Exercicis: Arrel quadrada

En una arrel quadrada, cada nombre té un nom especial que indica la seva funció. Observa la igualtat següent i identifica el nom de cadascun dels elements assenyalats amb fletxes:

$\sqrt{81} = 9$

Calcula mentalment el valor de les arrels quadrades exactes següents:

1. a) $\sqrt{16} =$
2. b) $\sqrt{4} =$
3. c) $\sqrt{100} =$
4. d) $\sqrt{49} =$
5. e) $\sqrt{1} =$
6. f) $\sqrt{121} =$

La Lucía vol decorar una targeta quadrada de felicitació que té una superfície de $64 \text{ cm}^2$. Per comprar un cordill decoratiu que rodegi tota la vora, primer necessita saber quant mesura un costat. Quina és la longitud del costat de la targeta?

No totes les arrels són exactes. Sense usar la calculadora, indica entre quins dos nombres enters consecutius es troben les arrels quadrades següents:

1. a) $....... < \sqrt{20} < .......$
2. b) $....... < \sqrt{50} < .......$
3. c) $....... < \sqrt{11} < .......$

Resol les operacions combinades següents respectant la jerarquia de les operacions (recorda calcular l'arrel abans que les sumes o restes):

1. a) $15 + \sqrt{36} =$
2. b) $2 \cdot \sqrt{25} - 3 =$
3. c) $\sqrt{64} + \sqrt{9} =$
4. d) $20 - \sqrt{81} : 3 =$

Un fotògraf vol organitzar les seves fotos en una xarxa social formant un mosaic quadrat. Si té $144$ fotos en total, quantes fotos ha de posar a cada fila i a cada columna perquè el mosaic sigui un quadrat perfecte?

Copia a la teva llibreta i utilitza els signes $>$ (més gran que), $<$ (més petit que) o $=$ (igual a) per comparar els nombres següents:

1. a) $\sqrt{36} ....... 7$
2. b) $\sqrt{81} ....... 9$
3. c) $5 ....... \sqrt{16}$
4. d) $\sqrt{100} ....... \sqrt{64}$

Indica si les afirmacions següents són verdaderes o falses i explica breument per què:

1. a) L'arrel quadrada de 25 és 5 perquè $5 \cdot 2 = 10$.
2. b) No existeix cap nombre enter que sigui l'arrel quadrada de 30.
3. c) El nombre 0 no té arrel quadrada.
4. d) $\sqrt{144}$ és igual a 12 perquè $12^2 = 144$.

En Marcos ha de calcular en un examen la següent expressió combinada:

Per resoldre-la, escriu al seu full d'examen:

1. a) Explica amb les teves paraules quin error ha comès en Marcos i per què la rel quadrada no es pot separar en una suma, a diferència del que passa amb la multiplicació.
2. b) Resol l'expressió correctament respectant la jerarquia de les operacions (operant primer el radicand).
3. c) Compara els dos resultats i explica si la separació incorrecta que ha fet en Marcos ha donat un resultat més gran o més petit que el valor real.

Volem acotar la zona d'un hort escolar de forma quadrada que té una superfície de $75\text{ m}^2$. El costat de l'hort ve donat per $\sqrt{75}$.

1. a) Estima: sense fer divisions ni fer servir la calculadora, indica entre quins dos nombres enters consecutius s'ha de situar la longitud del costat, identificant els dos quadrats perfectes més propers a $75$.
2. b) Calcula la rel sencera i el residu de $\sqrt{75}$. Si cada metre quadrat de l'hort es divideix en parcel·les d'$1\text{ m}^2$, quin significat real tenen la rel sencera i el residu?
3. c) Comprova que el teu resultat és coherent mitjançant la relació $N = r^2 + \text{residu}$ i verifica que el residu obtingut és menor que el doble de la rel més u.

Calcula les següents arrels quadrades exactes justificant el resultat mitjançant una potència, com a l'exemple:

Exemple: $\sqrt{49} = 7$ perquè $7^2 = 49$

1. a) $\sqrt{121}$
2. b) $\sqrt{169}$
3. c) $\sqrt{225}$
4. d) $\sqrt{400}$

Troba l'arrel quadrada entera i el residu dels nombres següents. Indica també entre quins dos nombres naturals consecutius es troba cada arrel.

1. a) $\sqrt{30}$

1. b) $\sqrt{55}$

1. c) $\sqrt{85}$

Aplica les propietats de les arrels (arrel d'un producte i arrel d'un quocient) per resoldre aquestes operacions de forma simplificada:

1. a) $\sqrt{64 \cdot 100}$
2. b) $\sqrt{16 \cdot 25}$
3. c) $\sqrt{\frac{144}{9}}$
4. d) $\sqrt{4 \cdot 9 \cdot 100}$

Al pati de l'institut s'ha dissenyat un jardí quadrat que té una superfície de $144$ $m^2$. Per protegir les plantes, el conserge vol col·locar una tanca de fusta al voltant de tota la vora. Si cada metre de tanca costa $12$ €, quant costarà tancar tot el jardí?

Calcula el valor de les expressions següents respectant la jerarquia de les operacions:

1. a) $3^2 + \sqrt{64} - 2 \cdot 3$
2. b) $(\sqrt{100} - 4) : 2 + 5^2$
3. c) $2 \cdot \sqrt{81} - (3^2 - \sqrt{25})$
4. d) $\sqrt{49} \cdot 2 + 10^2 : 4$

El club de fotografia de l'institut vol exposar $200$ fotos en un panell formant el quadrat més gran possible.

1. a) Quantes fotos tindrà cada costat del quadrat?
2. b) Quantes fotos li sobraran?
3. c) Quantes fotos més necessitaria per completar un quadrat que tingui una foto més a cada costat?

Indica si les afirmacions següents són verdaderes o falses, raonant la teva resposta amb un contraexemple quan sigui necessari:

1. a) L'arrel quadrada de la suma de dos nombres és igual a la suma de les arrels d'aquests nombres: $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
2. b) No existeix l'arrel quadrada d'un nombre negatiu.
3. c) Si un nombre acaba en $2$, no pot ser un quadrat perfecte.
4. d) L'arrel quadrada d'un nombre sempre és menor que el nombre mateix.

La Marta té un tauler quadrat amb $100$ caselles. El seu germà petit li ha regalat un altre tauler que té una àrea que és la quarta part del primer.

1. a) Quantes caselles té el tauler petit?
2. b) Quantes caselles té de costat el tauler gran?
3. c) Quantes caselles té de costat el tauler petit? Quina relació hi ha entre el costat del gran i el del petit?

Una cooperativa d'oli d'oliva d'Úbeda (Jaén) disposa de $260$ plançons joves per plantar una parcel·la quadrada amb el mateix nombre d'oliveres per fila que per columna.

1. a) Modela la situació mitjançant una rel quadrada: calcula quantes oliveres tindrà cada fila en el quadrat més gran que es pot formar i quants plançons sobraran.
2. b) Si la cooperativa vol aprofitar la comanda i formar un quadrat amb una fila i una columna més sense que sobri cap plançó, quants arbres addicionals hauria de comprar?
3. c) Si la distància reglamentària de separació entre cada dues oliveres consecutives d'una mateixa fila és de $6\text{ metres}$, quant mesurarà la distància des de la primera olivera fins a l'última d'una fila en el quadrat plantat?

En calcular la rel sencera d'un nombre natural desconegut $N$, s'obté com a rel $r = 11$.

1. a) Escriu quin és el menor valor possible que pot tenir el radicand $N$ perquè la seva rel sencera continuï sent $11$.
2. b) Imagina que formes un quadrat amb fitxes d'$11 \times 11$. Raona geomètricament quantes fitxes necessites afegir com a mínim per construir el següent quadrat de $12 \times 12$, i comprova que aquesta quantitat equival a $2 \cdot 11 + 1$.
3. c) A partir de la deducció anterior, determina quin és el residu més gran possible que pot tenir una rel sencera de valor $11$ i dedueix quin és el valor més gran possible que pot prendre el radicand $N$.

Utilitza les propietats de les potències per expressar el resultat com una única potència de base 2:

Calcula el valor de la següent expressió combinada, respectant estrictament la jerarquia de les operacions:

Estem dissenyant un nivell per a un videojoc sobre una quadrícula. Volem construir una habitació quadrada utilitzant rajoles especials. Si utilitzem totes les rajoles que tenim, ens en sobren $15$, però si intentem afegir una fila i una columna més per fer el quadrat més gran, ens faltarien $16$ rajoles.

Quantes rajoles tenim en total?

Troba el nombre natural $n$ que compleix la següent igualtat:

Raona la teva resposta utilitzant el concepte de suma de sumands iguals i les propietats de les potències.

Un col·leccionista de cartes vol organitzar el seu àlbum. Sap que si col·loca les seves cartes formant un quadrat, li sobren $8$ cartes. No obstant això, si intenta formar un quadrat amb un forat més a cada costat (una unitat més de costat), li faltarien $13$ cartes.

Calcula el nombre de cartes que té el col·leccionista i el valor de l'arrel quadrada entera d'aquest nombre.

Un virus informàtic es propaga de la manera següent: cada minut, cada ordinador que s'ha infectat el minut anterior contagia altres $3$ ordinadors. Si a les 10:00 del matí hi ha un sol ordinador infectat (així són els primers minuts del contagi: en el minut 0 hi ha $1$ ordinador nou i $1$ en total; en el minut 1, $3$ nous i $4$ en total; en el minut 2, $9$ nous i $13$ en total):

1. a) Expressa com a potència de base 3 quants ordinadors s'infecten nous a les 10:05.

1. b) Quants ordinadors hi haurà infectats en total en aquest moment (10:05)? (Recorda sumar l'infectat inicial i els dels minuts anteriors).

Troba el nombre natural $A$ sabent que la seva arrel quadrada entera és $25$ i que, si li sumem $20$ unitats, es converteix en un quadrat perfecte exacte.

Una empresa de missatgeria utilitza caixes cúbiques per als seus enviaments. Tenen un contenidor gran que també és cúbic i en el qual caben exactament $216$ caixes petites.

1. a) Quantes caixes petites hi ha a la base del contenidor?
2. b) Si decideixen fabricar un nou contenidor el costat del qual mesuri el triple que l'anterior, quantes caixes petites cabran en total al nou contenidor? Expressa el resultat com a potència.

Per calcular rels quadrades on el radicand és un producte, es poden utilitzar dos camins:

• Mètode 1 (Multiplicar primer): resoldre la multiplicació del radicand i després extreure la rel quadrada del nombre resultant.

• Mètode 2 (Separar factors): aplicar la propietat $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, calculant primer cada rel per separat i multiplicant els resultats al final.

Analitza les dues operacions següents:

Operació A: $\sqrt{50 \cdot 2}$

Operació B: $\sqrt{144 \cdot 81}$

1. a) Intenta resoldre l'Operació A amb tots dos mètodes. Explica per què a 1r d'ESO el Mètode 2 resulta problemàtic per a aquest cas concret i per què el Mètode 1 és la millor elecció.
2. b) Resol l'Operació B mitjançant els dos mètodes indicant els passos intermedis. Compara la dificultat dels càlculs que has hagut de fer a mà i justifica quin dels dos mètodes és més avantatjós en aquest segon cas.
3. c) Redacta una conclusió clara: en quines condicions convé multiplicar primer i en quines condicions convé separar les rels?

Un artesà de Talavera de la Reina (Toledo) té una caixa amb rajoles quadrades idèntiques per elaborar un mural decoratiu quadrat.

• Si construeix el mural quadrat més gran possible amb les rajoles disponibles, li sobren $18$ rajoles.

• Si volgués ampliar aquest mural perquè tingués una fila i una columna més de rajoles, comprova que li faltarien $15$ rajoles per aconseguir-ho.

1. a) Raona geomètricament quantes rajoles en total cal afegir a un quadrat de costat $r$ per convertir-lo en un de costat $r + 1$.
2. b) A partir del nombre de rajoles que sobren i de les que falten, calcula quantes rajoles calen exactament per passar del primer mural al segon i dedueix el valor de la rel sencera $r$ (el costat del mural original).
3. c) Determina quantes rajoles té exactament l'artesà a la seva caixa i comprova la solució verificant la rel sencera i el residu d'aquesta quantitat.

Repte del tema. Dissenya la distribució d'una zona quadrada d'estudi o terrassa sostenible per a la teva llar.

1. Presa de dades reals: Mesura amb una cinta mètrica el terra d'una estança de casa teva (o consulta a l'INE la superfície mitjana d'un habitatge a la teva comunitat, al voltant dels $90\text{ m}^2$) i tria una àrea diàfana $A$ entre $4\text{ m}^2$ i $16\text{ m}^2$.

2. Arrel quadrada: Determina la longitud del costat de l'espai quadrat equivalent calculant $\sqrt{A}$. Si no resulta un quadrat perfecte, troba l'arrel sencera amb el seu residu i aproxima amb un decimal.

3. Propietats de les potències: Cobriràs aquest terra amb rajoles quadrades. Si cada bloc decoratiu fa $2^2\text{ dm}$ de costat i el fabricant subministra paquets de $2^3$ rajoles agrupades en caixes de $2^2$ paquets, calcula el material necessari aplicant propietats de potències (producte, quocient i potència d'una potència). Organitza i comprova els càlculs en un full de càlcul.

4. Producte final: Elabora un informe breu amb el plànol acotat, la justificació matemàtica i la comanda final de caixes.

Es valorarà:

• Obtenció rigorosa de les mesures i càlcul correcte de l'arrel quadrada.

• Aplicació adequada de les propietats de les potències per simplificar les operacions.

• Presentació clara de l'informe i ús correcte del full de càlcul.