Exercicis: Superfície

Per a un projecte d'art, en Lucas necessita una cartolina que fa exactament $2.400 \text{ cm}^2$. Quan va a la papereria, el dependent li diu que les mesures vénen expressades en decímetres quadrats. Quants $\text{dm}^2$ ha de demanar en Lucas per al seu projecte?

Calcula l'àrea de la figura ombrejada següent comptant els quadres de la quadrícula. Tingues en compte que cada quadrat petit representa una superfície de $1 \text{ m}^2$. Expressa el resultat final en decàmetres quadrats ($\text{dam}^2$).

Al món de l'agricultura s'utilitzen unitats especials. Relaciona cada mesura del Sistema Internacional amb la seva unitat agrària corresponent:

1. a) $1 \text{ hm}^2$
2. b) $1 \text{ dam}^2$
3. c) $1 \text{ m}^2$

I. Àrea ($a$)

II. Hectàrea ($ha$)

III. Centiàrea ($ca$)

Un ajuntament ha decidit crear un parc central de $5 \text{ hectàrees}$. Si volen instal·lar una zona de jocs que ocupi $1.500 \text{ m}^2$, quants metres quadrats quedaran disponibles per a arbres i camins a la resta del parc?

Selecciona la unitat de mesura més adequada per expressar la superfície dels objectes següents:

1. a) La pantalla d'un telèfon intel·ligent.
2. b) Un camp de futbol de Primera Divisió.
3. c) La superfície d'Espanya.
4. d) El terra de la teva habitació.

(Opcions: $km^2$, $hm^2$, $m^2$, $cm^2$)

Un agricultor té tres parcel·les amb les superfícies següents:

• Parcel·la A: $0,45 \text{ hm}^2$

• Parcel·la B: $5.200 \text{ m}^2$

• Parcel·la C: $48 \text{ dam}^2$

Ordena les parcel·les de menor a major superfície comparant les seves mesures en $\text{m}^2$.

Expressa en forma incomplexa (utilitzant una sola unitat) en metres quadrats la mesura de superfície següent expressada en forma complexa:

$3 \text{ dam}^2$, $25 \text{ m}^2$ i $75 \text{ dm}^2$

En una urbanització, es pavimentarà una zona comuna quadrada que fa $10 \text{ metres}$ de costat. S'utilitzaran rajoles quadrades de $1 \text{ dm}^2$ de superfície cadascuna. Quantes rajoles es necessitaran per cobrir tota la zona?

En Mateo vol canviar el terra de la seva habitació i necessita esbrinar quants decímetres quadrats fa una catifa de $3,5\text{ m}^2$. Al seu quadern escriu la resolució següent: «Com que de metres a decímetres es baixa un graó a l'escala, es multiplica per $10$; per tant, $3,5\text{ m}^2 = 35\text{ dm}^2$».\na) Identifica l'error que ha comès en Mateo i explica amb les teves paraules (recolzant-te en el concepte geomètric d'un quadrat d'$1\text{ m}$ de costat) per què en les unitats de superfície no es multiplica ni es divideix per $10$.\nb) Corregeix el càlcul i troba la mesura real de la catifa en decímetres quadrats.

L'ajuntament d'un municipi renovarà el paviment d'una sala d'exposicions de $60\text{ m}^2$ utilitzant rajoles quadrades de $50\text{ cm}$ de costat.\na) Abans d'operar amb fórmules, fes una estimació raonada: si cada rajola fa mig metre de costat, quantes rajoles necessites per cobrir un sol metre quadrat ($1\text{ m}^2$)? A partir d'aquesta dada, estima mentalment quantes rajoles es necessitaran en total per a la sala.\nb) Calcula la superfície d'una rajola en metres quadrats ($m^2$) i obtén la quantitat exacta de rajoles necessàries.\nc) Compara el resultat exacte amb la teva estimació inicial i justifica si la teva estimació era coherent i útil.

Un ajuntament està planificant la creació d'un nou parc periurbà. Han comprat tres parcel·les contigües les superfícies de les quals estan expressades en diferents unitats:

• Parcel·la A: $0,052\text{ km}^2$

• Parcel·la B: $140\text{ dam}^2$

• Parcel·la C: $8.500\text{ m}^2$

Expressa la superfície total del futur parc en hectàrees ($ha$).

La pantalla d'un nou model de tauleta té unes dimensions de $250\text{ mm}$ d'alçària per $160\text{ mm}$ d'amplada. El fabricant afirma que l'àrea útil de la pantalla és d'exactament $4\text{ dm}^2$. És certa l'afirmació del fabricant? Justifica la teva resposta fent els càlculs necessaris en $\text{cm}^2$.

Un incendi forestal ha afectat una zona de la serra. Les notícies indiquen que s'han cremat $12\text{ km}^2$ i $45\text{ hm}^2$ de bosc. Per organitzar la reforestació, els tècnics forestals necessiten conèixer la superfície afectada en àrees ($a$) i centiàrees ($ca$). Fes la conversió a totes dues unitats.

Volem canviar el terra d'una cuina que té forma rectangular i fa $420\text{ cm}$ de llargada per $3\text{ m}$ d'amplada. Si utilitzarem rajoles quadrades de $20\text{ dm}^2$ de superfície cadascuna:

1. a) Calcula la superfície total de la cuina en $\text{m}^2$.
2. b) Quantes rajoles necessitarem per cobrir tot el terra?

Ordena de major a menor les superfícies següents de parcs naturals espanyols, convertint-les prèviament totes a una mateixa unitat (la que prefereixis):

• Parc A: $12.400.000\text{ m}^2$

• Parc B: $1.350\text{ ha}$

• Parc C: $128\text{ km}^2$

• Parc D: $1.250.000\text{ dam}^2$

Un agricultor té una finca de $3\text{ ha}$, $5\text{ a}$ i $25\text{ ca}$. Decideix vendre una part del seu terreny per a la construcció d'una carretera. La part venuda fa exactament $4.200\text{ m}^2$. Quina superfície de finca, expressada en forma complexa (hectàrees, àrees i centiàrees), li queda a l'agricultor?

En un plànol a escala d'un centre comercial, el passadís central està representat per un rectangle que té una superfície de $450\text{ cm}^2$. Si sabem que a la realitat aquest passadís ocupa $0,18\text{ dam}^2$:

1. a) Expressa totes dues quantitats en $\text{dm}^2$.
2. b) Quantes vegades és més gran la superfície real que la superfície del plànol?

Calcula l'àrea de la figura irregular següent descomponent-la en quadrats i rectangles. Cada quadrat de la quadrícula de fons representa una superfície de $100\text{ cm}^2$. Expressa el resultat final en decímetres quadrats ($\text{dm}^2$).

En els informes d'emergències forestals a Espanya, les dades de superfície calcinada se solen registrar combinant el sistema mètric decimal i les unitats agràries. Després d'un conat d'incendi en una comarca de Castella i Lleó, els tècnics mediambientals van emetre el comunicat següent amb dos focus detectats:\n- Focus A: va afectar una superfície de $0,045\text{ km}^2$.\n- Focus B: va afectar una àrea de $380\text{ àrees}$.\na) Converteix la superfície de cada focus a metres quadrats ($m^2$) i calcula la superfície total calcinada expressada en hectàrees ($ha$).\nb) A les notícies de televisió solen traduir aquestes catàstrofes a «camps de futbol reglamentaris» (la superfície mitjana estàndard dels quals és d'unes $0,7\text{ ha}$). A quants camps de futbol sencers equival aproximadament l'àrea total arrasada? Valora de manera crítica si aquesta comparació ajuda la població a dimensionar el dany ambiental.

Una cooperativa agrícola disposa d'una parcel·la rectangular amb una superfície total d'$1,2\text{ ha}$ i una amplada de $80\text{ m}$. Els socis decideixen organitzar la parcel·la en tres sectors:\n- El sector d'oliverar ocuparà exactament el $50\,\%$ del terreny.\n- El sector d'horta ocuparà $45\text{ àrees}$.\n- L'espai sobrant es destinarà a una bassa de reg i un cobert d'eines.\na) Calcula la longitud (llargada) total de la parcel·la en metres.\nb) Determina la superfície que ocuparan la bassa de reg i el cobert, expressant el resultat tant en metres quadrats ($m^2$) com en centiàrees ($ca$).\nc) Si el sector d'horta es dissenya aprofitant tota l'amplada de la parcel·la ($80\text{ m}$), quants metres de llargada ha de fer aquesta zona?

L'ajuntament ha habilitat un terreny per a horts urbans escolars que té una extensió de $0,12 \text{ km}^2$ i $5,4 \text{ hm}^2$. Per aprofitar millor el terreny, el divideixen en parcel·les de $60 \text{ àrees}$ cadascuna. Si cadascuna d'aquestes parcel·les produeix una mitjana de $850 \text{ kg}$ d'hortalisses a l'any i el preu mitjà de mercat de les hortalisses és de $0,75 \text{ €/kg}$, calcula el valor total de la producció de tot el terreny en una collita.

Per a la construcció d'un nou centre comercial, s'ha tancat un solar rectangular que fa $2,4 \text{ hm}$ de llargada i $150 \text{ m}$ d'amplada. L'ajuntament obliga a dedicar el $25 \%$ de la superfície total a zones verdes i un altre $15 \%$ a aparcaments. Si la resta es divideix en locals comercials de $120 \text{ m}^2$ de superfície mitjana, quants locals es podran construir en total?

Un artista vol cobrir la façana lateral d'un edifici amb plaques solars quadrades de $50 \text{ cm}$ de costat. La façana és un rectangle de $12 \text{ m}$ d'alçària i $3,5 \text{ dam}$ de llargada, però cal descomptar-hi 8 finestres simètriques que mesuren $150 \text{ dm}^2$ cadascuna. Calcula el nombre total de plaques solars que necessita comprar per cobrir tota la superfície disponible de la façana.

En un pla de reforestació després d'un incendi, es treballarà sobre una superfície de $14 \text{ ha}, 5 \text{ a}$ i $20 \text{ ca}$. Els enginyers forestals han decidit que s'ha de plantar un arbre per cada $12 \text{ m}^2$ de terreny. Si el cost de cada planter és de $4,80 \text{ €}$ i la mà d'obra costa $250 \text{ €}$ per cada decàmetre quadrat treballat, quin serà el pressupost total necessari per a la reforestació?

Un dissenyador gràfic està creant un logotip sobre una làmina metàl·lica. El logotip consisteix en un quadrat central de $4 \text{ dm}^2$ d'àrea. Al voltant d'aquest quadrat, hi afegeix quatre quadrats més petits els costats dels quals mesuren la meitat que el costat del quadrat central. Expressa la superfície total del logotip en mil·límetres quadrats i en decímetres quadrats utilitzant únicament la forma incomplexa.

Un mapa d'un parc natural té una escala tal que $1 \text{ cm}^2$ al paper representa $2.500 \text{ m}^2$ a la realitat. Si el parc té una forma irregular que ocupa $480 \text{ cm}^2$ al mapa, calcula la seva superfície real en hectàrees, àrees i centiàrees (forma complexa). Si un incendi destrueix $0,4 \text{ km}^2$ del parc, quin percentatge de la superfície total ha quedat a estalvi?

El terra d'un poliesportiu de $12,5 \text{ dam}^2$ de superfície es renovarà. S'han comprat caixes de rajoles d'alta resistència, on cada caixa conté material per cobrir $2,5 \text{ m}^2$ i costa $45 \text{ €}$. A més del cost del material, l'empresa instal·ladora cobra $18 \text{ €}$ per cada metre quadrat col·locat. A quant ascendeix la factura total si es compra un $5 \%$ més de material del necessari per compensar el que es malgasta en talls i trencadisses?

Calcula la superfície total de la figura següent composta de peces metàl·liques. La peça principal és un rectangle de $0,8 \text{ m}$ per $15 \text{ cm}$, a la qual se li han soldat a cadascun dels quatre vèrtexs unes orelletes quadrades de $25 \text{ mm}$ de costat. A més, al centre s'hi ha fet un orifici circular la superfície del qual és de $450 \text{ mm}^2$. Expressa el resultat final en centímetres quadrats aproximant a les unitats.

Per pavimentar una placeta amb forma d'«L», el departament d'obres disposa d'un croquis amb cantonades perpendiculars i les mides següents: una base total de $60\text{ m}$, una alçària total de $40\text{ m}$, i una cantonada entrant buida que fa $25\text{ m}$ d'amplada per $15\text{ m}$ de fons.\nDos aparelladors de l'ajuntament debaten com calcular-ne la superfície en hectàrees ($ha$):\n- Mètode de la Laura (additiu): Descompondre la figura en dos rectangles interiors que no encavalquin, calcular l'àrea de cadascun en $\text{m}^2$, sumar-les i passar el total a hectàrees.\n- Mètode d'en Carlos (sustractiu): Calcular l'àrea del rectangle complet que envolcallaria tota la figura ($60\text{ m} \times 40\text{ m}$), restar l'àrea del buit rectangular que no forma part de la plaça i convertir el resultat final a hectàrees.\na) Aplica de manera detallada tots dos mètodes i comprova si condueixen exactament al mateix resultat.\nb) Analitza i justifica quin dels dos mètodes requereix menys operacions i presenta menys risc d'error a l'hora d'interpretar les mides que falten.\nc) Un tercer tècnic proposa transformar totes les mides dels costats a hectòmetres ($hm$) abans de multiplicar per obtenir directament les hectàrees. Justifica si aquest tercer camí és més o menys avantatjós a l'hora de fer les operacions amb decimals.

Una empresa projecta instal·lar una planta d'energia solar fotovoltaica a Andalusia. La normativa mediambiental autonòmica exigeix que, per protegir la fauna estepària, almenys un terç ($1/3$) de la superfície total de la finca es mantingui intacta com a corredor ecològic, sense cap construcció.\nLa memòria tècnica del projecte indica que els panells solars ocuparan $180\text{ dam}^2$, mentre que els vials d'accés, inversors i el centre de transformació ocuparan una superfície de $60\text{ àrees}$.\na) Modela matemàticament la situació i calcula la superfície mínima total que ha de tenir la finca (expressada en hectàrees, $ha$) perquè el projecte compleixi estrictament la legalitat ambiental.\nb) Si el preu de mercat del sòl rústic en aquesta zona és de $12\,500\text{ €}$ per hectàrea, quin serà el desemborsament mínim que haurà de fer l'empresa promotora per adquirir la finca?\nc) Si un agricultor de la zona els ofereix en venda una finca contigua de $0,032\text{ km}^2$, determina raonadament si aquesta finca és suficient per dur a terme el projecte o si s'ha de rebutjar.