Exercicis: Freqüència relativa i probabilitat experimental

Hem llançat una moneda $50$ vegades i ha sortit cara $28$ vegades.

1. a) Quina és la freqüència absoluta de «cara»? I la de «creu»?
2. b) Calcula la freqüència relativa de «cara» com a fracció i com a decimal.
3. c) I la freqüència relativa de «creu»?

Una jugadora de bàsquet ha encistellat $45$ dels últims $60$ tirs lliures que ha llançat.

1. a) Quina és la seva freqüència relativa d'encistellament?
2. b) Si demà llança un tir lliure, quina probabilitat experimental li assignaries que l'encistelli? Expressa-la com a fracció, com a decimal i com a percentatge.

En Marcos està jugant amb una moneda equilibrada d'$1$ euro. La llança $10$ vegades consecutives i obté $8$ creus i només $2$ cares. En acabar, en Marcos afirma molt convençut: «Com que la probabilitat teòrica d'obtenir cara és $0,5$, en les pròximes $10$ tirades han de sortir obligatòriament almenys $8$ cares per compensar la ratxa i que la freqüència relativa s'estabilitzi en la probabilitat teòrica».

1. a) Identifica l'error en l'afirmació d'en Marcos i explica per què el seu raonament és fals recordant el principi que «l'atzar no té memòria».
2. b) Calcula la freqüència relativa de l'esdeveniment «sortir cara» en les $10$ primeres tirades d'en Marcos en forma de fracció i en forma decimal. Contradiu aquest resultat que la moneda sigui equilibrada?
3. c) Si en Marcos continués llançant la mateixa moneda fins a completar $1.000$ tirades, explica com es produeix realment l'estabilització de la freqüència relativa: necessita la moneda «retornar» les cares que faltaven o simplement l'impacte d'aquestes $8$ creus inicials es dilueix entre el gran nombre total de tirades?

En una planta de reciclatge d'envasos a València, un sensor òptic inspecciona ampolles de plàstic per separar les defectuoses. Durant una prova matinal, el sensor va detectar exactament $18$ ampolles defectuoses, cosa que va suposar una freqüència relativa de defectes de $0,03$.

1. a) Planteja la relació matemàtica corresponent i calcula quantes ampolles va inspeccionar el sensor en total durant aquesta prova matinal.
2. b) Quantes ampolles no defectuoses van passar pel sensor en aquesta prova? Quina va ser la seva freqüència relativa expressada en percentatge?
3. c) Si a la tarda la màquina revisa un nou lot de $800$ ampolles del mateix tipus i en idèntiques condicions, quantes ampolles defectuoses cal esperar que trobi? Justifica la teva resposta utilitzant el concepte de probabilitat experimental.

Un grup d'alumnes llança un dau $60$ vegades i anota els resultats: el $1$ surt $8$ vegades; el $2$, $11$ vegades; el $3$, $9$ vegades; el $4$, $10$ vegades; el $5$, $13$ vegades, i el $6$, $9$ vegades.

1. a) Construeix la taula de freqüències absolutes i relatives (aquestes últimes amb tres xifres decimals).
2. b) Quina freqüència relativa «teòrica» esperaries per a cada cara si el dau és just? Expressa-la com a fracció i com a decimal aproximat.
3. c) Quin resultat s'ha allunyat més del que s'esperava? Creus que el dau està trucat? Justifica la teva resposta tenint en compte el nombre de llançaments.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Al pati es juga a llançar una xinxeta: pot caure amb la punta cap amunt o de costat. Després de $200$ llançaments, la xinxeta ha caigut amb la punta cap amunt $112$ vegades.

1. a) Calcula la freqüència relativa de «punta cap amunt» i la de «de costat».
2. b) Quina probabilitat experimental li assignaries a cada resultat?
3. c) Per què en aquest experiment no podem fer servir la regla de Laplace per dir que cada resultat val $\frac{1}{2}$?

Un club de jocs de taula organitza un sorteig amb una ruleta de $5$ sectors iguals numerats del $1$ al $5$. Abans del sorteig, un espectador la prova fent-la girar $500$ vegades i obté: el $1$ surt $97$ vegades; el $2$, $103$ vegades; el $3$, $98$ vegades; el $4$, $101$ vegades, i el $5$, $101$ vegades.

1. a) Calcula les freqüències relatives de cada nombre.
2. b) Quina probabilitat teòrica té cada nombre si la ruleta és justa?
3. c) Sembla equilibrada la ruleta? Raona la teva resposta.

Al laboratori de ciències, dos estudiants investiguen la probabilitat experimental que una xapa metàl·lica de refresc caigui amb la part buida cap amunt o amb la cara plana cap amunt. Després de llançar la xapa $250$ vegades sobre una taula llisa en idèntiques condicions, observen que la cara plana queda cap amunt en $165$ ocasions.

1. a) Abans de fer cap divisió amb decimals, estima mentalment entre quins valors rodons de percentatge es troba la freqüència relativa de «cara plana cap amunt» (per exemple, està més a prop del $50\,\%$, del $65\,\%$ o del $80\,\%$?). Explica quin raonament mental ràpid has utilitzat per orientar-te.
2. b) Comprova la teva estimació calculant la freqüència relativa exacta de «cara plana cap amunt» i de «buit cap amunt», expressant-les com a nombre decimal i com a percentatge amb un decimal.
3. c) Si un company llançarà aquesta mateixa xapa únicament $5$ vegades en un joc ràpid, és segur que caurà amb la cara plana cap amunt exactament en la proporció calculada a l'apartat anterior? Justifica per què la probabilitat experimental només ofereix garanties fiables quan el nombre de repeticions és gran.

En una classe de Matemàtiques es vol esbrinar la probabilitat que una piràmide massissa de fusta amb base quadrada i quatre cares triangulars idèntiques s'aturi recolzada sobre la seva base quadrada en ser llançada a l'aire. Per investigar-ho, sorgeixen dues propostes:

• Mètode de la Clara: Aplicar directament la regla de Laplace raonant que, com que el cos té $5$ cares en total i una d'elles és la base, la probabilitat teòrica és $\dfrac{1}{5} = 0,2$ (el $20\,\%$).

• Mètode d'en Mateo: Llançar la piràmide $400$ vegades sobre una superfície encoixinada, registrar quantes vegades queda recolzada sobre la base i calcular la freqüència relativa d'aquest esdeveniment.

1. a) Compara tots dos mètodes i justifica quin és l'adequat per a aquest experiment. Quina condició imprescindible exigeix la regla de Laplace que no es compleix en aquest objecte geomètric?
2. b) En aplicar el mètode correcte i llançar la piràmide $400$ vegades, la base queda recolzada en $144$ ocasions. Assigna la probabilitat experimental als esdeveniments «recolzar-se sobre la base» i «recolzar-se sobre una cara triangular», expressant-les com a fraccions irreductibles, decimals i percentatges.
3. c) Si un tercer alumne proposés llançar la piràmide únicament $10$ vegades per acabar abans, raona per què la seva estimació no seria científicament fiable comparada amb la de $400$ llançaments.

La gràfica mostra com evoluciona la freqüència relativa del succés «treure cara» quan llancem una moneda cada vegada més vegades.

1. a) Cap a quin valor s'acosta la freqüència relativa quan el nombre de llançaments és molt gran?
2. b) Per què creus que les oscil·lacions són grans al principi i petites al final?
3. c) Si llanquéssim la moneda $100.000$ vegades, quina freqüència relativa esperaries obtenir, aproximadament? I quantes cares?
4. d) Contradiu aquesta gràfica l'afirmació «en $10$ llançaments han de sortir $5$ cares»? Raona la teva resposta.

Dues jugadores de bàsquet presumeixen de la seva punteria:

• Lara ha encistellat $12$ dels seus últims $20$ tirs lliures.

• Miriam ha encistellat $45$ dels seus últims $100$ tirs lliures.

1. a) Calcula la freqüència relativa d'encistellament de cadascuna.
2. b) Quina de les dues té un millor percentatge d'encert?
3. c) L'entrenador ha d'escollir una de les dues per llançar el tir decisiu i diu: «Em refio més de la dada de Miriam, perquè ve de molts més llançaments». Què vol dir? Estàs d'acord amb el seu raonament? Argumenta fent servir el que saps de la freqüència relativa.

Una app de matemàtiques simula el llançament d'un dau $11.000$ vegades i obté aquests resultats: l'$1$ surt $1.660$ vegades; el $2$, $1.668$ vegades; el $3$, $1.655$ vegades; el $4$, $1.670$ vegades; el $5$, $1.647$ vegades, i el $6$ surt $2.700$ vegades.

1. a) Calcula la freqüència relativa de cada resultat, amb quatre xifres decimals.
2. b) Si el dau virtual fos just, quina freqüència relativa esperaries per a cada cara, aproximadament?
3. c) Quina cara sospites que està «carregada»? Raona la teva resposta comparant les freqüències obtingudes amb les esperades.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) disposa del registre històric dels últims $50$ anys sobre precipitacions a la ciutat de Saragossa durant el mes de maig (que consta de $31$ dies). En aquest període històric de $1.550$ dies de maig observats, es van registrar precipitacions en $310$.

1. a) Modela aquesta situació calculant la probabilitat experimental que un dia qualsevol de maig plogui a Saragossa, expressada com a fracció irreductible, com a nombre decimal i com a percentatge.
2. b) L'any actual, durant els primers $10$ dies de maig va ploure en $5$. Calcula la freqüència relativa de pluja en aquesta primera desena. Permet aquesta dada afirmar que el model històric de l'AEMET és incorrecte? Argumenta la teva resposta analitzant la diferència entre el comportament aleatori a curt termini i l'estabilització de freqüències a llarg termini.
3. c) Si durant els $21$ dies restants d'aquest mes de maig no plogués cap dia, quina seria la freqüència relativa de dies plujosos del mes complet de maig d'aquest any? Compara aquest valor final amb la probabilitat històrica i explica quin principi probabilístic il·lustra aquest canvi respecte a la dada dels primers $10$ dies.

Dos grups d'estudiants volen comprovar si una moneda antiga està trucada a favor de la cara o si és una moneda equilibrada. Per estudiar-ho, disposen de $100$ tirades ja realitzades, dividides en $5$ tandes consecutives de $20$ tirades cadascuna, amb els recomptes següents de «cara»:

• Tanda 1: $13$ cares de $20$

• Tanda 2: $8$ cares de $20$

• Tanda 3: $14$ cares de $20$

• Tanda 4: $9$ cares de $20$

• Tanda 5: $12$ cares de $20$

El Grup A analitza les tandes per separat i conclou: «En $3$ de les $5$ tandes la freqüència relativa va superar el $0,55$ ($65\,\%$, $70\,\%$ i $60\,\%$). Com que la majoria de les tandes afavoreixen la cara, queda demostrat que la moneda està carregada».

El Grup B sosté que aquesta anàlisi és defectuosa i proposa consolidar totes les tirades i ampliar l'experiment fins a assolir almenys $1.000$ llançaments abans d'extreure conclusions.

1. a) Assenyala l'error metodològic del Grup A. Per què classificar les tandes curtes de manera aïllada pot conduir a una conclusió falsa en un fenomen aleatori?
2. b) Calcula la freqüència relativa global de l'esdeveniment «sortir cara» en el conjunt de les $100$ tirades realitzades (en forma decimal i en percentatge). Si la moneda fos equilibrada, és aquest resultat de $100$ tirades una prova concloent que està trucada o es pot atribuir a l'oscil·lació natural de l'atzar? Raona la teva resposta.
3. c) Justifica per què la proposta del Grup B d'ampliar a $1.000$ tirades és superior: descriu quina pauta matemàtica mostraria la freqüència relativa acumulada si la moneda estigués ben equilibrada en comparació amb la pauta que mostraria si estigués realment trucada amb una probabilitat teòrica de cara igual a $0,60$.

Repte del tema. Podem predir el temps amb les matemàtiques? Converteix-te en analista meteorològic amb aquest repte.

1. Espai mostral i dades: Entra al web de l'AEMET i registra en un full de càlcul si va ploure o no a la teva localitat durant els últims $30$ dies. Defineix l'espai mostral $E$ del temps diari.

2. Laplace enfront de la realitat: Calcula la freqüència relativa de l'esdeveniment «dia de pluja» ($f$). Planteja si té sentit aplicar la regla de Laplace assignant $P = 1/2 = 0,5$ al fet que plogui. Justifica si tots dos resultats són equiprobables al teu municipi.

3. Simulació experimental: Llença una moneda $50$ vegades (cara = pluja, creu = no pluja) per simular un model equiprobable. Anota les freqüències relatives acumulades cada $10$ tirades i observa la seva tendència cap a la probabilitat teòrica.

4. Producte final: Elabora un informe breu (d'una pàgina) amb una gràfica comparativa entre les teves tirades i els registres reals de l'AEMET, explicant quines diferències hi ha entre probabilitat experimental i teòrica.

Es valorarà:

• Identificació correcta de l'espai mostral i justificació rigorosa sobre l'ús de Laplace.

• Domini del full de càlcul per tabular dades i calcular freqüències relatives amb precisió.

• Comparació reflexiva entre l'experiment aleatori i les dades climàtiques reals.

• Claredat expositiva en les conclusions de l'informe final.