Exercicis: Percentatges

En un torneig d'esports electrònics, el $20\%$ dels $150$ participants juguen des d'una tauleta, mentre que la resta ho fa des d'un ordinador. Calcula el nombre exacte de jugadors que utilitzen tauleta per competir.

La barra de càrrega del teu videojoc preferit indica que ja s'ha completat el $75\%$ de la descàrrega total. Si l'arxiu complet ocupa un espai de $40$ GB, quants gigabytes se n'han descarregat ja?

Calcula mentalment els percentatges següents utilitzant les estratègies de divisió apreses a classe (dividir entre $2$ per al $50\%$, entre $4$ per al $25\%$ i entre $10$ per al $10\%$):

1. a) El $50\%$ de $84$ espectadors en un directe.
2. b) El $25\%$ d'una pizza de $400$ grams.
3. c) El $10\%$ d'un abonament de transport que costa $35$ euros.

Observa la quadrícula següent que representa el plànol d'una zona d'oci en un centre comercial. Cada quadrat petit representa el $1\%$ del total. Si l'àrea ombrada amb color taronja està reservada per a màquines recreatives, quin percentatge del total ocupa aquesta zona? Expressa el resultat també en forma de fracció irreductible.

Unes sabatilles esportives que costaven $60$ euros tenen avui un descompte del $15\%$. Quants euros t'estalvies en comprar-les avui? Quin és el preu final que pagaràs per aquestes?

El teu telèfon mòbil indica que li queda un $12\%$ de bateria. Si la capacitat total de la bateria és de $4500$ mAh (mil·liamperes-hora), quants mAh d'energia queden exactament al dispositiu?

En una enquesta feta a la teva classe de 1r d'ESO, $18$ dels $30$ alumnes han confirmat que prefereixen el cinema de terror enfront del de comèdia. Calcula el percentatge d'alumnes que prefereixen el cinema de terror.

Calcula, raonant cada pas:

1. a) El $200\%$ de $45$. (Pensa: el $200\%$ d'una quantitat és el seu doble.)
2. b) El $150\%$ de $60$.
3. c) El $0,5\%$ de $800$.
4. d) El $300\%$ de $12$.

En una botiga d'esports del teu barri, una motxilla escolar costa $49{,}90\text{ €}$ i té una rebaixa del $15\,\%$.

1. a) Abans de fer cap càlcul en paper, fes una estimació mental dels diners que et descomptaran: arrodoneix el preu a les desenes més properes i obtén mentalment el $10\,\%$ i la meitat d'aquest valor per al $5\,\%$. Entre quins dos nombres enters d'euros es trobarà el descompte?
2. b) Calcula el preu final exacte de la motxilla aplicant el factor multiplicatiu de descompte corresponent: $\left(1 - \dfrac{15}{100}\right)$.
3. c) Compara el teu resultat exacte amb l'estimació que has fet a l'apartat a). El resultat final és raonable? Justifica per què estimar prèviament el resultat ens ajuda a detectar possibles equivocacions en pagar a caixa.

Per calcular el $25\,\%$ de $180\text{ €}$, tres companys de classe proposen camins diferents:

• L'Alba diu: «Jo divideixo $180$ entre $4$, perquè el $25\,\%$ equival a la quarta part del total».

• En Bruno diu: «Jo multiplico $180$ per $0{,}25$, que és l'expressió decimal de la raó $\dfrac{25}{100}$».

• La Carla diu: «Jo calculo primer el $10\,\%$ de $180$, el duplico per obtenir el $20\,\%$ i li sumo la meitat del $10\,\%$ per completar el $25\,\%$.»

1. a) Comprova que els tres mètodes donen exactament el mateix resultat fent les operacions proposades per cadascun.
2. b) Si haguessis de fer el càlcul de cap, sense fer servir llapis ni paper, quin dels tres mètodes triaries? Explica per què et sembla el més àgil.
3. c) Si la rebaixa no fos del $25\,\%$, sinó del $17\,\%$, i poguessis fer servir calculadora, quin dels tres plantejaments seria el més directe i eficaç? Justifica la teva resposta.

La bateria de la tauleta de la Lucía té una capacitat total de $5000$ mAh. Si després de jugar una estona al "Roblox" li queda un $18\%$ de bateria, quants mAh d'energia li queden encara? Quin percentatge de la bateria ja ha consumit?

En la votació per triar les activitats del festival de l'institut han participat $1200$ alumnes. El $65\%$ va triar el torneig d'esports i la resta va preferir el taller de robòtica. Quants alumnes van votar pel taller de robòtica?

Per organitzar el viatge de fi de curs, els alumnes de 1r d'ESO han venut participacions d'una rifa. Si ja han venut $360$ participacions, la qual cosa suposa el $75\%$ del total que tenien, quantes participacions tenien en total per vendre? Quantes els queden encara per vendre?

Un videojoc d'aventures ocupa $12$ GB a la memòria d'una consola. Si el sistema indica que aquest joc ocupa el $15\%$ de la memòria total disponible, quants GB de capacitat té la memòria de la consola en total?

En un examen de matemàtiques tipus test de $40$ preguntes, un alumne ha contestat correctament $28$ preguntes, n'ha fallat $8$ i n'ha deixat $4$ en blanc. Calcula el percentatge de respostes correctes, el d'errades i el de preguntes no contestades sobre el total. Comprova que la suma dels tres percentatges és el $100\%$.

El preu d'un ordinador portàtil en una botiga és de $450$ € sense incloure impostos. Si se li ha d'aplicar un $21\%$ d'IVA (Impost sobre el Valor Afegit), quin serà el preu final que haurem de pagar pel portàtil?

Marta ha penjat un vídeo a "TikTok". En les primeres dues hores, ha aconseguit $180$ "m'agrada". Si sap que el $12\%$ de les persones que veuen el vídeo li donen a "m'agrada", quantes visualitzacions ha tingut el vídeo en total durant aquestes dues hores?

Un barri tenia $1.200$ veïns fa deu anys i avui en té $3.000$.

1. a) En quants veïns ha augmentat la població?
2. b) Quin percentatge d'augment suposa respecte als veïns que hi havia fa deu anys? És un percentatge més gran o més petit que el $100\%$? Interpreta el resultat.

Els percentatges també poden ser menors que el $1\%$:

1. a) Un serofisiològic conté un $0,9\%$ de sal. Quants grams de sal hi ha en una bossa de $500$ g de sero?
2. b) Un lot de $2.000$ kg de farina té un $0,05\%$ d'impureses. Quants quilograms d'impureses conté?

En Marcos ha comprat un teclat per al seu ordinador per $121\text{ €}$, preu que ja inclou el $21\,\%$ d'IVA. Per esbrinar quants diners corresponen a l'IVA i quants al preu original del producte (base imposable), fa la següent operació:

Per tant, en Marcos conclou que el teclat costava sense IVA $121 - 25{,}41 = 95{,}59\text{ €}$.

1. a) Troba l'error conceptual que ha comès en Marcos. Sobre quina quantitat s'aplica el $21\,\%$ d'IVA: sobre el preu original o sobre el preu final facturat?
2. b) Comprova què passaria si el preu sense IVA fos realment $95{,}59\text{ €}$ i li apliquessis un augment del $21\,\%$. S'obtenen els $121\text{ €}$ inicials?
3. c) Corregeix el càlcul d'en Marcos fent servir la divisió entre el factor multiplicatiu corresponent per determinar el preu real del teclat abans d'impostos i l'import exacte de l'IVA.

Segons el balanç elèctric peninsular de Red Eléctrica de España, en una jornada hivernal la demanda energètica total va ser de $650\text{ GWh}$ (gigawatts-hora). D'aquesta demanda, el $60\,\%$ es va cobrir mitjançant energies renovables. Així mateix, dins del conjunt de la generació renovable d'aquell dia, el $65\,\%$ va correspondre a la producció eòlica gràcies a un temporal de vent.

1. a) Modela la situació mitjançant operacions encadenades amb percentatges i calcula quants $\text{GWh}$ d'energia renovable es van generar en total durant aquella jornada.
2. b) Determina quants $\text{GWh}$ van ser aportats de manera específica pels aerogeneradors eòlics.
3. c) Quin percentatge va representar l'energia eòlica sobre la demanda energètica total del país aquell dia? Dedueix aquest percentatge final operant directament amb les taxes percentuals, sense necessitat de recórrer als valors en $\text{GWh}$.

En una botiga de sabates esportives de moda, un model que costa $85 \text{ €}$ té una rebaixa del $20\%$. No obstant això, per ser l'últim dia de les rebaixes, apliquen un descompte addicional del $10\%$ sobre el preu ja rebaixat. Quin és el preu final de les sabates? És el mateix que aplicar un únic descompte del $30\%$? Justifica la teva resposta calculant tots dos casos.

L'Álex ha comprat un ordinador per jugar als seus videojocs preferits. El preu final que ha pagat, incloent-hi el $21\%$ d'IVA, ha estat de $1452 \text{ €}$. El seu amic li diu que l'ordinador costava $1200 \text{ €}$ abans d'impostos. Té raó el seu amic? Fes els càlculs necessaris per trobar el preu base (sense IVA) de l'ordinador.

En una enquesta feta al teu institut sobre l'ús de xarxes socials, el $45\%$ dels alumnes prefereix Instagram, el $35\%$ prefereix TikTok i els 48 alumnes restants trien altres plataformes. Quants alumnes hi ha en total a l'institut? Quants prefereixen Instagram?

Un servei de reproducció en continu de pel·lícules costa $9,99 \text{ €}$ al mes. Si decideixes pagar l'any complet de cop, t'ofereixen un descompte del $15\%$. Tanmateix, aquest mes hi ha una promoció especial i, sobre aquest preu anual ja rebaixat, et descompten uns altres $10 \text{ €}$ fixos. Quant t'estalviaràs en total a l'any si aprofites totes dues ofertes comparat amb pagar mes a mes?

L'emmagatzematge d'un telèfon mòbil és de $128 \text{ GB}$. El sistema operatiu ocupa el $12,5\%$ del total. Si Álex ja ha omplert el $60\%$ de l'espai lliure que quedava, quants Gigabytes té encara disponibles per instal·lar noves aplicacions?

En un teatre amb capacitat per a $750$ persones, avui s'han quedat sense vendre el $12\%$ de les entrades. De les entrades venudes, el $65\%$ han estat per a adults i la resta per a menors de 18 anys. Quants menors de 18 anys han assistit avui al teatre?

Una marca de refrescos ha decidit reduir el contingut de sucre de la seva beguda estrella. Abans, una llauna de $330 \text{ ml}$ contenia $35 \text{ g}$ de sucre. Ara han llançat una versió amb un descompte del sucre del $40\%$ i, a més, han augmentat la mida de la llauna un $10\%$.

1. Quants grams de sucre té la nova llauna?

2. Quin percentatge de sucre representa el pes del sucre sobre el volum total en la nova llauna? (Considera $1 \text{ ml} = 1 \text{ g}$ per al refresc).

En les eleccions al consell escolar, la candidata A va obtenir el $30\%$ dels vots, el candidat B va obtenir el $25\%$ i el candidat C va rebre la resta dels vots. Si el candidat C va guanyar amb 28 vots més que el candidat B, quants alumnes van votar en total? Quants vots va rebre cada candidat?

El nombre de socis d'un club de lectura juvenil ha augmentat aquest any un $150\%$ respecte a l'any passat, quan hi havia $24$ socis.

1. a) Un alumne diu: «augmentar un $150\%$ significa que ara hi ha $150$ socis». Explica el seu error.
2. b) Calcula quants socis hi ha ara. Recorda: augmentar un $150\%$ significa sumar al nombre inicial el seu $150\%$.
3. c) Si l'any que ve el club vol arribar a triplicar els socis de l'any passat, quin percentatge d'augment necessita respecte a l'any passat?

En una llibreria juvenil de València, un còmic tenia un determinat preu inicial. Amb motiu del Dia del Llibre, se li va aplicar un descompte del $15\,\%$. Dues setmanes després, davant l'exhauriment del tiratge, la botiga va incrementar en un $15\,\%$ el preu ja rebaixat, i va quedar fixat en un preu definitiu de $19{,}55\text{ €}$.

1. a) Un client assegura que el còmic ha tornat a costar el mateix que al principi perquè «baixar un $15\,\%$ i després apujar un $15\,\%$ anul·la el canvi». Explica detalladament per què aquest raonament és incorrecte utilitzant els conceptes de base de referència i factors de canvi.
2. b) Escriu una expressió matemàtica que relacioni el preu original desconegut ($P$) amb el preu final a través dels factors multiplicatius corresponents, i calcula el preu que tenia el còmic abans de qualsevol rebaixa.
3. c) Calcula la variació percentual real global que va patir el preu del còmic entre el valor inicial i el preu final de $19{,}55\text{ €}$.

Un hipermercat presenta dues ofertes diferents per a la mateixa marca d'oli d'oliva, el preu original del qual és de $8\text{ €}$ per ampolla:

• Promoció A: «3x2: emporta-te'n 3 ampolles i paga'n només 2».

• Promoció B: «Segona unitat al $70\,\%$ de descompte» (per cada dues ampolles adquirides, la segona té un $70\,\%$ de rebaixa).

1. a) Si una família té previst comprar un lot de 6 ampolles:

• Modela i calcula el cost total i el percentatge de descompte global que s'obté amb la Promoció A sobre l'import original de les 6 ampolles.

• Modela i calcula el cost total i el percentatge de descompte global que s'obté amb la Promoció B sobre l'import original de les 6 ampolles.

1. b) Justifica de manera raonada quina de les dues promocions resulta més econòmica per adquirir les 6 ampolles.
2. c) Si un consumidor va a la botiga amb la intenció d'adquirir únicament 2 ampolles i l'establiment no permet barrejar promocions, quin és el percentatge real de descompte per ampolla que s'aplicaria amb cadascuna de les dues ofertes? Justifica quina li convé en aquest cas.

Repte del tema. Imagina que organitzes un dinar saludable per al teu grup escolar. Dissenyaràs una proposta de pressupost utilitzant un full de càlcul o GeoGebra amb dades reals.

1. Recollida de dades i raó: Consulta el web d'un supermercat i anota el preu de $3$ ingredients (per exemple, un paquet d'$1,5$ kg d'arròs, verdures i fruita). Calcula la raó cost per quilogram i el cost unitari per ració.

2. Proporcionalitat directa i percentatges: Modela al full de càlcul el cost del dinar segons el nombre de comensals ($4$, $8$ i $12$ persones). Aplica a la cistella un cupó de descompte del $15\,\%$ i afegeix-hi després el $10\,\%$ d'IVA reduït.

3. Proporcionalitat inversa: El lloguer de la cuina comunitària costa un preu fix de $60$ €. En una altra taula, calcula quant ha d'abonar cada participant segons si hi assisteixen $2$, $4$, $6$ o $12$ persones. Representa la gràfica d'aquesta relació.

4. Proposta final: Redacta un informe breu comparant el cost final per persona segons el grup i explica com influeix el repartiment de despeses fixes.

Es valorarà:

• Identificació correcta i càlcul precís de raons i percentatges.

• Distinció i modelització matemàtica adequada de la proporcionalitat directa i inversa.

• Ús rigorós d'eines digitals (taula i gràfica) i dades reals.

• Claredat i justificació raonada en les conclusions de l'informe.