Exercicis: Longitud

En l'estudi de les matemàtiques i la física, és fonamental distingir entre el que mesurem i la unitat que utilitzem. Classifica els conceptes següents a la teva llibreta segons si són una magnitud o una unitat de mesura:

• Longitud

• Metre ($m$)

• Centímetre ($cm$)

• Amplada d'una taula

• Quilòmetre ($km$)

• Distància entre dues ciutats

Per mesurar amb precisió, hem de triar la unitat més adequada. Indica quina unitat del Sistema Mètric Decimal ($mm$, $cm$, $m$ o $km$) utilitzaries per mesurar els objectes següents:

1. a) La longitud d'un clip de papereria.
2. b) L'alçada del teu millor amic o amiga.
3. c) La distància que recorre un autobús escolar entre dos pobles.
4. d) El gruix de la pantalla d'un telèfon mòbil d'última generació.

El Sistema Mètric Decimal és decimal perquè cada unitat és $10$ vegades més gran que l'anterior. Completa les igualtats següents passant a la unitat indicada:

1. a) $7\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ dm}$
2. b) $25\text{ cm} = \dots\dots\dots\text{ mm}$
3. c) $1,5\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ cm}$
4. d) $0,8\text{ dm} = \dots\dots\dots\text{ mm}$

Quan mesurem distàncies grans, fem servir els múltiples del metre. Fes les conversions següents:

1. a) $3.000\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ km}$
2. b) $450\text{ m} = \dots\dots\dots\text{ hm}$
3. c) $12\text{ dam} = \dots\dots\dots\text{ m}$
4. d) $0,5\text{ km} = \dots\dots\dots\text{ hm}$

Tres amics comparen la longitud dels cables dels seus auriculars per veure quin és més llarg. Les mesures són:

• Marcos: $1,2\text{ m}$

• Lucía: $125\text{ cm}$

• Hugo: $11,5\text{ dm}$

Expressa totes les mesures en centímetres i ordena-les de menor a major fent servir el símbol $<$.

Una etapa d'una ruta de senderisme per la Sierra de Guadarrama està dividida en dos trams. El primer tram mesura $3\text{ km y } 450\text{ m}$, i el segon tram mesura $2.100\text{ m}$. Quants quilòmetres mesura l'etapa completa?

La Sara està dissenyant una funda per a la seva tauleta. Utilitza una regla i observa que el llarg de la tauleta és de $24,5\text{ cm}$. Si vol posar una vora de protecció de $5\text{ mm}$ a cadascun dels dos extrems del llarg, quina serà la longitud total de la funda en centímetres?

Calcula el perímetre (la suma de tots els seus costats) d'un camp de futbol sala que mesura $40\text{ m}$ de llarg i $200\text{ dm}$ d'ample. Expressa el resultat final en metres.

(Pista: Recorda que per sumar mesures totes han d'estar en la mateixa unitat).

En Mateo ha de tallar una tira de fusta per a un projecte de Tecnologia i necessita exactament $4\text{ m i } 5\text{ cm}$. Per apuntar la mesura a la seva llibreta en una sola unitat (forma incomplexa en metres), escriu directament $4,5\text{ m}$.\na) Explica raonadament per què l'anotació d'en Mateo és incorrecta recolzant-te en el valor de posició de cada xifra en el sistema mètric decimal.\nb) Quina és l'expressió correcta en metres de la mesura que necessita?\nc) Quina longitud real en centímetres tindria la tira si en Mateo tallés els $4,5\text{ m}$ que va anotar per error? Calcula la diferència en centímetres entre el que necessita i el que tallaria.

En un institut volen instal·lar un sòcol protector en una de les aules d'1r d'ESO. L'aula és rectangular i fa $82\text{ dm}$ de llarg i $580\text{ cm}$ d'ample. La porta d'entrada fa $9\text{ dm}$ d'ample i, òbviament, no portarà sòcol.\na) Abans de calcular amb exactitud, estima mentalment quants metres de sòcol es necessitaran arrodonint les mesures de les parets al metre més proper. Creus que n'hi haurà prou amb comprar un lot estàndard de $25\text{ m}$ de sòcol? Justifica la teva resposta.\nb) Expressa totes les dimensions en metres i calcula la longitud exacta de sòcol que es necessita.\nc) Compara la teva estimació prèvia amb el resultat exacte i explica si l'estimació inicial va ser suficient per prendre una decisió en la compra.

Tres amics estan comparant les distàncies que han recorregut aquest matí entrenant per a una cursa solidària. La Lucía diu que ha corregut $4,2 \text{ km}$, en Marcos afirma haver fet $38 \text{ hm}$ i $15 \text{ dam}$, i la Sofía ha registrat al seu rellotge intel·ligent un total de $4.050 \text{ m}$.

Ordena els tres amics de major a menor distància recorreguda, expressant totes les mesures en metres per poder comparar-les.

Un dron de missatgeria fa un trajecte dividit en tres etapes. En la primera etapa recorre una distància de $1 \text{ km}$ i $25 \text{ m}$. En la segona, vola $85 \text{ hm}$ i $7 \text{ dam}$. En l'última etapa, en recorre $450 \text{ m}$ més.

Calcula la distància total del trajecte expressant el resultat en forma incomplexa (una sola unitat) en quilòmetres.

En una botiga de tecnologia, les pantalles dels monitors es mesuren per la longitud de la seva diagonal en polzades. Sabem que $1 \text{ polzada} = 2,54 \text{ cm}$.

Si comprem un monitor la diagonal del qual mesura $27 \text{ polzades}$, quina és la seva mida aproximada en mil·límetres?

Un fuster té un llistó de fusta de $3 \text{ m}$ de llarg. Necessita tallar trossos de $35 \text{ cm}$ cadascun per fabricar les potes d'unes banquetes.

1. a) Quants trossos complets de $35 \text{ cm}$ podrà obtenir del llistó?
2. b) Quants mil·límetres de fusta li sobraran després de fer els talls?

El perímetre d'un circuit de karts mesura $0,85 \text{ km}$. Durant una cursa, un pilot ha completat $12$ voltes al circuit.

Calcula la distància total recorreguda pel pilot i expressa-la en forma complexa (utilitzant quilòmetres, hectòmetres i decàmetres).

Un biòleg està estudiant el creixement d'una arrel sota el microscopi. El primer dia, l'arrel mesurava $12 \text{ mm}$. Després d'una setmana, l'arrel mesura $4,5 \text{ cm}$.

Quantes micres ($\mu m$) ha crescut l'arrel en total durant aquesta setmana? (Recorda que $1 \text{ mm} = 1.000 \mu m$).

Per instal·lar la fibra òptica en un edifici, es necessiten $3$ rotllos de cable de $1,2 \text{ hm}$ cadascun. Si el tècnic ja ha utilitzat $245 \text{ m}$ de cable, quants decàmetres de cable li queden encara disponibles?

Una formiga recorre la vora d'una taula rectangular que mesura $1,2 \text{ m}$ de llarg i $80 \text{ cm}$ d'amplada. Si la formiga fa $5$ voltes completes al voltant de la vora de la taula:

1. a) Quants metres recorre en total?
2. b) Expressa el resultat anterior en hectòmetres.

En la prova de salt de llargada de la setmana esportiva del centre, l'Hugo ha registrat una marca de $3\text{ m i } 8\text{ cm}$, mentre que la seva comanya Daniela ha aconseguit un salt de $2\text{ m, } 7\text{ dm i } 5\text{ cm}$. Per esbrinar per quant ha superat l'Hugo la marca de la Daniela, el professor proposa tres camins possibles:\n- Mètode A: Convertir totes dues marques a metres fent servir nombres decimals i restar.\n- Mètode B: Expressar totes dues mesures en centímetres com a nombres enters i restar.\n- Mètode C: Operar directament en forma complexa restant unitats del mateix ordre ($3\text{ m} - 2\text{ m}$, etc.) i transformant unitats quan sigui necessari.\na) Resol la resta utilitzant el Mètode A i el Mètode B, comprovant que obtens el mateix resultat.\nb) Analitza els avantatges i inconvenients dels tres mètodes i justifica quin consideres més recomanable per evitar errors de càlcul en aquest cas concret.

El llibre de ruta oficial d'una etapa ciclista que recorre carreteres de muntanya marca una distància total prevista de $164,8\text{ km}$. El traçat es divideix en quatre sectors:\n- Sector 1 (sortida i pla): $42\text{ km i } 600\text{ m}$.\n- Sector 2 (port de muntanya): $185\text{ hm}$.\n- Sector 3 (vall): $6.400\text{ dam}$.\n- Sector 4 (pujada final a meta): longitud pendent de confirmar.\nA causa d'unes obres imprevistes a la vall, l'organització ha d'afegir un desviament obligatori de $3.250\text{ m}$ dins del Sector 3.\na) Planteja les operacions necessàries en una mateixa unitat per determinar la longitud original del Sector 4 abans de les obres, i escriu el resultat en forma complexa utilitzant quilòmetres i metres.\nb) Modela la longitud definitiva que tindrà l'etapa completa després d'incorporar el desviament, expressant el resultat final en hectòmetres ($hm$).

Un club de senderisme està dissenyant una nova ruta circular als Pirineus. Al mapa (escala $1:25.000$), la ruta es divideix en tres trams: el primer mesura $12,4$ $cm$, el segon $85$ $mm$ i el tercer $0,06$ $dm$. Si un senderista camina a una velocitat constant i cadascuna de les seves passes mesura exactament $75$ $cm$, calcula quantes passes farà per completar la ruta sencera a la realitat. Expressa també la distància total de la ruta en hectómetres ($hm$).

En un laboratori de nanotecnologia, un científic observa una fibra sintètica el gruix de la qual és de $450$ nanòmetres ($nm$). Per a un experiment, necessita col·locar aquestes fibres l'una al costat de l'altra fins a cobrir una distància de $0,27$ mil·límetres ($mm$). Sabent que $1$ micròmetre ($\mu m$) són $1.000$ $nm$ i que $1$ $mm$ són $1.000$ $\mu m$, quantes fibres haurà de col·locar el científic? Si cada fibra costés $0,002$ euros, quin seria el cost total de la mostra?

Antigament a Espanya s'utilitzava la "vara castellana", que equival aproximadament a $83,59$ $cm$. Un agricultor llegeix en un document antic que el seu terreny té una façana de $120$ vares. Per complir la normativa actual, ha d'instal·lar una tanca que costa $15,50$ euros el metre lineal. No obstant això, per cada $5$ decàmetres ($dam$) de tanca, la botiga li fa un descompte del $10\%$ sobre el preu d'aquests metres. Quants diners li costarà tancar la façana sencera del seu terreny?

Un dron de competició recorre un circuit amb forma d'hexàgon irregular. Les longituds dels seus costats són: $0,15$ $km$, $2,4$ $hm$, $35$ $dam$, $1.200$ $dm$, $8.500$ $cm$ i $95.000$ $mm$. El dron ha de completar un total de $15$ voltes al circuit. Quina és la distància total que recorrerà el dron en quilòmetres? Si la bateria del dron dura prou per recórrer $185$ hectòmetres, podrà acabar totes les voltes o es quedarà sense bateria abans? Justifica la teva resposta amb càlculs.

Un llibre de text de Matemàtiques té un gruix total (sense comptar les cobertes) de $2,4$ $cm$. Si el llibre té exactament $400$ pàgines ($200$ fulls), quin és el gruix d'un sol full expressat en micres ($\mu m$)? Sabent que un cabell humà té un gruix mitjà de $0,08$ $mm$, quants cabells humans es necessitarien apilar per igualar el gruix d'un sol full d'aquest llibre?

Una dissenyadora de mervandising de l'institut necessita vorejar $12$ banderoles circulars idèntiques amb una cinta decorativa. El contorn de cada banderola és de $37,5$ decímetres ($dm$). La cinta es ven en rotllos de $0,5$ hectòmetres ($hm$).

1. a) Quants rotllos complets ha de comprar la dissenyadora com a mínim perquè no li falti cinta?
2. b) Un cop acabades les $12$ banderoles, quants centímetres de cinta li sobraran en total?
3. c) Si cada metre de cinta costa $1,20$ euros, quin és el preu d'un rotllo complet?

La distància entre dues ciutats, A i B, és de $145,6$ $km$. Al punt mitjà exacte de la carretera que les uneix, hi ha un senyal que indica la distància a una tercera ciutat C, situada a $34.500$ metres d'aquest punt mitjà. Si un cotxe viatja d'A cap a B i s'atura quan porta recorreguts $820$ hectòmetres ($hm$):

1. a) A quina distància es troba de la ciutat B?
2. b) A quina distància es troba del senyal que indica el camí a la ciutat C?

Expressa tots els resultats en metres.

Un satèl·lit artificial orbita la Terra a una alçada constant de $350$ $km$. No obstant això, a causa del fregament amb l'atmosfera, cada dia perd $450$ metres d'alçada.

1. a) A quina alçada en quilòmetres es trobarà el satèl·lit després de $3$ setmanes d'òrbita?
2. b) Si el satèl·lit deixa de funcionar quan baixa dels $330$ $km$ d'alçada, quants dies complets podrà estar operatiu?
3. c) Expressa l'alçada inicial del satèl·lit en una expressió complexa utilitzant quilòmetres, hectòmetres i metres.

Una parcel·la comunitària té forma de quadrilàter i el seu perímetre total mesura exactament $0,15\text{ km}$. No coneixem totes les mesures directes, però es disposa de les dades següents:\n- El costat $A$ fa $35\text{ m i } 40\text{ dm}$.\n- Els quatre costats mesuren una quantitat exacta i sencera de metres.\n- El costat $D$ té una longitud que, expressada en decàmetres ($dam$), és un nombre enter exacte, i se sap que fa més de $20\text{ m}$ però menys de $45\text{ m}$.\n- El costat $B$ mesura exactament el doble que el costat $C$.\na) Dedueix de manera raonada quina és l'única longitud possible per al costat $D$ descartant les opcions que no compleixin totes les condicions.\nb) A partir del valor trobat per a $D$, calcula la mesura exacta dels costats $B$ i $C$, i expressa-les en forma complexa combinant decàmetres i metres.\nc) Comprova que la suma dels quatre costats reprodueix amb exactitud el perímetre inicial en quilòmetres.

Un equip de l'Institut Geogràfic Nacional està senyalitzant un sender de muntanya de $14,4\text{ km}$ de longitud total entre dos refugis. Per motius de seguretat i visibilitat davant la boira, s'instal·len fites de pedra al llarg del camí seguint aquestes normes:\n- Tram baix (els primers $4\text{ km i } 8\text{ hm}$): el camí és ample i es col·loca una fita cada $120\text{ m}$.\n- Tram intermedi (des del final del tram baix fins al punt quilomètric $11,2\text{ km}$ del sender): es col·loca una fita cada $8\text{ dam}$.\n- Tram alt de cim (des del punt quilomètric $11,2\text{ km}$ fins al final del sender): el camí és pedregós i es col·loca una fita cada $2.500\text{ cm}$.\nEs col·loca una fita a l'inici del sender ($0\text{ m}$), una altra a cada canvi de tram i una altra al refugi final.\na) Calcula la longitud exacta de cadascun dels tres trams expressada en metres.\nb) Determina el nombre total de fites que es necessitaran per senyalitzar tot el sender de principi a fi.\nc) Un dels senderistes afirma: «Com que el tram alt de cim és el més curt dels tres en distància, segur que és el tram en què menys fites cal carregar i col·locar». Analitza de manera crítica i numèrica si la seva afirmació és vertadera o falsa, justificant quina magnitud influeix més en el resultat.