Exercicis: Regla de Laplace

Calcula la probabilitat de cada succés, indicant els casos favorables i els casos possibles:

1. a) Treure cara en llançar una moneda.
2. b) Treure un $3$ en llançar un dau.
3. c) Treure creu en llançar una moneda.

Llancem un dau de $6$ cares. Calcularem la probabilitat de «treure un nombre més gran que $4$» pas a pas:

1. a) Quants resultats possibles té l'experiment? Escriu-los.
2. b) Quins són els resultats favorables al succés «més gran que $4$»?
3. c) Aplica la regla de Laplace i escriu la probabilitat com a fracció.

En una bossa hi ha $4$ boles vermelles i $6$ boles blaves, totes iguals. Treiem una bola a l'atzar.

1. a) Quantes boles hi ha en total?
2. b) Quina és la probabilitat de treure una bola vermella?
3. c) I de treure una bola blava?
4. d) Comprova que les dues probabilitats anteriors sumen $1$.

En una caixa hi ha $10$ cromos: $4$ són de jugadors i $6$ d'escuts. Si treiem un cromo a l'atzar:

1. a) Quina és la probabilitat que sigui d'un jugador?
2. b) Quina és la probabilitat que sigui d'un escut?
3. c) Quin tipus de cromo és més probable treure? Per què?

En una classe de 1r d'ESO s'organitza un sorteig amb una urna que conté $5$ paperetes verdes, $7$ paperetes blaves i $8$ paperetes blanques, totes de la mateixa mida i textura.

Hugo vol calcular la probabilitat d'extreure una papereta verda a l'atzar i escriu a la pissarra:

$$P(\text{verda}) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$$

Quan la professora li pregunta, Hugo justifica el seu càlcul així: «Hi ha $5$ casos favorables, que són les paperetes verdes, i $15$ casos possibles, que són les $7$ blaves i les $8$ blanques que no són verdes».

1. a) Explica quin és l'error que comet Hugo en identificar els «casos possibles» i per què el seu raonament no respecta la regla de Laplace.
2. b) Corregeix la seva resolució: determina el nombre correcte de casos possibles i calcula la probabilitat real d'extreure una papereta verda. Expressa el resultat com a fracció irreductible i com a nombre decimal.
3. c) Si preguntem per la probabilitat d'extreure a l'atzar una papereta de color vermell d'aquesta mateixa urna, quin és el seu valor numèric? Com s'anomena aquest tipus d'esdeveniment?

Per celebrar el Dia del Llibre, a la biblioteca de l'institut s'han col·locat dins d'una bossa $40$ punts de llibre idèntics numerats de l'$1$ al $40$. Qui extregui a l'atzar un punt de llibre amb un nombre que sigui múltiple de $6$, guanya un llibre juvenil.

1. a) Abans de fer cap càlcul exacte, fes una estimació: creus que la probabilitat de guanyar el llibre serà més gran, més petita o igual que $0,2$ (és a dir, el $20\%$)? Justifica la teva intuïció pensant en cada quants nombres enters apareix un múltiple de $6$.
2. b) Escriu la llista completa de tots els casos favorables (els múltiples de $6$ entre $1$ i $40$) i calcula mitjançant la regla de Laplace la probabilitat exacta de guanyar el llibre. Expressa el resultat com a fracció irreductible i en forma de nombre decimal arrodonit a les centèsimes.
3. c) Compara el teu resultat exacte amb l'estimació que has fet a l'apartat a). Ha estat encertada la teva previsió? Explica a què es deu que la probabilitat real no coincideixi exactament amb dividir $1$ entre $6$ en treballar només fins al nombre $40$.

De la bossa de la figura, que conté $10$ boles de tres colors, s'extreu una bola a l'atzar.

1. a) Calcula la probabilitat de treure bola vermella, blava i verda.
2. b) Quina és la probabilitat que la bola no sigui vermella?
3. c) Quina és la probabilitat de treure una bola groga? Com es diu aquest tipus de succés?

De l'urna de la figura, que conté $10$ fitxes numerades del $1$ al $10$, es treu una fitxa a l'atzar.

Calcula la probabilitat d'aquests successos:

1. a) Treure un nombre parell.
2. b) Treure un múltiple de $3$.
3. c) Treure un nombre més gran que $7$.
4. d) Treure un nombre d'una sola xifra.

La ruleta de la figura té $8$ sectors iguals numerats del $1$ al $8$. Es fa girar una vegada.

Calcula la probabilitat d'aquests successos:

1. a) Sortir el nombre $5$.
2. b) Sortir un nombre parell.
3. c) Sortir un nombre més gran que $5$.
4. d) No sortir el $8$.

D'una baralla espanyola de $40$ cartes ($10$ de cada coll: oros, copes, espases i bastos) s'extreu una carta a l'atzar. Recorda que a cada coll hi ha $7$ cartes numerades del $1$ al $7$ i $3$ figures (sota, cavall i rei).

Calcula la probabilitat d'aquests successos, donant la fracció irreductible:

1. a) Treure un oro.
2. b) Treure un as.
3. c) Treure una figura.
4. d) Treure una carta que no sigui de copes.

Per a un taller de matemàtiques recreatives, tens una caixa buida i fitxes idèntiques al tacte de tres colors: verdes, vermelles i negres. En total has de col·locar exactament $24$ fitxes a la caixa. El teu objectiu és dissenyar el contingut de la caixa perquè es compleixin simultàniament aquestes dues condicions:

1. La probabilitat d'extreure una fitxa verda a l'atzar ha de ser exactament $\frac{1}{3}$.

2. La probabilitat que la fitxa extreta a l'atzar no sigui negra ha de ser $\frac{3}{4}$.

1. a) Dedueix quantes fitxes verdes, vermelles i negres has d'introduir a la caixa per complir totes dues condicions. Explica pas a pas com obtens cada quantitat.
2. b) Amb la caixa ja configurada, calcula la probabilitat d'extreure una fitxa de color vermell. Expressa el resultat com a fracció irreductible.
3. c) Sense treure cap de les $24$ fitxes inicials, quantes fitxes negres hauries d'afegir a la caixa perquè la probabilitat d'extreure una fitxa negra passi a ser exactament $\frac{1}{2}$? Justifica la teva resposta plantejant la relació entre els nous casos favorables i els nous casos possibles.

Segons el registre històric de l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) per a una localitat del nord d'Espanya durant el mes de novembre (que té $30$ dies en total), els dies es van distribuir de la manera següent:

• Hi va haver $12$ dies amb pluja.

• Hi va haver $10$ dies coberts per núvols, però sense registrar precipitacions.

• La resta dels dies del mes van ser completament serens.

Una empresa de turisme actiu ha de triar a l'atzar una data d'aquest mes per fer una ruta pilot de senderisme.

1. a) Calcula la probabilitat que el dia triat a l'atzar hagi estat un dia serè. Expressa el resultat com a fracció irreductible i en percentatge arrodonit a les dècimes.
2. b) Quina és la probabilitat que en la data triada no hagi plogut? Mostra com obtenir aquest valor mitjançant dos camins diferents: sumant els casos favorables directes i calculant-lo a través de l'esdeveniment contrari.
3. c) El coordinador de l'empresa afirma: «En triar un dia de novembre a l'atzar, tenim més d'un $65\%$ de probabilitats que no plogui». Determina raonadament si el coordinador té raó o si està equivocat a partir dels teus càlculs.

En una bossa hi ha $12$ boles entre vermelles i blaves. Sabem que la probabilitat de treure una bola vermella a l'atzar és $\frac{1}{3}$.

1. a) Quantes boles vermelles hi ha a la bossa? I blaves?
2. b) Quantes boles blaves caldria afegir a la bossa perquè la probabilitat de treure vermella passés a ser $\frac{1}{4}$?
3. c) Sense afegir ni treure boles del cas inicial, què és més probable: treure una bola vermella o no treure-la? Calcula totes dues probabilitats.

A la fira hi ha una ruleta amb $4$ colors, però els seus sectors no són iguals, com es veu a la figura.

Un alumne afirma: «Com que hi ha $4$ colors, la probabilitat de cadascun és $\frac{1}{4}$».

1. a) Explica per què el seu raonament és incorrecte. Quina condició s'ha de complir per a poder aplicar la regla de Laplace?
2. b) Estima, mirant els sectors, la probabilitat de cada color expressant-la com a fracció.
3. c) Comprova que les quatre probabilitats que has donat sumen $1$.

Tenim dues bosses. A la bossa A hi ha $3$ boles vermelles i $5$ de blaves; a la bossa B hi ha $5$ de vermelles i $7$ de blaves. Volem treure una bola vermella.

1. a) Calcula la probabilitat de treure bola vermella a cada bossa.
2. b) En quina bossa és més probable treure vermella? N'hi ha prou de mirar quina bossa té més boles vermelles? Raona la teva resposta.
3. c) Quantes boles vermelles caldria afegir a la bossa A (sense treure'n cap) perquè la probabilitat de treure vermella fos $\frac{1}{2}$?

Un dau de $12$ cares (dodecaedre) té les seves cares numerades del $1$ al $12$. El llancem una vegada.

1. a) Calcula la probabilitat de treure un múltiple de $4$.
2. b) Calcula la probabilitat de treure un nombre més gran que $8$.
3. c) Expressa les dues probabilitats anteriors com a fracció irreductible, com a nombre decimal i com a percentatge.
4. d) Quina és la probabilitat de no treure un múltiple de $4$? Quant sumen les probabilitats de «treure múltiple de $4$» i de «no treure'l»?

Es llancen a l'aire dues monedes equilibrades d'$1$ euro. Volem calcular la probabilitat de l'esdeveniment $A$: «obtenir almenys una cara». Tres estudiants de 1r d'ESO proposen mètodes diferents per resoldre'l:

• Mètode d'Alba: «Els resultats possibles segons el nombre de cares que poden sortir són tres: $0$ cares, $1$ cara o $2$ cares. Com que busquem almenys una cara, els casos favorables són dos ($1$ cara o $2$ cares). Per la regla de Laplace, $P(A) = \frac{2}{3}$».

• Mètode de Bruno: «Escric l'espai mostral detallant cada moneda: $\{CC, CX, XC, XX\}$. Hi ha $4$ casos possibles i tots tenen la mateixa probabilitat de sortir. Els casos favorables amb almenys una cara són $\{CC, CX, XC\}$, que són $3$. Per la regla de Laplace, $P(A) = \frac{3}{4}$».

• Mètode de Clara: «Calculo la probabilitat de l'esdeveniment contrari: el contrari de 'treure almenys una cara' és 'no treure cap cara' (és a dir, treure dues creus, $XX$). Com que només hi ha $1$ cas dels $4$ possibles, $P(\text{cap cara}) = \frac{1}{4}$. Després resto de la certesa: $P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$».

1. a) Analitza la proposta d'Alba: explica amb precisió per què la seva aplicació de la regla de Laplace és errònia i quina condició fonamental sobre els casos possibles ha ignorat.
2. b) Compara els mètodes de Bruno i Clara. Si en comptes de llançar $2$ monedes es llancessin $6$ monedes simultàniament, quin dels dos mètodes seria molt més eficient per calcular la probabilitat d'obtenir almenys una cara? Justifica la teva resposta explicant la dificultat que presentaria l'altre mètode.
3. c) Utilitza el mètode més convenient dels dos anteriors per calcular la probabilitat d'obtenir almenys una cara en llançar $3$ monedes equilibrades.

A partir d'una mostra de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) sobre sostenibilitat i reciclatge, s'analitzen $1200$ llars d'una ciutat espanyola per estudiar la separació de residus en origen. Les dades obtingudes reflecteixen el següent:

• $720$ llars separen habitualment els envasos de plàstic (contenidor groc).

• $600$ llars separen el paper i cartó (contenidor blau).

• $240$ llars no separen cap d'aquests dos tipus de residus.

L'ajuntament seleccionarà una llar a l'atzar d'aquesta mostra per lliurar-li una distinció mediambiental.

1. a) Organitza la informació en una taula de contingència de doble entrada (amb les opcions 'separa plàstic / no separa plàstic' enfront de 'separa paper / no separa paper') i dedueix quantes llars separen simultàniament tots dos materials.
2. b) Si es tria una llar a l'atzar, calcula la probabilitat dels esdeveniments següents expressant cada resultat com a fracció irreductible i com a percentatge:

1. Que la llar separi tant plàstic com paper.

2. Que la llar separi almenys un dels dos tipus de residu.

3. Que la llar separi únicament paper i cartó, però no plàstic.

1. c) Un tècnic municipal assegura: «La probabilitat de seleccionar a l'atzar una llar que recicla únicament plàstic és exactament el doble que la de seleccionar una llar que no recicla cap dels dos materials». Comprova numèricament si l'afirmació del tècnic és vertadera o falsa i justifica la teva conclusió.