Exercicis: Sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal es basa en el nombre $60$. Realitza les conversions de temps següents:

1. a) Quants minuts són $3$ hores i $15$ minuts?
2. b) Un vídeo de TikTok dura $150$ segons. Expressa'l en minuts i segons (forma complexa).
3. c) Si una sèrie de televisió dura $0,5$ hores, quants minuts són?

Dos angles són complementaris si la seva suma és $90^\circ$. Calcula l'angle que li falta a cadascun dels següents per ser complementari:

1. a) $\hat{A} = 35^\circ$
2. b) $\hat{B} = 52^\circ$ $30'$
3. c) $\hat{C} = 89^\circ$

La Marta ha començat a estudiar a les $17:45$ i ha acabat a les $19:10$.

1. a) Quant de temps ha estat estudiant en total? (Expressa el resultat en hores i minuts).
2. b) Si ha fet un descans de $15$ minuts a mitja tarda, quant de temps real d'estudi ha tingut?

L'entrenador d'un equip de natació anota els temps de les sessions en unitats diferents. Expressa cada temps en la unitat que es demana:

1. a) La sessió de dilluns va durar $1,5$ hores. Quants minuts són?

1. b) El millor relleu de l'equip es va fer en $210$ segons. Quants minuts i segons són?

1. c) Una nedadora va aguantar $2$ minuts i $40$ segons en apnea. Expressa aquest temps només en segons.

1. d) La sessió de divendres va durar $2,25$ hores. Quants minuts són?

Al festival de música de l'institut, el concert final es divideix en tres parts: l'actuació del grup de primer curs dura $25$ minuts, la del grup de segon $35$ minuts i la del grup de tercer $45$ minuts.

1. a) Quants minuts dura el concert en total?

1. b) Expressa aquesta durada en hores i minuts.

Dos angles són suplementaris si la seva suma és $180^\circ$. Calcula l'angle suplementari de cadascun dels següents:

1. a) $65^\circ$

1. b) $110^\circ$

1. c) $90^\circ$

1. d) $179^\circ$

1. e) $45,5^\circ$

Observa els quatre angles dibuixats a continuació. Sense fer servir el transportador, classifica'ls en agut, recte, obtús o pla. Després, ordena'ls de menor a major obertura.

En Marcos entrena atletisme i registra les seves marques amb una aplicació mòbil. En acabar una sessió de cursa, la pantalla del seu telèfon indica un temps d'$1,45\ h$. En Marcos anota al seu diari esportiu: «Avui he corregut durant 1 hora i 45 minuts».\n\na) Explica detalladament quin és l'error que comet en Marcos en interpretar el nombre $1,45\ h$. En quin sistema de numeració està expressada la part decimal i en quina base es mesuren habitualment els minuts?\n\nb) Corregeix el càlcul d'en Marcos i determina la durada exacta del seu entrenament expressada en forma complexa (hores i minuts).

En una classe d'Educació Plàstica s'està dissenyant un cartabó unint dues peces triangulars per un dels seus vèrtexs. Les peces tenen dos angles aguts que mesuren $\alpha = 38^\circ\ 47'$ i $\beta = 51^\circ\ 24'$. El professor pregunta si, en ajuntar tots dos angles en posició consecutiva, formaran una cantonada recta ($90^\circ$, és a dir, si són complementaris).\n\na) Abans de fer la suma amb minuts sexagesimals, arrodoneix cada angle al grau sencer més proper i fes una estimació mental: sembla que la suma estarà exactament en $90^\circ$, per sobre o per sota?\n\nb) Fes ara la suma exacta dels dos angles en el sistema sexagesimal.\n\nc) A partir del resultat exacte, determina si són veritablement complementaris. En cas negatiu, calcula quant els falta o quant els sobra per formar un angle recte de $90^\circ$ i valora si la teva estimació inicial ha estat encertada.

Un torneig d'eSports consta de tres fases. La primera fase va durar $2\text{ h } 45\text{ min } 15\text{ s}$, la segona fase va durar $1\text{ h } 58\text{ min } 50\text{ s}$ i la gran final va durar $55\text{ min } 20\text{ s}$.

1. a) Quina va ser la durada total del torneig en format complex?
2. b) Si el torneig es va gravar íntegrament i l'arxiu de vídeo ocupa $12\text{ MB}$ per cada minut de gravació, quants $GB$ ocupa el vídeo total aproximadament? (Dada: $1\text{ GB} = 1.024\text{ MB}$).

Un dissenyador gràfic està traçant el logotip d'una nova aplicació. El logotip utilitza un angle principal de $125^\circ \ 40' \ 12''$.

1. a) El dissenyador necessita dividir aquest angle en tres parts iguals per crear un efecte de ventall. Quant mesurarà cadascun dels tres angles resultants?
2. b) Quin és l'angle suplementari de l'angle original?

Expressa en segons les durades següents i després ordena-les de major a menor:

• $t_1 = 2,5\text{ hores}$

• $t_2 = 145\text{ minuts i } 30\text{ segons}$

• $t_3 = 9.200\text{ segons}$

• $t_4 = 2\text{ h } 30\text{ min } 15\text{ s}$

Una família fa un viatge en tren amb una escala. El primer trajecte dura $1\text{ h } 45\text{ min } 30\text{ s}$, l'espera a l'estació d'enllaç és de $50\text{ min } 40\text{ s}$ i el segon trajecte dura $2\text{ h } 15\text{ min } 50\text{ s}$.

1. a) Quant de temps dura el viatge complet, des que pugen al primer tren fins que baixen del segon?

1. b) Si van sortir de casa a les $8:30$ del matí i van trigar $10$ minuts a arribar caminant a la primera estació, a quina hora van arribar a la seva destinació final?

En una contrarellotge de ciclisme escolar, la sortida d'una corredora es registra a les $10\text{ h } 15\text{ min } 30\text{ s}$ i la seva arribada a la meta a les $11\text{ h } 2\text{ min } 15\text{ s}$.

1. a) Quant de temps ha trigat a completar el recorregut?

1. b) Si el guanyador de la prova va emprar $42\text{ min } 10\text{ s}$, quant de temps separa la nostra corredora del primer lloc?

Recorda que dos angles són complementaris quan sumen $90^\circ$. Al taller de tecnologia, una guia de tall forma un angle de $67^\circ \ 25' \ 40''$ amb la vora de la taula. Perquè el tall quedi perpendicular a la vora, cal col·locar una cunya l'angle de la qual sigui el complementari.

1. a) Calcula l'angle de la cunya expressant el resultat en graus, minuts i segons.

1. b) Si la guia s'ajusta després a $45^\circ \ 30'$, quin seria aleshores l'angle de la cunya?

Segons els registres d'AEMET per al dia del solstici d'estiu, a la ciutat de Santander el Sol surt a les $06:38$ i es pon a les $21:57$. Aquell mateix dia, a Almeria, l'alba es produeix a les $06:55$ i la posta de sol a les $21:30$.\n\na) Modela la durada de les hores de llum diürna de cada ciutat mitjançant una resta de temps en el sistema sexagesimal. Expressa la durada del dia de Santander i la d'Almeria en hores i minuts.\n\nb) Quant de temps més de llum solar directa té Santander respecte a Almeria en aquesta jornada? Fes l'operació en forma complexa indicant pas a pas com gestiones les unitats si necessites demanar prestada una hora.\n\nc) Expressa la durada del dia de Santander en forma incomplexa d'hores amb dos decimals i explica quin avantatge pràctic té utilitzar la forma complexa ($h$ i $min$) en la vida quotidiana.

En un taller de tecnologia necessiten dividir un angle de $50^\circ$ en tres sectors iguals per construir una plantilla de tall. Dos estudiants proposen camins diferents per calcular quant ha de mesurar exactament cada sector:\n\n- Mètode d'en Sergio (decimal): Divideix directament $50$ entre $3$ amb la calculadora en graus decimals i després intenta convertir els decimals a minuts.\n- Mètode de la Irene (sexagesimal): Fa la divisió sencera $50^\circ : 3$, passa el residu de graus que sobra a minuts multiplicant per $60$, i reparteix aquests minuts entre $3$.\n\na) Aplica el mètode d'en Sergio indicant quin resultat decimal obtens en fer $50 : 3$ i quin inconvenient trobes en intentar expressar la solució exacta.\n\nb) Aplica el mètode de la Irene pas a pas i obtén la mesura exacta de l'angle en graus i minuts sexagesimals.\n\nc) Compara tots dos camins: quin és més convenient i precís en aquest cas? Justifica la teva resposta relacionant-la amb la raó històrica per la qual es va triar la base 60 (la gran quantitat de divisors del nombre 60 enfront de la base 10).

Un satèl·lit de comunicacions orbita la Terra i completa una volta exacta cada $103\text{ minuts i } 24\text{ segons}$. Si el satèl·lit va començar la seva primera òrbita un dilluns a les $08:15:00$, a quina hora exacta, expressada en hores, minuts i segons, haurà completat la seva quinzena volta? Indica també si continuarà sent dilluns o si haurà canviat de dia.

Calcula la mesura de l'angle interior d'un polígon regular de $9$ costats (enneàgon). Expressa el resultat en forma complexa (graus, minuts i segons). Recorda que la suma dels angles interiors d'un polígon de $n$ costats es calcula amb la fórmula: $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$.

Un corredor de marató manté un ritme constant de $4\text{ minuts i } 15\text{ segons}$ per cada quilòmetre recorregut.

1. a) Quant de temps total trigarà a completar una cursa de $15\text{ km}$? Expressa el resultat en hores, minuts i segons.
2. b) Si la cursa ha començat a les $10:45\text{ h}$, a quina hora creuarà la meta?

Un rellotge de paret s'avança $18\text{ segons}$ cada $4\text{ hores}$. Si es posa en hora exacta el dia $1$ de març a les $12:00$ del migdia, quina hora marcarà aquest rellotge quan el temps real sigui exactament les $12:00$ del migdia del dia $11$ de març? Dona la resposta en hores, minuts i segons.

La teva amiga Aisha ha anat d'intercanvi a Tòquio. A l'estiu, a Tòquio són $7$ hores més que a l'Espanya peninsular (quan aquí són les $12:00$, allà són les $19:00$).

1. a) Si a Espanya són les $18:30$, quina hora és a Tòquio? Tingues en compte que pot ser ja el dia següent.

1. b) La Aisha només pot parlar per trucada de vídeo abans d'anar a dormir, a les $22:15$ hora japonesa. A quina hora espanyola t'has de connectar?

1. c) Un canal de música emet un concert en directe des de Tòquio que comença a les $9:00$ hora japonesa i dura $1\text{ h } 45\text{ min}$. A quina hora espanyola acaba l'emissió?

Una patinadora ha completat una marató sobre rodes de $42$ km en $2\text{ h } 20\text{ min}$ exactes.

1. a) Quin ha sigut el seu ritme mitjà per quilòmetre? Expressa'l en minuts i segons.

1. b) En la pròxima cursa vol millorar la seva marca mantenint un ritme de $3\text{ min } 10\text{ s}$ per quilòmetre. En quant de temps completaria la mateixa distància? Expressa el resultat en hores i minuts.

En el logotip triangular d'un club de senderisme, dos dels angles del triangle mesuren $45^\circ \ 30'$ i $72^\circ \ 45' \ 30''$.

1. a) Troba la mesura del tercer angle expressant el resultat en graus, minuts i segons.

1. b) Classifica el triangle segons els seus angles (acutangle, rectangle o obtusangle) i justifica la teva resposta.

Observa la figura del logotip, on falta el valor del tercer angle:

Volem trobar dos angles aguts, $\hat{A}$ i $\hat{B}$, expressats en forma complexa amb graus, minuts i segons (és a dir, de l'estructura $g^\circ\ m'\ s''$, on $m \neq 0$ i $s \neq 0$), que compleixin alhora aquestes tres condicions:\n\n1. Són angles complementaris (la seva suma és exactament $90^\circ$).\n2. Tots dos angles tenen la mateixa quantitat de segons ($s_{\hat{A}} = s_{\hat{B}}$).\n3. La mesura de l'angle $\hat{A}$ és més gran que el doble de la de l'angle $\hat{B}$ ($\hat{A} > 2 \cdot \hat{B}$).\n\na) Raona per què, perquè la suma total doni exactament $00''$ sense que cap dels dos angles tingui $0''$, és matemàticament obligatori que els segons de tots dos angles siguin exactament $30''$.\n\nb) Dedueix què han de sumar els minuts de tots dos angles ($m_{\hat{A}} + m_{\hat{B}}$) i què han de sumar els seus graus ($g_{\hat{A}} + g_{\hat{B}}$), tenint en compte les «portades» entre ordres sexagesimals.\n\nc) Proposa una parella d'angles $\hat{A}$ i $\hat{B}$ que compleixi totes les condicions i justifica detalladament mitjançant càlculs que es verifiquen tant la complementarietat com la condició $\hat{A} > 2 \cdot \hat{B}$.

La Terra completa un gir sobre el seu propi eix de $360^\circ$ cada $24\text{ hores}$. Gràcies a aquest moviment de rotació, hi ha una relació directa entre les mesures angulars de longitud geogràfica i les unitats de temps del sistema sexagesimal.\n\na) Dedueix a quants graus de rotació terrestre equival $1\text{ hora}$ de temps i demostra que el gir d'un sol grau ($1^\circ$) equival exactament a $4\text{ minuts}$ de temps. A continuació, calcula a quants segons de temps equival el gir d'un minut d'arc angular ($1'$).\n\nb) A l'Espanya peninsular, la ciutat de Castelló de la Plana se situa aproximadament a una longitud de $0^\circ\ 04'\text{ E}$ (a l'est del meridià de Greenwich), mentre que A Coruña es troba a $8^\circ\ 24'\text{ O}$ (a l'oest del meridià de Greenwich). Calcula la separació angular total entre totes dues ciutats sumant les seves distàncies al meridià zero.\n\nc) Amb les equivalències obtingudes a l'apartat a), calcula la diferència exacta en temps solar (en minuts i segons) que hi ha entre totes dues ciutats. Si a Castelló de la Plana el migdia solar (l'instant en què el Sol està en el punt més alt del cel) té lloc a les $13:42:00$ de rellotge, raona a quina hora solar de rellotge tindrà lloc a A Coruña, tenint en compte que la Terra gira d'oest a est.

Repte del tema. Dissenya un informe d'«Auditoria hídrica domèstica» per optimitzar la despesa d'aigua a casa teva.

1. Espai i temps: Mesura amb una cinta mètrica la llargada i l'amplada del teu plat de dutxa en $\text{cm}$ i calcula'n la superfície en $\text{m}^2$. Després, cronometra una dutxa habitual anotant la durada exacta en minuts i segons utilitzant el sistema sexagesimal (per exemple, $4\text{ min } 35\text{ s}$) i converteix-la a segons.

2. Capacitat i massa: Col·loca una ampolla d'$1,5\text{ l}$ sota l'aixeta; si tarda $10\text{ s}$ a omplir-se del tot, estima el cabal en $\text{l/s}$. Calcula els litres gastats a la teva dutxa i la massa d'aquesta aigua en $\text{kg}$ sabent que $1\text{ l} = 1\text{ kg}$.

3. Monomis i full de càlcul: Si cada minut de dutxa consumeix un cabal fix $c$, expressa la despesa com el monomi $c \cdot t$. Modela el consum diari familiar sumant els monomis semblants del temps de cada membre (exemple: $3c + 5c + 4c = 12c$). Trasllada les dades a un full de càlcul per projectar el volum mensual en $\text{m}^3$ i la seva massa en tones.

Lliura un informe breu amb una proposta raonada per reduir el consum familiar almenys un $15\,\%$.

Es valorarà:

• Precisió en el canvi d'unitats de longitud, superfície, capacitat i massa.

• Correcte tractament del sistema sexagesimal en la mesura del temps.

• Expressió i suma adequada dels monomis per modelitzar la despesa.

• Coherència i rigor de la proposta final a partir de les dades obtingudes.