzant el tipus de decimal que produeix la fracció $-\frac{5}{6}$ i el possible risc d'arrossegament o d'arrodoniment.

En una estació d'aforament de la conca del riu Ebre es registra el descens del cabal en un canal de regatge durant un episodi de sequera. L'informe tècnic indica que la variació acumulada del nivell és de $-\frac{37}{8}$ metres.

1. a) Abans de calcular cap xifra decimal, estima raonadament entre quins dos nombres enters consecutius es troba aquest nombre racional a la recta numèrica i justifica a quin dels dos enters estarà més proper.
2. b) Fes la divisió per obtenir la seva expressió decimal exacta i comprova si la teva estimació ha estat encertada.
3. c) Dibuixa mentalment o descriu com ubicaries exactament aquest punt a la recta numèrica: explica en quantes parts iguals dividiries el segment entre els dos enters i quantes d'aquestes parts comptaries des de l'enter corresponent.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) va registrar durant quatre dies consecutius a Molina de Aragón (Guadalajara) les següents anomalies tèrmiques (variacions respecte a la temperatura mitjana habitual):

• Dilluns: $-\frac{7}{2}$ ºC

• Dimarts: $+\frac{5}{4}$ ºC

• Dimecres: $-\frac{11}{4}$ ºC

• Dijous: $-\frac{8}{5}$ ºC

1. a) Modela l'evolució tèrmica ordenant els quatre dies de menor a major anomalia (des del dia amb la desviació més freda fins al dia amb la més càlida) utilitzant el símbol $<$.
2. b) Divendres es va mesurar una anomalia tèrmica el valor absolut de la qual va ser exactament la meitat que el de dilluns, però amb signe oposat al de dimecres. Expressa l'anomalia de divendres com una fraccióシェル irreductible i raona quin dels quatre dies anteriors va estar més a prop del registre tèrmic de divendres.

En una excavació arqueològica al jaciment d'Atapuerca, s'han classificat diferents troballes mitjançant etiquetes numèriques. Has d'ajudar els investigadors a organitzar aquestes peces a les caixes corresponents (Conjunts numèrics).

Donada la llista d'etiquetes següent:

$A = \frac{-24}{6}$, $B = \frac{15}{3}$, $C = \frac{7}{4}$, $D = \frac{0}{5}$, $E = \frac{-11}{2}$ i $F = \sqrt{144}$

Indica raonadament quins d'aquests nombres pertanyen a cadascun dels conjunts següents, tenint en compte que un nombre pot pertànyer a diversos:

1. Nombres naturals ($\mathbb{N}$)

2. Nombres enters ($\mathbb{Z}$)

3. Nombres racionals ($\mathbb{Q}$)

En el disseny d'un nou xip de memòria, un enginyer necessita ubicar tres sensors en una línia lògica. El sensor A està en la posició $\frac{2}{5}$ i el sensor B en la posició $\frac{3}{5}$.

L'enginyer necessita col·locar un tercer sensor C exactament al punt mitjà entre A i B. A més, ha de col·locar un sensor D que estigui al punt mitjà entre A i C.

Calcula les fraccions que representen les posicions de C i D i representa-les en una recta numèrica dividida adequadament.

Observa la figura geomètrica següent. Si el quadrat gran representa la unitat ($1$), determina quina fracció representa la part ombrejada en taronja. Per resoldre-ho, identifica primer quina fracció del total representa cadascuna de les peces que componen la figura.

Tres amics, la Ioana, el Marcos i el Rayan, estan descarregant un videojoc. Al cap d'una hora, la Ioana ha descarregat $\frac{13}{20}$ del total, el Marcos el $\frac{19}{30}$ i el Rayan ha completat els $\frac{5}{8}$.

1. Ordena els amics de major a menor quantitat descarregada utilitzant el mètode del mínim comú múltiple per comparar les fraccions.

2. Si el videojoc ocupa $120$ GB, quants GB li falten per descarregar a cadascun? Expressa els resultats amb fraccions i nombres enters.

Troba els valors de les incògnites $x$, $y$ i $z$ perquè totes les fraccions de la cadena següent siguin equivalents entre si:

Una vegada trobats els valors, explica quin nombre natural s'ha utilitzat com a factor d'amplificació o simplificació en cada pas respecte a la fracció irreductible del conjunt.

Un sastre té una peça de roba de $15$ metres. Talla un primer tros que mesura $3$ metres i $\frac{3}{4}$ de metre. Després, talla un segon tros que mesura la meitat del que mesurava el primer.

1. Expressa la longitud de cada tall com una fracció impròpia i com un nombre mixt.

2. Quina fracció de la roba original queda encara al rotlle?

Diem que el conjunt dels nombres racionals és dens perquè sempre podem trobar una fracció entre dues altres, per molt a prop que estiguin.

Cerca tres fraccions compreses entre $\frac{4}{7}$ i $\frac{5}{7}$ que tinguin com a denominador $28$. Ordena les cinc fraccions resultants de menor a major.

En un concurs de robòtica, els prototips han de recórrer una pista de $10$ metres. El robot "Zeta" s'ha aturat quan li faltava per recórrer $\frac{1}{5}$ del total de la pista. El robot "Sigma" s'ha aturat quan havia recorregut $\frac{7}{9}$ del total.

1. a) Representa en una mateixa recta numèrica les posicions d'ambdós robots, prenent el $0$ com la sortida i l'$1$ com la meta (la pista completa). Divideix la unitat de la recta de manera que puguis situar ambdós punts amb exactitud.

1. b) Quin robot ha quedat més a prop de la meta? Justifica la teva resposta comparant les fraccions mitjançant el producte creuat.

Segons dades del Ministerio para la Transición Ecológica sobre la reserva hídrica a Espanya, dos embassaments presenten la següent situació a l'inici de la primavera: - L'embassament A conté $175\text{ hm}^3$ sobre una capacitat total de $250\text{ hm}^3$. - L'embassament B conté $210\text{ hm}^3$ sobre una capacitat total de $336\text{ hm}^3$. a) Modela la proporció d'aigua embassada respecte al total en cada cas mitjançant una fracció irreductible. b) Sense fer la divisió completa, demostra mitjançant la factorització dels denominadors irreductibles si el percentatge decimal d'ompliment de cada embassament correspon a un decimal exacte o periòdic. c) Després d'un episodi de pluges, l'embassament A incrementa el seu volum en $25\text{ hm}^3$ i l'embassament B en $42\text{ hm}^3$. Expressa les noves fraccions d'ompliment, compara-les raonadament i determina quin dels dos embassaments es troba ara proporcionalment més ple.

En un debat de classe sobre les propietats del conjunt $\mathbb{Q}$, dos estudiants llancen les següents afirmacions: - En Marcos afirma: «Qualsevol fracció irreductible el denominador de la qual acabi en xifra parella dóna lloc sempre a un nombre decimal exacte, perquè el 2 és divisor de la base decimal». - L'Elena afirma: «Si sumes dos nombres racionals que són periòdics purs, el resultat mai no pot ser un nombre enter». a) Demostra que l'afirmació d'en Marcos és falsa proposant un contraexemple concret i explica quina condició va oblidar exigir als factors primers del denominador. b) Demostra que l'afirmació de l'Elena també és falsa trobant dues fraccions amb desenvolupament decimal periòdic pur la suma de les quals sigui exactament igual al nombre enter $2$. c) Construeix una fracció $\frac{p}{q}$ amb denominador $q = 60$ el valor de la qual estigui estrictament entre $1$ i $2$, i que doni lloc a un decimal exacte. Explica quina condició matemàtica ha hagut de complir necessàriament el numerador $p$ respecte a la descomposició factorial de $60$.

En una pràctica de laboratori s'analitzen les pèrdues de càrrega de dos circuits elèctrics, expressades com a nombres racionals negatius: $V_1 = -\frac{17}{24}\text{ V}$ i $V_2 = -\frac{11}{16}\text{ V}$. Per determinar quin dels dos circuits pateix una pèrdua més gran (és a dir, quin dels dos nombres racionals és menor), dos membres de l'equip proposen estratègies diferents:

• Mètode d'Alba: Dividir el numerador entre el denominador en cada fracció per obtenir les seves expressions decimals i comparar xifra a xifra.

• Mètode de Bruno: Reduir ambdues fraccions a comú denominador mitjançant el mínim comú múltiple i comparar directament els seus numeradors enters.

1. a) Aplica els dos mètodes pas a pas per esbrinar quin dels dos voltatges és menor.
2. b) Reflexiona sobre els dos procediments: quina dificultat afegida presenta la divisió d'Alba respecte als períodes decimals? Justifica per què el mètode de Bruno resulta més segur, exacte i representatiu de les propietats algebraiques del conjunt dels nombres racionals $\mathbb{Q}$.

Una de les propietats fonamentals del conjunt dels nombres racionals $\mathbb{Q}$ enfront del dels enters $\mathbb{Z}$ és la densitat: entre dos nombres racionals diferents sempre és possible trobar un altre nombre racional, mentre que entre dos enters consecutius no existeix cap altre enter.

1. a) Escriu els nombres enters $-3$ i $-2$ com a dues fraccions que tinguin el mateix denominador positiu, de manera que puguis trobar de manera immediata almenys tres nombres racionals diferents situats estrictament entre ells. Escriu aquests tres racionals en forma de fracció irreductible.
2. b) Resol el següent problema invers: troba una fracció irreductible $x = \frac{p}{q}$ que estigui estrictament compresa entre $-\frac{4}{5}$ i $-\frac{3}{5}$ sabent que:

1. El seu denominador $q$ és un nombre primer comprès entre $10$ i $15$.

2. La suma del seu numerador enter i el seu denominador és exactament $3$ (és a dir, $p + q = 3$).

3. El valor absolut del seu numerador és estrictament menor que $10$.

Demostra detalladament que el nombre racional que has trobat compleix totes i cadascuna de les condicions.