Exercicis: Raó

En una classe de 1r d'ESO, hi ha $12$ alumnes que juguen a bàsquet i $18$ alumnes que juguen a futbol. Escriu la raó entre el nombre de jugadors de bàsquet i el de futbol. Explica amb les teves paraules què significa el resultat que has obtingut després de simplificar la fracció.

Observa el dibuix següent que representa les peces de fruita que hi ha en un fruiter. Calcula la raó entre el nombre de pomes (taronja) i el nombre de peres (blanc suau).

Per a preparar una barreja de pintura de color rosa, un artista utilitza $3$ pots de pintura blanca per cada $2$ pots de pintura vermella.

• Escriu la raó entre la pintura blanca i la vermella.

• Si l'artista decidís fer servir $6$ pots de pintura vermella, quants pots de pintura blanca hauria de fer servir per a mantenir el mateix to de rosa?

Un cotxe de radiocontrol recorre una distància de $45$ metres en $15$ segons. Calcula la raó entre la distància i el temps. Quina magnitud física representa aquest resultat?

En un videojoc d'aventures, el teu personatge ha aconseguit $24$ pocions de vida després d'obrir $6$ cofres màgics. Calcula la raó entre el nombre de pocions i el nombre de cofres. Quantes pocions de vida hi ha, de mitjana, a cada cofre?

Un paquet de $500$ grams de cereals costa $3,50$ €. Expressa la raó entre el preu i el pes en grams. Després, calcula el valor decimal d'aquesta raó per a saber quant costa $1$ un sol gram de cereals.

Observa aquestes dues barreges d'aigua amb xarop de maduixa. La barreja $A$ té $2$ gots de xarop per cada $5$ gots d'aigua. La barreja $B$ té $4$ gots de xarop per cada $10$ gots d'aigua.

• Escriu la raó de cada barreja.

• Són proporcionals aquestes barreges? És a dir, tindran el mateix gust?

La Marta ha llegit $60$ pàgines d'una novel·la en $2$ hores, mentre que el seu germà Javier ha llegit $45$ pàgines en $1,5$ hores.

• Calcula la raó entre pàgines i hores per a la Marta.

• Calcula la raó entre pàgines i hores per al Javier.

• Llegeixen tots dos a la mateixa velocitat? Justifica la teva resposta.

En Lucas està construint una maqueta d'un autobús urbà de l'EMT de Madrid. L'autobús real fa $12\text{ m}$ de llargària i la seva maqueta fa $15\text{ cm}$. Per indicar l'escala a la fitxa tècnica del projecte, en Lucas escriu el següent:

'L'escala és $\dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4} = 1,25$, la qual cosa significa que la maqueta és $1,25$ vegades més gran que l'autobús'.

1. a) Explica quin és el doble error que ha comès en Lucas (un de relatiu a les unitats de mesura i un altre a la interpretació de la raó resultant).
2. b) Corregeix el plantejament i calcula l'escala numèrica correcta de la maqueta, expressant-la en el format habitual $1:n$.

A l'hort escolar d'un institut, la raó simplificada entre el nombre de mates de tomàquet i el nombre de mates d'enciam plantades és $\dfrac{3}{5}$. A més, el professor de Biologia us informa que el nombre total de plantes (tomàquets més enciams) és més gran que $30$ i més petit que $50$.

1. a) Quantes mates de tomàquet i quantes d'enciam hi pot haver exactament? Escriu totes les parelles de solucions possibles que compleixin aquestes condicions.
2. b) Justifica per què seria impossible que en aquest hort hi hagués un total de $35$ plantes mantenint aquesta mateixa raó.

En un videojoc d'estratègia, per a fabricar una poció de "Supervelocitat", l'alquimista utilitza $150\text{ mg}$ de pols d'estrella per cada $250\text{ ml}$ d'aigua màgica.

1. a) Expressa la raó entre la pols d'estrella i l'aigua màgica. Simplifica el resultat i interpreta què significa aquest valor.
2. b) Calcula la raó inversa (aigua màgica enfront de pols d'estrella) i explica quina informació ens dóna.

Una "influencer" de viatges ha revisat les seves estadístiques d'Instagram. En la seva última publicació, va obtenir $4.500$ "likes" després d'haver rebut un total de $60.000$ visualitzacions.

1. a) Calcula la raó entre el nombre de "likes" i el nombre de visualitzacions.
2. b) Si en la foto següent la raó és de $0,1$, quina de les dues fotos ha tingut més èxit proporcionalment entre els seus seguidors?

En un entrenament de bàsquet, la Lucía ha encistellat $18$ triples de $30$ llançaments realitzats, mentre que el seu company Marcos ha encistellat $14$ triples de $20$ llançaments.

1. a) Expressa la raó d'encert de cada jugador com un nombre decimal.
2. b) Quin dels dos té una millor raó d'encert? Justifica la teva resposta comparant tots dos valors.

Per a preparar un color taronja molt especial, un grafiter barreja $1,2\text{ litres}$ de pintura vermella amb $0,8\text{ litres}$ de pintura groga.

1. a) Escriu la raó entre la quantitat de pintura vermella i groga. Expressa-la com una fracció irreductible.
2. b) Si vol mantenir el mateix to però només té $0,5\text{ litres}$ de pintura groga, quina quantitat de pintura vermella hauria d'utilitzar? (Utilitza la raó obtinguda en l'apartat anterior).

Un colibrí és capaç de batre les ales unes $4.800$ vegades en un minut. D'altra banda, un voltor comú les bat unes $120$ vegades cada minut.

1. a) Calcula la raó entre els aleteigs del colibrí i els del voltor. Què significa aquest nombre?

1. b) Si comparem el pes del colibrí ($3\text{ g}$) amb la seva longitud ($10\text{ cm}$), calcula la raó pes/longitud. Quines unitats tindria aquesta raó?

En un mapa d'una illa del tresor d'una pel·lícula, la distància entre el "Port del Pirata" i la "Muntanya del Crani" és de $15\text{ cm}$. En la realitat, aquesta distància és de $4,5\text{ km}$.

1. a) Calcula la raó entre la mesura al mapa i la mesura real (recorda passar totes dues a la mateixa unitat, per exemple, centímetres).
2. b) Quin nom rep aquesta raó especial utilitzada en els mapes?

A la teva classe de 1r d'ESO hi ha un total de $32$ alumnes. Es sap que per cada $3$ alumnes que prefereixen les classes d'Educació Física, hi ha $5$ alumnes que prefereixen les de Plàstica.

1. a) Escriu la raó entre els qui prefereixen Educació Física i els qui prefereixen Plàstica.
2. b) Si aquestes són les dues úniques opcions i tothom n'ha triat una, quants alumnes prefereixen cada assignatura? (Pista: observa que la suma dels termes de la raó simplificada és $3 + 5 = 8$).

Una botiga de llaminadures ofereix dos tipus de bosses de gominoles:

• Bossa A: conté $250\text{ g}$ i costa $3,50\text{ €}$.

• Bossa B: conté $400\text{ g}$ i costa $5,20\text{ €}$.

1. a) Calcula la raó preu/pes per a cada bossa.
2. b) Quina de les dues bosses resulta més econòmica? Justifica la teva resposta utilitzant els valors obtinguts.

En acabar una jornada de la Lliga Endesa de bàsquet, el cos tècnic compara el rendiment de dos equips rivals:

• L'equip A ha guanyat $17$ dels $28$ partits disputats.

• L'equip B ha guanyat $13$ dels $24$ partits disputats.

1. a) Abans de fer divisions exactes, estima si tots dos equips han guanyat més o menys de la meitat dels seus partits (referència $0,5$). Raona si amb aquesta primera estimació en tens prou per assegurar amb certesa quin dels dos té més bon rendiment.
2. b) Comprova la teva estimació calculant la raó de victòries per partit jugat per a cada equip com a nombre decimal arrodonit a les centèsimes. Quin és més eficaç?
3. c) Si un tercer equip té una raó de victòries de $0,75$ havent jugat $20$ partits, calcula quants partits ha guanyat i explica quin significat té aquest decimal respecte al total.

A partir de dades del padró municipal (INE), analitzem l'estructura demogràfica de dos municipis de característiques molt diferents:

• A Aldeavieja (municipi rural), hi resideixen $60$ menors de 18 anys i $180$ persones majors de 65 anys.

• A Valdenebro (municipi residencial), hi resideixen $2400$ menors de 18 anys i $1600$ majors de 65 anys.

1. a) Modela la 'raó de joventut respecte a gent gran' (nombre de menors dividit entre nombre de gent gran) de cada municipi i expressa-la com una fracció irreductible.
2. b) Interpreta amb les teves paraules el significat de cadascuna d'aquestes dues fraccions irreductibles (per exemple: 'per cada... persones grans hi ha... joves').
3. c) Si a Aldeavieja s'empadronessin $30$ nous menors de 18 anys (sense variar el nombre de gent gran), assoliria la raó de joventut de Valdenebro? Justifica la teva resposta comparant ambdues raons.

En el món dels videojocs competitius, el rendiment d'un servidor es mesura per la raó entre el nombre de jugadors connectats i l'amplada de banda consumida (en Mbps). El servidor de "BattleArena" té $120$ jugadors i consumeix $450$ Mbps. D'altra banda, el servidor de "GalaxyQuest" té $85$ jugadors i consumeix $320$ Mbps. Calcula la raó de consum per jugador en tots dos servidors i determina quin dels dos és més eficient (el que consumeix menys Mbps per cada jugador). Expressa les raons com a nombres decimals.

Una artista d'art urbà està creant un nou color "Verd Ciber" barrejant pintura blava i pintura groga. En el seu primer pot, ha barrejat $0,75$ litres de blau amb $1,2$ litres de groc. En quedar-se sense pintura, decideix preparar una segona barreja en un pot més gran fent servir $2,5$ litres de blau. Quants litres de groc ha d'afegir perquè la raó entre el blau i el groc sigui exactament la mateixa que en la primera barreja? Expressa la raó inicial com una fracció irreductible.

La "taxa d'engagement" d'un influencer es calcula comparant el nombre d'interaccions (m'agrada i comentaris) amb el seu nombre total de seguidors.

• L'usuari A té $12.500$ seguidors i ha obtingut $625$ interaccions a la seva última foto.

• L'usuari B té $45.000$ seguidors i ha obtingut $2.160$ interaccions.

Calcula la raó d'interaccions per seguidor per a cadascun. Quin dels dos té una audiència proporcionalment més activa? Expressa el resultat com un nombre decimal i explica què significa aquest valor en aquest context.

En un entrenament de bàsquet, la Lucía ha encistellat $18$ tirs de $25$ intents, mentre que en Marcos n'ha encistellat $24$ de $32$ intents.

1. a) Escriu la raó d'encerts per a cada jugador.
2. b) Calcula el valor decimal de cada raó.
3. c) Si tots dos mantenen la seva eficàcia i llancen $100$ vegades, quantes cistelles farà cadascun? Són equivalents aquestes raons? Justifica la teva resposta mitjançant el producte d'extrems i mitjans.

La raó entre la longitud de la base i l'altura de les pantalles dels cinemes antics era de $4:3$ (format quasi quadrat), mentre que en els cinemes moderns la raó sol ser de $21:9$ (format panoràmic).

Si la pantalla d'un cinema modern té una altura de $6,3$ metres, quant mesura la seva base? Quina seria la base d'una pantalla antiga amb aquesta mateixa altura de $6,3$ metres? Compara tots dos resultats i explica quina de les dues pantalles és més "allargada".

Un cotxe híbrid consumeix $4,2$ litres de gasolina per a recórrer $100$ km, mentre que una motocicleta en consumeix $1,5$ litres per a recórrer $40$ km.

1. a) Calcula la raó de consum (litres per cada quilòmetre) de cada vehicle.
2. b) Quin dels dos vehicles consumeix menys proporcionalment?
3. c) Si la raó entre el consum i la distància d'un tercer vehicle és de $0,052$, quants litres gastarà en un viatge de $250$ km?

En un estudi sobre nutrició, s'analitza la raó entre la quantitat de sucre i el pes total de dos tipus de cereals.

• Els cereals "Energy" tenen $12$ g de sucre en una ració de $40$ g.

• Els cereals "Salud" tenen $18$ g de sucre en una caixa de $75$ g.

Calcula la raó de sucre per gram de producte per a tots dos. Quin percentatge de sucre té cadascun? (Recorda que per a passar una raó a percentatge pots multiplicar el seu valor decimal per 100). Quin dels dos triaries si volguessis prendre menys sucre proporcionalment?

La densitat de població és la raó entre el nombre d'habitants i la superfície que ocupen (hab/km²).

• La ciutat X té una població de $1.250.000$ persones i una superfície de $450,5$ km².

• La ciutat Y té $840.000$ habitants i ocupa $120,2$ km².

Calcula la densitat de població de totes dues ciutats arrodonint a les unitats. Si la ciutat X tripliqués la seva població però mantingués la seva superfície, quina seria la seva nova densitat? Continuaria sent menys densa que la ciutat Y?

Necessites comprovar si les raons $\dfrac{18}{24}$ i $\dfrac{27}{36}$ formen una proporció. A classe es proposen tres camins diferents:

• Mètode 1 (Candela): Comprovar si el producte d'extrems és igual al producte de mitjans ($18 \cdot 36$ enfront de $24 \cdot 27$).

• Mètode 2 (Bruno): Simplificar totes dues fraccions fins a la seva fracció irreductible i observar si coincideixen.

• Mètode 3 (Darío): Dividir el numerador entre el denominador en totes dues raons i comparar els nombres decimals obtinguts.

1. a) Aplica el Mètode 1 i el Mètode 2 per determinar si formen o no una proporció.
2. b) Analitza els avantatges i els desavantatges de cadascun dels tres mètodes. Si els nombres fossin de quatre xifres (per exemple, $\dfrac{3216}{4824}$ i $\dfrac{2144}{3216}$) i no tinguessis calculadora, quin dels tres mètodes descartaries abans i quin triaries com a més eficient i segur? Raona la teva elecció.

Al taller de Plàstica prepareu una tonalitat personalitzada de pintura verda barrejant pots de pintura blava i groga. En començar, la raó entre pots de blau i pots de groc és $\dfrac{2}{3}$, havent utilitzat $6$ pots de pintura blava.

1. a) Determina quants pots de pintura groga es van utilitzar en aquesta barreja inicial.
2. b) Per aclarir el to, la professora indica que la nova raó (blau respecte a groc) ha de ser exactament $\dfrac{1}{2}$. Si només disposeu de pots addicionals de pintura groga (la quantitat de blau no canvia), quants pots grocs heu d'afegir a la barreja original?
3. c) Un company afirma: 'Per passar de la raó $\dfrac{2}{3}$ a la raó $\dfrac{1}{2}$, la diferència entre totes dues és $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$, de manera que n'hi ha prou afegint la sisena part dels pots que ja hi havia'. Explica detalladament per què aquest raonament és fals i quin error conceptual comet en tractar una raó com si fos una quantitat additiva.