Exercicis: Proporcionalitat directa

En matemàtiques, diem que dues magnituds són directament proporcionals quan, en multiplicar-ne una per un nombre, l'altra es multiplica per aquest mateix nombre. Analitza les situacions quotidianes següents i indica quines són de proporcionalitat directa:

1. a) El nombre de seguidors d'un streamer i la quantitat de likes que rep en un vídeo (suposant que tots els seus seguidors fan "m'agrada").
2. b) L'edat d'una persona i la seva alçària en centímetres.
3. c) El nombre de caixes de pizza que demanes i el preu total que pagues (si totes les pizzes costen el mateix).
4. d) La velocitat d'un cotxe i el temps que triga a arribar a la seva destinació.
5. e) Els quilograms de pomes que compres i els diners que costen.

En el teu videojoc preferit, pots comprar "Gemmes" per aconseguir nous aspectes per al teu personatge. Sabem que les gemmes sempre tenen el mateix preu unitari. Completa la taula de proporcionalitat següent a la teva llibreta per saber quant costen diferents quantitats de gemmes:

Un paquet de cromos de la lliga de futbol conté $6$ cromos, i $3$ d'aquests paquets costen $3,60$ €. Si volem completar l'àlbum i decidim comprar $8$ paquets iguals, quants diners ens gastarem en total? Utilitza el mètode de reducció a la unitat (calcula primer quant costa un sol paquet).

Observa la imatge següent que representa dues balances en equilibri. A la primera balança, $3$ cubs blaus pesen exactament $450$ grams. A la segona balança, volem saber quant pesen $5$ cubs iguals als anteriors. Calcula el valor de la incògnita $x$.

Per cuinar unes tortites per a $4$ persones, es necessiten exactament $200$ grams de farina. Si aquest cap de setmana venen els teus cosins a casa i sou un total de $6$ persones, quina quantitat de farina necessitaràs perquè les tortites surtin perfectes? Recorda que les quantitats de la recepta són directament proporcionals al nombre de comensals.

Un skater recorre una pista a una velocitat constant. A la primera part del circuit, ha recorregut $150$ metres en $30$ segons. Si manté el mateix ritme durant tot el trajecte:

1. a) Quina distància recorrerà en $1$ minut ($60$ segons)?
2. b) Quina és la seva constant de proporcionalitat (quants metres recorre per cada segon)?

Troba el valor del terme desconegut $x$ en les proporcions següents perquè es compleixi la igualtat entre les raons:

1. a) $\frac{2}{5} = \frac{10}{x}$

1. b) $\frac{x}{12} = \frac{3}{4}$

1. c) $\frac{7}{x} = \frac{14}{6}$

En les gràfiques de proporcionalitat directa, la relació entre les dues magnituds sempre es representa mitjançant una línia recta que passa pel punt $(0,0)$. Observa el gràfic següent que relaciona el nombre de bolígrafs comprats i el seu cost total. Si $4$ bolígrafs costen $6$ €, identifica el punt al gràfic i calcula quant costarien $10$ bolígrafs.

En Mateo acompanya el seu pare a comprar entrades per a un festival de teatre escolar. A la taquilla observen el cartell: «$3$ entrades costen $21\text{ €}$». En Mateo necessita calcular quant costaran $5$ entrades per a tota la seva família i raona de la manera següent: «Com que $5$ entrades són $2$ entrades més que $3$, al preu de $21\text{ €}$ només li he de sumar $2\text{ €}$. Per tant, les $5$ entrades costaran $23\text{ €}$».

1. a) Explica detalladament per què el raonament additiu d'en Mateo és erroni i què significa realment que el nombre d'entrades i el preu siguin magnituds directament proporcionals.
2. b) Corregeix el càlcul utilitzant el mètode de reducció a la unitat: troba el preu d'una entrada i calcula el preu real que ha de pagar la família per les $5$ entrades.

A la papereria del barri tenen una oferta de material escolar: un paquet amb $3$ quaderns idèntics costa $5,40\text{ €}$. El teu grup de treball necessita comprar $7$ d'aquests mateixos quaderns per a un projecte de l'institut.

1. a) Abans de fer operacions amb llapis i paper, estima mentalment si el preu total dels $7$ quaderns serà més gran o més petit de $12\text{ €}$ i entre quins dos nombres enters d'euros s'hauria de situar. Explica com has arribat a aquesta estimació.
2. b) Calcula el cost exacte dels $7$ quaderns aplicant la reducció a la unitat (obtenint primer el preu d'$1$ quadern).
3. c) Compara el valor numèric obtingut amb la teva estimació prèvia i raona si el teu resultat és coherent amb el preu de partida.

En un mapa de la Serra de Guadarrama, l'escala indica que $2\text{ cm}$ al paper representen $5\text{ km}$ a la realitat. Si per fer una ruta de senderisme entre dos pobles la distància mesurada sobre el mapa és de $8,5\text{ cm}$, quants quilòmetres recorreran els excursionistes a la realitat?

Per celebrar el final del trimestre, un grup d'amics vol comprar "gemmes" per al seu videojoc preferit. Han vist que un paquet de $1200$ gemmes costa $14,40\text{ €}$. Si un amic té estalviats exactament $21\text{ €}$, quantes gemmes podrà comprar si la relació és directament proporcional?

Copia i completa la taula següent de valors directament proporcionals que relaciona la quantitat de quilograms de pintura amb la superfície que es pot cobrir. Calcula també la constant de proporcionalitat $k$ expressada en $m^2/kg$.

Un cotxe híbrid consumeix una mitjana de $4,5\text{ litres}$ de combustible per cada $100\text{ km}$ recorreguts. Si el dipòsit té una capacitat total de $54\text{ litres}$ i actualment està ple, quina distància màxima podrà recórrer el vehicle abans de quedar-se sense combustible?

La gràfica següent mostra la relació entre el temps que està encesa una font d'aigua i els litres que raja. Observa el punt marcat i determina quants litres rajarà la font si es manté oberta durant $15\text{ minuts}$.

Per cuinar una paella gegant per a $12\text{ persones}$, el xef utilitza $1,5\text{ kg}$ d'arròs i $3\text{ litres}$ de brou. Si de cop i volta s'hi apunten més persones i ara són $18$ en total, calcula mitjançant el mètode de reducció a la unitat quina quantitat d'arròs i de brou necessitarà ara el xef.

Una aixeta que goteja perd aproximadament $1,2\text{ centilitres}$ d'aigua cada $10\text{ segons}$. Si no la no l'arreglem, quants litres d'aigua haurà malgastat al cap d'una hora completa? (Recorda passar primer el resultat a la unitat de mesura sol·licitada).

Tres agricultors han treballat en la collita d'una finca de taronges de manera proporcional al temps que cadascun hi ha dedicat. Si han cobrat en total $1500\text{ €}$ i els temps de treball han estat:

• Agricultor A: $12\text{ hores}$

• Agricultor B: $18\text{ hores}$

• Agricultor C: $20\text{ hores}$

Quants diners li corresponen a cadascun d'ells?

Per $3$ entrades per al cinema hem pagat $25,50\ \text{€}$. Volem comprar $7$ entrades per a tota la colla. Resol el problema de les dues maneres següents:

1. a) Per reducció a la unitat: calcula el preu d'una entrada i després el de $7$.
2. b) Amb una regla de tres directa: planteja la proporció $\frac{3}{25,50} = \frac{7}{x}$ i aïlla $x$.
3. c) Coincideixen els dos resultats? Quin mètode et sembla més còmode i per què?

Al laboratori de Ciències de la Naturalesa esteu estudiant la pèrdua d'aigua per una aixeta avariada que goteja a un ritme constant. Mitjançant una proveta graduada, mesureu que cada $12\text{ minuts}$ es recullen exactament $0,36\text{ litres}$ d'aigua.

1. a) Vols esbrinar quanta aigua es recollirà després de $36\text{ minuts}$. Compara dos camins possibles: aplicar una regla de tres completa o fer servir les propietats de la proporcionalitat directa (observant la relació multiplicativa directa entre $12$ i $36$). Justifica quin dels dos mètodes és més ràpid i calcula aquest volum.
2. b) Ara necessites calcular el volum recollit en un interval de $25\text{ minuts}$. Continua sent pràctic el càlcul mental anterior o resulta millor calcular prèviament la constant de proporcionalitat (litres per minut)? Justifica la teva elecció i calcula quants litres s'hauran perdut en aquests $25\text{ minuts}$.

Segons dades tècniques d'instal·lacions d'autoconsum energètic a Espanya, un habitatge unifamiliar equipat amb $4$ panells solars idèntics genera, en un dia assolellat de primavera, una mitjana de $6,8\text{ kWh}$ d'energia elèctrica. Una família veïna vol instal·lar panells idèntics per cobrir una necessitat energètica diària de $15,3\text{ kWh}$ en les mateixes condicions climàtiques.

1. a) Justifica per què el nombre de panells solars i la quantitat d'energia elèctrica generada són magnituds directament proporcionals.
2. b) Determina la constant de proporcionalitat directa $k$, indicant quina magnitud representa i en quines unitats s'expressa.
3. c) Escriu la fórmula algebraica que modelitza l'energia produïda ($E$, en $\text{kWh}$) en funció del nombre de panells instal·lats ($n$).
4. d) Utilitza el teu model per esbrinar quants panells solars complets ha d'instal·lar la família veïna per assegurar aquesta producció diària.

En un taller de robòtica, els alumnes estan programant un dron per inspeccionar un parc natural. El dron consumeix bateria de manera directament proporcional a la distància recorreguda. Si per recórrer $2,5\ km$ el dron consumeix un $15\%$ de la seva bateria total:

1. a) Quina és la constant de proporcionalitat si expressem la relació com a "percentatge de bateria per cada quilòmetre"?
2. b) Si el punt de retorn està a $7.200\ metres$ de la base, tindrà prou bateria per anar i tornar si s'enlaira amb la càrrega completa? Justifica la teva resposta amb càlculs.

Una marca de roba sostenible utilitza fibres reciclades per fabricar les seves samarretes. La relació entre el pes de les ampolles de plàstic recollides i el fil obtingut és directament proporcional. Es sap que amb $3,6\ kg$ d'ampolles es poden fabricar exactament $8$ samarretes de la talla L.

1. a) Si cada samarreta de la talla L necessita $225\ g$ de fil, quants grams de fil s'obtenen per cada quilogram d'ampolles de plàstic?
2. b) L'ajuntament d'una ciutat ha recollit $1,2\ toneladas$ d'ampolles. Quantes samarretes es podrien fabricar en total?

Per tenyir teixits amb tints naturals, una artesana barreja extracte de remolatxa i aigua. La quantitat d'extracte és directament proporcional al volum d'aigua. Al seu quadern té anotat que per a $1,5\ litros$ d'aigua necessita $120\ ml$ d'extracte. No obstant això, ella vol preparar una tina amb un volum total de barreja (aigua + extracte) de $10,8\ litros$. Quina quantitat exacta d'aigua i d'extracte ha de barrejar per mantenir la proporció?

El gràfic següent mostra la relació entre el temps de càrrega d'un nou model de telèfon intel·ligent i el percentatge de bateria recuperat. El fabricant afirma que la càrrega és directament proporcional durant els primers $40$ minuts.

1. a) Observant el punt destacat, calcula quants minuts triga el mòbil a carregar un $1\%$ de bateria.
2. b) Si el mòbil té actualment un $12\%$ de bateria i has de sortir de casa en $18$ minuts, amb quin percentatge de bateria sortiràs?

En un mapa d'alta muntanya amb escala $1:25.000$, la distància entre dos refugis és de $14,4\ cm$. Un grup d'excursionistes sap que la seva velocitat mitjana d'ascens és constant i que triguen $45$ minuts a recórrer $1.500\ metros$ reals en aquest terreny.

1. a) Calcula la distància real entre els dos refugis en quilòmetres.
2. b) A quina hora arribaran al segon refugi si surten del primer a les $08:30$ del matí?

Un servidor de videojocs distribueix dades als jugadors de manera directament proporcional al temps de connexió. Un jugador ha descarregat $1,8\ GB$ en els darrers $12$ minuts.

1. a) Calcula la taxa de transferència en $MB$ per minut (Recorda que $1\ GB = 1.024\ MB$).
2. b) Si l'actualització total del joc pesa $15\ GB$, quantes hores i minuts trigarà a completar-se la descàrrega si la velocitat es manté constant?

Tres classes de 1r d'ESO han decidit organitzar una campanya de recollida d'aliments. El nombre de quilos recollits és directament proporcional al nombre d'alumnes de cada classe. La classe A té $24$ alumnes i n'ha recollit $36\ kg$.

1. a) Completa la taula següent raonant els càlculs:

1. b) Quina és la constant de proporcionalitat que relaciona els quilos per cada alumne? Expressa-la com una fracció irreductible.

Una empresa de missatgeria utilitza furgonetes elèctriques. El cost del consum elèctric és directament proporcional als quilòmetres recorreguts. El mes passat, una furgoneta va recórrer $1.250\ km$ amb un cost total de $37,50\ €$ en electricitat.

1. a) Aquest mes el preu de l'electricitat ha pujat un $20\%$. Quina serà la nova constant de proporcionalitat (cost per quilòmetre)?
2. b) Amb el nou preu, quant costarà recórrer una ruta de $420\ km$?

Una impressora 3D triga $4,5$ hores a imprimir una peça de $270$ grams de filament. Volem saber quant trigarà a imprimir una altra peça de $420$ grams, suposant el mateix ritme.

1. a) Explica per què el pes de la peça i el temps d'impressió són magnituds directament proporcionals.
2. b) Planteja la regla de tres directa i calcula el temps que trigarà la peça de $420$ grams.
3. c) Quants grams imprimeix la màquina en una hora? Comprova el teu resultat de l'apartat b) fent servir aquesta dada.

En una almàssera de Jaén es comercialitza oli d'oliva verge extra. El preu final és estrictament proporcional al volum d'oli adquirit, sense costos fixos d'envasament ni rebaixes per volum. Dos clients coincideixen a la botiga:

• El primer client compra un nombre determinat de garrafes de $5\text{ litres}$ i abona una factura de $135\text{ €}$.

• El segon client compra exactament $7\text{ litres}$ més d'oli que el primer i paga un total de $198\text{ €}$.

1. a) Dedueix el preu d'un sol litre d'oli (la constant de proporcionalitat $k$) sense conèixer prèviament quants litres va adquirir cadascun. Justifica amb rigor el raonament que et permet calcular-lo a partir de les diferències de volum i de preu.
2. b) Construeix l'expressió matemàtica que relaciona el cost total $C$ (en euros) en funció del volum total $V$ (en litres).
3. c) A partir del teu model, reconstrueix les dades de la compra del primer client: calcula quants litres d'oli es va endur i quantes garrafes completes de $5\text{ litres}$ va comprar.

El servei municipal de lloguer de bicicletes d'una ciutat ofereix dues modalitats de pagament:

• Modalitat A (Sense abonament): No hi ha quota fixa inicial; es paguen $0,60\text{ €}$ per cada fracció de mitja hora d'ús.

• Modalitat B (Amb abonament anual): S'abona una quota fixa anual de $24\text{ €}$ i després es paguen $0,20\text{ €}$ per cada fracció de mitja hora d'ús.

1. a) Comprova si l'import total pagat a l'any és directament proporcional al temps d'ús en cadascuna de les dues modalitats. Per justificar-ho, calcula el quocient (cost total / mitges hores) per a $1$, $2$ i $10$ mitges hores en ambdues opcions i analitza si es manté constant.
2. b) Un ciclista abonat a la Modalitat B afirma: «Si aquest any faig servir la bicicleta el doble de temps que l'any passat, la meva despesa anual es duplicarà exactament». Demostra amb un contraexemple numèric que la seva afirmació és falsa i explica quin element de la tarifa impedeix la proporcionalitat directa.
3. c) Una persona calcula que utilitzarà el servei exactament $80$ mitges hores durant l'any. Modelitza algebraicament el cost d'ambdues tarifes per a aquest valor i determina quina li resulta més econòmica, calculant la diferència d'estalvi en euros.