Exercicis: Proporcionalitat inversa

Indica si cada parella de magnituds és directament proporcional, inversament proporcional o ni una cosa ni l'altra:

1. a) La velocitat d'un ciclista i el temps que triga a arribar.
2. b) Els quilos de maduixes que compro i el que pago.
3. c) El nombre de persones que colleixen un hort i el temps que triguen.
4. d) L'edat d'un arbre i la seva alçària.

Completa la taula sabent que les magnituds són inversament proporcionals:

Obrers	$2$	$4$	$6$	$3$
Dies	$12$	$6$

1. a) Quants dies triguen $6$ obrers?
2. b) Quants dies triguen $3$ obrers?
3. c) Quants dies trigaria $1$ obrer?

Cinc aixetes iguals omplen un dipòsit en $8$ hores. Anem a calcular-ho pas a pas:

1. a) Si només hi hagués $1$ aixeta, quantes hores trigaria? (Pensa: una sola aixeta treballa $5$ vegades menys.)
2. b) I si hi hagués $10$ aixetes?

Comprova si les magnituds d'aquestes taules són inversament proporcionals calculant el producte de cada parella de valors:

a)

$x$	$2$	$3$	$4$	$6$
$y$	$18$	$12$	$9$	$6$

b)

$x$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$30$	$20$	$15$	$10$

Una colla de $4$ paletes triga $18$ dies a aixecar el mur perimetral d'un poliesportiu municipal. Per acabar abans, l'encarregat de l'obra decideix incorporar $2$ paletes més amb el mateix ritme de treball, sumant un total de $6$ paletes.

Álvaro, un dels peons, planteja la següent regla de tres per calcular la durada de l'obra:

$$4\ \text{paletes} \longrightarrow 18\ \text{dies}$$ $$6\ \text{paletes} \longrightarrow x\ \text{dies}$$ $$x = \frac{6 \cdot 18}{4} = 27\ \text{dies}$$

1. a) Sense fer operacions numèriques complexes, explica per què la resposta d'Álvaro no té sentit des del punt de vista de la realitat.
2. b) Quin error conceptual ha comès Álvaro en plantejar la proporció?
3. c) Corregeix el càlcul i troba el nombre exacte de dies que trigaran els $6$ paletes utilitzant la constant de proporcionalitat inversa (el producte constant).

El vas de la piscina municipal d'un poble s'omple habitualment en $12\ \text{hores}$ emprant $3$ boques de reg idèntiques connectades a la xarxa general. Amb motiu de les tasques de manteniment prèvies a l'estiu, una de les boques es troba avariada, de manera que l'ompliment s'ha de realitzar utilitzant únicament $2$ boques amb el mateix cabal.

1. a) Abans de calcular: raona si el temps necessari serà més gran o més petit que $12\ \text{hores}$. Creus que arribarà a duplicar-se i trigarà $24\ \text{hores}$ o més? Escriu una estimació aproximada i raonada de l'interval de temps en què esperes trobar la solució.
2. b) Fes el càlcul formal aplicant la proporcionalitat inversa per esbrinar el temps exacte que trigarà a omplir-se la piscina amb les $2$ boques disponibles.
3. c) Compara el valor obtingut amb la teva estimació inicial i explica si el resultat final resulta coherent.

Un grup de $6$ obrers triga $10$ dies a arreglar la pista d'un parc.

1. a) Quants dies trigarien $4$ obrers treballant al mateix ritme?
2. b) Quants obrers fan falta per acabar la pista en $5$ dies?

Una aixeta que raja $120$ litres per minut omple una piscina en $15$ hores.

1. a) Quant trigarà a omplir-la una altra aixeta que raja $200$ litres per minut?
2. b) Quin és el volum de la piscina, en litres? Raona per què no cal saber-ho per respondre a l'apartat a).

Un autobús que circula a $60\ \text{km/h}$ triga $45$ minuts a fer el seu recorregut complet.

1. a) Quant trigaria circulant a $90\ \text{km/h}$?
2. b) A quina velocitat hauria de circular per completar el recorregut en $30$ minuts?

La gràfica mostra els dies que triguen diversos equips de pintors a pintar una mateixa casa segons el nombre de pintors de l'equip.

1. a) Quants dies triga un equip de $4$ pintors? I un de $2$?
2. b) Quants pintors fan falta per pintar la casa en $6$ dies?
3. c) Multiplica, per a cada punt de la gràfica, el nombre de pintors dels dies que triguen. Què observes? Quin tipus de proporcionalitat hi ha entre les dues magnituds?

En una granja hi ha pinso per alimentar $20$ cavalls durant $30$ dies.

1. a) Per a quants cavalls duraria el mateix pinso $25$ dies?
2. b) Si la granja compra $10$ cavalls més, quants dies durarà el pinso?

En un campament hi ha menjar preparat perquè $12$ acampats mengin durant $15$ dies.

1. a) El primer dia arriben $3$ acampats més. Per a quants dies tindrà menjar el grup?
2. b) Si en comptes d'arribar gent se n'anessin $2$ acampats abans de començar, quants dies duraria el menjar?

En un alberg de pelegrins del Camí de Sant Jaume disposen de provisions al rebost per alimentar $30$ persones durant $12$ dies a raó d'una ració completa per persona i dia. Inesperadament, arriba un grup de $10$ pelegrins més (passant a ser $40$ persones en total). L'hospitalera vol saber per a quants dies arribaran les provisions si es manté la mida de les racions.

Dos voluntaris proposen camins diferents per calcular-ho:

• Mètode 1 (Reducció a la unitat): Esbrinar primer quants dies duraria aquest mateix menjar si a l'alberg hi hagués una sola persona, i a partir d'aquí calcular els dies per a $40$ persones.

• Mètode 2 (Constant de proporcionalitat inversa): Calcular el total acumulat de racions ($30 \cdot 12$) i plantejar l'equació $40 \cdot x = 360$.

1. a) Resol el problema aplicant el Mètode 1. Quin significat real té la quantitat que obtens en el pas intermedi en calcular la durada per a un únic pelegrí?
2. b) Resol el problema aplicant el Mètode 2 i comprova que s'obté el mateix resultat.
3. c) Si en lloc d'arribar $10$ persones n'haguessin arribat només $3$ (essent $33$ pelegrins en total), quin dels dos mètodes resultaria més còmode per operar amb fraccions simplificades i evitar decimals infinits? Justifica la teva elecció.

Després d'un fort temporal a la costa cantàbrica, una brigada municipal formada per $6$ operaris triga $8\ \text{hores}$ completes a retirar les algues i plàstics acumulats en una platja.

La normativa de seguretat i marees de l'ajuntament exigeix que la jornada contínua de neteja en aquesta zona no superi sota cap concepte les $5\ \text{hores}$ diàries.

1. a) Justifica per què el nombre d'operaris i el temps de neteja són magnituds inversament proporcionals i calcula la constant de proporcionalitat inversa, indicant quines unitats té i què representa en aquest context real.
2. b) Per concloure el treball en una única jornada complint estrictament el límit màxim de $5\ \text{hores}$, quin és el nombre mínim d'operaris que ha de contractar el consistori? Tingues en compte que la plantilla ha d'estar composta per persones senceres.
3. c) Si finalment l'ajuntament només pot mobilitzar $9$ operaris, quant de temps exacte empraran en la neteja? Expressa el resultat desglossat en hores i minuts enters.

Indica si les afirmacions següents són vertaderes o falses, raonant la teva resposta:

1. a) Si en créixer una magnitud l'altra decreix, les dues magnituds són inversament proporcionals.
2. b) Si dues magnituds són inversament proporcionals, en duplicar una d'elles l'altra es redueix a la meitat.
3. c) L'edat d'una mare i l'edat de la seva filla són magnituds inversament proporcionals.
4. d) Si dues magnituds inversament proporcionals prenen els valors $(3, 20)$, també poden prendre els valors $(5, 12)$.

Un equip de $12$ obrers pot acabar una obra en $20$ dies treballant tots al mateix ritme.

1. a) Quants dies trigarien $8$ obrers?
2. b) L'obra comença amb els $12$ obrers, però després de $5$ dies de treball $4$ obrers marxen a una altra obra. Quants dies més necessitaran els $8$ restants per acabar-la?
3. c) Quants dies ha durat l'obra en total?

Dues rodes dentades estan engranades: quan una gira, obliga a girar l'altra. La roda gran té $36$ dents i fa $12$ voltes completes.

1. a) Si la roda petita té $16$ dents, quantes voltes fa en el mateix temps?
2. b) Per què són el nombre de dents i el nombre de voltes magnituds inversament proporcionals? Quin producte roman constant?
3. c) Si volguéssim que la roda petita fes $72$ voltes, quantes dents hauria de tenir?

Un cotxe que viatja a $90\ \text{km/h}$ triga $4$ hores a anar d'una ciutat a una altra. Per saber quant trigaria anant a $120\ \text{km/h}$, un alumne ha plantejat una regla de tres directa i ha obtingut $5,\widehat{3}$ hores.

1. a) Explica quin error ha comès.
2. b) Calcula el temps correcte a $120\ \text{km/h}$.
3. c) A quina velocitat hauria d'anar per trigar només $3$ hores?

Un dipòsit s'omple en $6$ hores si s'obren alhora $3$ aixetes iguals.

1. a) Quant trigaria a omplir-se amb una sola aixeta?
2. b) S'obren les $3$ aixetes, però a les $2$ hores una d'elles s'espatlla i deixa de funcionar. Quantes hores més trigaran les $2$ aixetes restants a acabar d'omplir el dipòsit?
3. c) Quantes hores ha trigat en total el dipòsit a omplir-se?

Una àvia vol repartir $180\ \text{€}$ entre els seus tres nets, de $2$, $3$ i $6$ anys, de manera inversament proporcional a les seves edats (perquè el petit en rebi més).

1. a) Repartir de manera inversament proporcional a les edats és repartir de manera directament proporcional a $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ i $\frac{1}{6}$. Calcula la suma d'aquestes tres fraccions.
2. b) Quina fracció del total correspon a cada net?
3. c) Calcula quants euros rep cadascun i comprova que sumen $180\ \text{€}$.

Una fundació esportiva reparteix una beca econòmica de $1300\ \text{€}$ entre els tres millors atletes d'una cursa escolar. Per premiar el mèrit, els diners es distribueixen de manera inversament proporcional al temps en minuts que cada corredor ha trigat a creuar la meta.

El primer classificat va trigar $20\ \text{minuts}$ i el segon classificat va trigar $30\ \text{minuts}$. Tanmateix, el dorsal amb xip del tercer classificat es va desprendre durant la cursa i el seu temps exacte no va quedar enregistrat al sistema informàtic. A l'acta oficial de lliurament de premis figura que el primer classificat va rebre exactament $600\ \text{€}$.

1. a) A partir del premi obtingut pel primer classificat, calcula la constant de repartiment ($k$) i troba quants diners va cobrar el segon classificat.
2. b) Dedueix quina quantitat de diners va sobrar del fons total de $1300\ \text{€}$ per lliurar-li al tercer classificat.
3. c) Planteja l'equació corresponent i reconstrueix el temps exacte (en minuts) que va trigar el tercer classificat a completar la prova.

En un aerogenerador d'un parc eòlic de Castella-la Manxa, les pales exteriors giren a poc a poc, per la qual cosa s'utilitza una caixa multiplicadora amb dues rodes dentades acoblades per accionar l'alternador elèctric. La roda motriu té $90\ \text{dents}$ i gira a una velocitat constant de $16\ \text{rpm}$ (revolucions per minut). La roda conduïda té menys dents, de manera que gira amb més rapidesa.

1. a) Justifica matemàticament per què el nombre de dents d'una roda i la seva velocitat de gir (en $\text{rpm}$) són magnituds inversament proporcionals, explicant quina magnitud física roman constant en el punt de contacte entre ambdues rodes durant un minut.
2. b) Perquè l'alternador comenci a abocar electricitat a la xarxa elèctrica, la roda conduïda ha de girar com a mínim a $60\ \text{rpm}$. Quin és el nombre màxim de dents que pot tenir aquesta roda conduïda?
3. c) Per motius de seguretat i resistència tèrmica, la roda conduïda no ha de sobrepassar mai les $100\ \text{rpm}$. El catàleg de recanvis del parc disposa de rodes dentades estàndard de $12$, $18$ i $24$ dents. Analitza quins d'aquests tres models compleixen simultàniament els dos requisits tècnics (velocitat mínima de $60\ \text{rpm}$ i màxima de $100\ \text{rpm}$) i justifica quin d'ells s'ha d'instal·lar si l'objectiu és obtenir la màxima velocitat possible dins dels marges segurs.