Exercicis: Massa

En l'estudi de la matèria, és fonamental no confondre el que mesurem amb l'eina que fem servir. Classifica els termes següents a la taula segons corresponguin a una magnitud, una unitat de mesura o un instrument de mesura:

Massa, Gram, Balança, Quilogram, Bàscula, Capacitat, Tona, Dinamòmetre.

Per passar d'una unitat a una altra en el sistema mètric decimal, hem de multiplicar o dividir per la unitat seguida de zeros. Completa les igualtats següents fent els canvis d'unitat indicats:

1. a) $45\text{ kg} = \dots\dots\dots\text{ g}$
2. b) $1.200\text{ mg} = \dots\dots\dots\text{ g}$
3. c) $0,5\text{ hg} = \dots\dots\dots\text{ dag}$
4. d) $34,7\text{ dg} = \dots\dots\dots\text{ cg}$

És molt important saber triar la unitat adequada segons l'objecte que puguem estar pesant. Relaciona cadascun dels objectes següents amb la mesura que et sembli més realista:

1. Una formiga obrera.

2. Una llauna de refresc plena.

3. Un ordinador portàtil.

4. Un camió de repartiment.

Mesures possibles: $2\text{ kg}$, $8\text{ t}$, $3\text{ mg}$, $330\text{ g}$.

En un laboratori de ciències, tres alumnes han pesat una mateixa mostra de roca. Cadascun ha anotat el resultat en una unitat diferent:

• Alumne A: $0,45\text{ kg}$

• Alumne B: $4.200\text{ dg}$

• Alumne C: $46\text{ dag}$

Expressa totes les mesures en grams i ordena els alumnes de menor a major segons la massa que han obtingut.

Sabies que el quilogram es va definir originalment basant-se en l'aigua? Un litre d'aigua pura té una massa d'exactament un quilogram. Si tens una motxilla que aguanta un pes màxim de $6\text{ kg}$ i ja portes a dins llibres que pesen $2500\text{ g}$, quantes ampolles d'aigua d'$1,5$ litres pots afegir com a màxim sense que es trenqui la motxilla?

Per preparar un pastís de xocolata per a l'aniversari de la seva germana, la Ainhoa ha comprat els ingredients següents:

• Un paquet de farina de $0,75\text{ kg}$.

• Una tauleta de xocolata de $200\text{ g}$.

• Un paquet de sucre de $4,5\text{ hg}$.

Quina és la massa total dels ingredients en grams?

Expressa les quantitats següents en forma incomplexa (utilitzant una sola unitat), convertint-les a la unitat que s'indica en cada cas:

1. a) $3\text{ kg y } 450\text{ g}$ $\rightarrow$ en grams.
2. b) $5\text{ dag, } 2\text{ g y } 8\text{ dg}$ $\rightarrow$ en decigrams.
3. c) $1\text{ t y } 200\text{ kg}$ $\rightarrow$ en quilograms.
4. d) $4\text{ hg y } 5\text{ cg}$ $\rightarrow$ en centigrams.

Una furgoneta té una capacitat màxima de càrrega de $1,5$ tones mètriques ($t$). Si volem carregar caixes de taronges que pesen $25\text{ kg}$ cadascuna, quantes caixes podrem transportar com a màxim en un sol viatge? (Recorda que $1\text{ t} = 1.000\text{ kg}$).

En Sergio vol preparar una massa de pa i necessita passar $4,5\ kg$ de farina a grams. A la seva llibreta escriu la resolució següent: «Per passar de quilograms a grams baixo 3 esglaons a l'escala del sistema mètric, així que multiplico per $30$: $4,5 \cdot 30 = 135\ g$».

1. a) Explica amb les teves paraules quin error conceptual ha comès en Sergio sobre el funcionament del sistema mètric decimal.
2. b) Justifica per què ha de multiplicar per $1\,000$ (és a dir, $10 \cdot 10 \cdot 10$) i no per $30$.
3. c) Corregeix el càlcul d'en Sergio i indica la massa real de farina, en grams, que ha d'utilitzar per a la recepta.

A la zona euro, una moneda d'$1$ euro té una massa oficial de $7,5\ g$. Imagina que tens una bossa que conté exactament $60$ monedes d'$1$ euro.

1. a) Abans de fer cap càlcul exacte, arrodoneix la massa d'una moneda a un nombre enter senzill i estima mentalment quants grams i quants quilograms pesaran aproximadament les $60$ monedes. Escriu com has fet aquesta estimació mental.
2. b) Fes el càlcul exacte de la massa total de les monedes i expressa el resultat tant en grams ($g$) com en quilograms ($kg$).
3. c) Compara la teva estimació inicial amb el resultat exacte: ha estat una aproximació raonable? Explica si la teva estimació ha quedat per sobre o per sota del valor real i per què.

Per evitar lesions d'esquena, es recomana que la motxilla escolar no superi el $10 \%$ del pes de l'estudiant. El Lucas pesa $45\ kg$ i ha pesat els elements que porta avui a classe:

• Llibres i quaderns: $2,8\ kg$

• Estoig amb material: $350\ g$

• Diccionari d'anglès: $6,5\ hg$

• Ampolla d'aigua plena: $75\ dag$

Calcula la massa total de la motxilla en quilograms i determina si el Lucas està transportant un pes segur per a la seva esquena.

Una coneguda pastisseria del teu barri utilitza les quantitats de massa següents per elaborar el seu famós "Pastís Imperial":

• Farina: $0,55\ kg$

• Sucre: $22,5\ dag$

• Mantega: $1.250\ dg$

• Xocolata: $3\ hg$

Expressa en grams cadascun dels ingredients i calcula la massa total del pastís (sense comptar el farciment ni la decoració) en forma complexa (utilitzant quilograms i grams).

A l'hort escolar de l'institut s'han recol·lectat $4,2$ tones de pomes. Per transportar-les, s'utilitzen sacs que contenen un quintar mètric ($q$) cadascun.

1. a) Quants sacs es necessiten per transportar tota la collita?
2. b) Si de cada $5\ kg$ de pomes s'obté $1\ kg$ de compota, quants quilograms de compota produirà l'institut amb aquesta collita?

Sabent que un decímetre cúbic ($1\ dm^3$) d'aigua destil·lada té una massa d'exactament $1\ kg$, resol el problema següent:

Un aquari té forma d'ortoedre amb unes dimensions de $60\ cm$ de llarg, $30\ cm$ d'ample i $40\ cm$ d'alt. Si s'omple d'aigua fins als $\frac{3}{4}$ de la seva capacitat total, quina serà la massa de l'aigua continguda a l'aquari expressada en quilograms?

Un camió de repartiment té una càrrega màxima autoritzada de $3,5\ t$. Actualment porta carregats $18$ palets de caixes de llet que pesen $125\ kg$ cadascun. El conductor ha de recollir en un magatzem $12$ sacs de pinso de $450\ hg$ cadascun.

Podrà carregar els sacs de pinso sense superar el límit de massa del camió? Justifica la teva resposta fent els càlculs en quilograms.

En una botiga de llaminadures a granel, el preu dels núvols de sucre és de $1,20\ €$ per cada hectogram ($hg$).

1. a) Quant costarà una bossa que conté $250\ g$ de núvols?
2. b) Si hem pagat $6\ €$ per una altra bossa de núvols de sucre, quants grams de núvols hem comprat?

Ordena de menor a major les masses següents de components electrònics utilitzats en la fabricació d'un telèfon intel·ligent. Per comparar, passa totes les unitats a mil·ligrams ($mg$):

• Sensor de càmera: $0,0042\ kg$

• Xip principal: $1,85\ g$

• Cargol de subjecció: $85\ cg$

• Connector de càrrega: $12,4\ dg$

Una farmàcia rep un enviament de $5$ caixes d'un medicament. Cada caixa conté $12$ pots, i cada pot té un pes de $150\ g$ quan està buit. Dins de cada pot hi ha $60$ càpsules, i cada càpsula té una massa de $500\ mg$.

Calcula la massa total de l'enviament (incloent-hi pots i càpsules) expressada en quilograms.

Al laboratori de Ciències de la Natura, heu de col·locar tres mostres minerals en una safata que suporta una càrrega màxima d'$1,5\ kg$. Les masses de les mostres són: pirita ($520\ g$), quars ($4,8\ hg$) i calcita ($55\,000\ cg$). Per esbrinar si la safata suportarà les tres mostres alhora, dues companyes proposen camins diferents:

• La Rocío proposa convertir totes les masses a grams ($g$) per sumar únicament nombres enters i comparar el total amb la capacitat de la safata expressada també en grams.

• La Irene proposa passar totes les masses directament a quilograms ($kg$) utilitzant nombres decimals i comparar la suma directament amb $1,5\ kg$.

1. a) Resol el problema aplicant el mètode de la Rocío.
2. b) Resol el problema aplicant el mètode de la Irene.
3. c) Analitza tots dos procediments: quin dels dos et sembla més pràctic i amb menys risc d'error en aquest cas concret? Justifica la teva resposta valorant el treball amb nombres enters enfront de l'ús de comes decimals.

Segons les dades sobre recollida selectiva de residus a Espanya, s'estima que un estudiant genera una mitjana de $35\ g$ de residus plàstics i envasos lleugers durant una jornada lectiva. En un institut d'Educació Secundària estudien $500$ alumnes.

1. a) Modela la situació i calcula quants quilograms de plàstic generen en total els alumnes del centre en un dia lectiu i en una setmana lectiva completa (de dilluns a divendres).
2. b) Per emmagatzemar aquests envasos, el centre disposa d'un contenidor la càrrega màxima recomanada del qual és de $0,7\ q$ (quintars mètrics). Tindrà prou capacitat per acumular els residus generats durant dues setmanes lectives completes (10 dies) sense buidar-se? Justifica la teva resposta indicant quants quilograms sobren o falten per assolir el límit del contenidor.
3. c) Si després d'una campanya ambiental l'institut redueix la generació diària total a $14\ kg$, calcula quants grams de plàstic estalvia cada alumne al dia de mitjana respecte a la situació inicial.

Un camió de repartiment té una capacitat de càrrega màxima de $3,5$ tones mètriques. Al magatzem s'hi han carregat $12$ caixes de maquinària que pesen $1,45$ quintars mètrics cadascuna i $45$ sacs de pinso de $25$ $kg$ cadascun. Si encara falta per carregar un contenidor de peces metàl·liques amb una massa de $875.000$ grams, podrà el camió transportar tota la càrrega d'un sol cop sense superar el seu límit? Justifica la teva resposta calculant quants quilograms falten o sobren per arribar al màxim.

Una empresa farmacèutica fabrica càpsules d'un suplement vitamínic. Cada càpsula conté $150$ $mg$ de principi actiu, $0,025$ $dg$ d'excipient i $4.500$ $\mu g$ (micrograms) de recobriment gelatinós. Sabent que $1$ $mg = 1.000$ $\mu g$, calcula la massa total d'un pot que conté $120$ càpsules, expressant el resultat final en grams. No oblidis sumar els $12$ $g$ que pesa el pot de plàstic buit.

En una fàbrica d'oli, una envasadora omple ampolles de $0,75$ litres. Sabem que $1$ litre d'aquest oli té una massa de $920$ $g$. Si un camió transporta $150$ caixes i cada caixa conté $12$ ampolles, quina és la massa total del carregament d'oli en tones? Si cada ampolla buida té una massa de $35$ $dag$ i cada caixa de cartró pesa $0,4$ $kg$, calcula també la massa total del transport (oli + envasos + caixes) en quilograms.

Per realitzar un experiment químic, un estudiant necessita barrejar tres substàncies. De la substància A en té $0,045$ $kg$, de la substància B en té $12,4$ $dag$ i de la substància C en té $7.800$ $cg$. Després de barrejar-les, es produeix una reacció que allibera un gas i fa que la barreja perdi una centèsima part de la seva massa total inicial. Quina serà la massa final de la barreja líquida resultant expressada en grams?

El club de robòtica té una barra d'alumini de $1,2$ $kg$. Vol fabricar el màxim nombre possible de peces de $12$ $g$ i $500$ $mg$ cadascuna.

• Quantes peces podrà fabricar com a màxim?

• Si el gram d'alumini costa $3,50$ €, quant costarà el material de totes les peces fabricades?

• Quant d'alumini sobrarà en mil·ligrams?

Una botiga de productes a l'engròs rep una comanda d'arròs en sacs d'un miriagram ($1$ $mag = 10$ $kg$). El amo de la botiga vol reempaquetar l'arròs en bosses més petites de tres mides diferents:

• La meitat de l'arròs s'envasarà en bosses de $500$ $g$.

• Dues cinquenes parts de l'arròs restant s'envasaran en bosses de $250$ $g$.

• El que quedi s'envasarà en bosses de $100$ $g$.

Si han rebut $12$ sacs d'un miriagram cadascun, quantes bosses de cada tipus obtindran?

S'ha mesurat la massa d'un cub metàl·lic massís de $5$ $cm$ d'aresta i s'ha obtingut un valor de $343,75$ $g$.

• Quina és la massa d'aquest metall per cada centímetre cúbic ($cm^3$)?

• Si tenim un altre bloc del mateix metall amb un volum de $1,2$ $dm^3$, quina serà la seva massa expressada en quilograms?

(Dada: El volum d'un cub es calcula com $V = arista \cdot arista \cdot arista$)

Una balança de dos platets està en equilibri. Al platet de l'esquerra hi ha un pot de mel ple que pesa $1,25$ $kg$. Al platet de la dreta hi ha un pes de $5$ $hg$, un altre de $25$ $dag$ i el mateix pot de mel però buit. Calcula la massa de la mel que conté el pot i la massa del pot buit per separat, expressant tots dos resultats en grams.

Una orfebre dissenya un lingot cerimonial format per tres metalls preciosos (or, plata i coure) la massa total combinada del qual ha de ser exactament de $0,48\ kg$. Per exigències del disseny, les masses dels metalls han de complir les condicions següents:

• La massa de plata ha de ser el quàdruple de la massa de coure.

• La massa d'or ha de superar en exactament $60\ g$ la massa de plata.

1. a) Expressa totes les quantitats en una mateixa unitat i planteja un raonament pas a pas (o una equació) per deduir la massa exacta, en grams, que ha de tenir cadascun dels tres metalls en el lingot.
2. b) Comprova que les masses calculades verifiquen totes les condicions imposades i que la seva suma coincideix amb la massa total del lingot en quilograms.
3. c) Per calibrar la porció de coure obtinguda en una balança clàssica de dos plats, l'orfebre només disposa de pesos d'$1\ dag$, $1\ g$, $1\ dg$ i $1\ cg$. Determina quina és la combinació que utilitza el menor nombre possible de pesos per equilibrar la massa de coure calculada, arrodonida al centigram.

Una almàssera de Jaén prepara l'enviament d'oli d'oliva en un camió la tara del qual (massa del camió buit) és de $3,8\ t$ i la Massa Màxima Autoritzada (MMA) del qual és de $10\ t$. Es carreguen $16$ palets de fusta de $20\ kg$ cadascun. A cada palet es col·loquen $30$ caixes de cartó, i cada caixa conté $12$ ampolles. Cada ampolla plena d'oli té una massa de $950\ g$ i cada caixa de cartó buida pesa $25\ dag$.

L'auxiliar de logística lliura la nota següent al transportista:

«Massa d'ampolles: $16 \cdot 30 \cdot 12 \cdot 950 = 5\,472\,000\ g = 54,72\ kg$.

Massa de caixes: $16 \cdot 30 \cdot 25 = 12\,000\ dag = 12\ kg$.

Massa de palets: $16 \cdot 20 = 320\ kg$.

Massa total de la càrrega: $54,72 + 12 + 320 = 386,72\ kg = 0,38672\ t$.

Com que $3,8\ t + 0,38672\ t \approx 4,19\ t$, el camió va gairebé buit i podem carregar el doble sense cap problema».

1. a) Detecta i explica els dos errors greus de canvi d'unitats que ha comès l'auxiliar. Raona per què el seu resultat final no té cap mena de sentit físic per a una càrrega de milers d'ampolles.
2. b) Fes el càlcul correcte de la massa total real del camió carregat (tara, palets, caixes i ampolles), expressant el resultat tant en quilograms ($kg$) com en tones mètriques ($t$).
3. c) Determina si el camió pot circular legalment o si sobrepassa l'MMA. Si no la sobrepassa, calcula amb precisió quantes caixes completes més es podrien carregar com a màxim sense superar el límit legal de $10\ t$.