Exercicis: Capacitat

Per celebrar el final del trimestre, els alumnes de 1r d'ESO han comprat diverses ampolles de suc de taronja. Si cada ampolla té una capacitat de $1,5\ L$, expressa aquesta quantitat en centilitres ($cL$) i en mil·lilitres ($mL$).

Associa cadascun dels objectes següents amb la unitat de capacitat del Sistema Mètric Decimal que et sembli més adequada per mesurar el que hi cap a l'interior:

• Una piscina olímpica.

• Una llauna de refresc de cola.

• Una xeringa per posar una vacuna.

• Una galleda per fregar el terra.

Completa les igualtats següents fent els canvis de unitat necessaris:

1. a) $25 L = ??? dL$
2. b) $4.500 mL = ??? L$
3. c) $0,75 kL = ??? L$
4. d) $32 cL = ??? mL$

Una esportista porta una motxilla d'hidratació per al seu entrenament. Si ha omplert el dipòsit amb $1.200\ mL$ d'aigua i després hi ha afegit un bidó extra de $0,5\ L$, quants litres d'aigua porta en total?

Al laboratori de Ciències Naturals, els alumnes utilitzen una proveta. Si la proveta marca una capacitat de $35\ cL$, expressa aquesta mesura en forma complexa (és a dir, utilitzant litres i centilitres).

Un agricultor té un petit dipòsit per regar els seus testos amb una capacitat de $2\ dal$ i $5\ L$. Quantes ampolles de $1\ L$ podrà omplir amb el dipòsit completament ple?

Recorda que en el sistema mètric hi ha una relació directa entre el volum i la capacitat. Si tenim un recipient amb forma de cub que té un volum d'exactament $1\ dm^3$, quants litres d'aigua hi caben a l'interior? I quants mil·lilitres hi caben en un volum de $1\ cm^3$?

(Figura no a escala.)

Una recepta de cuina per fer un pa de pessic indica que cal afegir $2\ dL$ de llet. Si a la nevera tenim un bric d'un litre obert al qual li queden $450\ mL$, tenim prou llet per a la recepta? Raona la teva resposta convertint totes dues quantitats a la mateixa unitat.

Lucía està preparant un refresc casolà per a la festa de final de curs del seu institut. En una gerra aboca $1,5\text{ L}$ d'aigua amb gas, $35\text{ cL}$ de suc de llimona espremut i $150\text{ mL}$ de xarop de maduixa. Per calcular quanta beguda ha obtingut en total, escriu a la seva llibreta:\n$$\text{Total} = 1,5 + 35 + 150 = 186,5\text{ L}$$\na) Identifica l'error conceptual que ha comès Lucía. Explica per què el seu resultat és un disbarat pensant en recipients quotidians.\nb) Corregeix el càlcul: converteix primer totes les quantitats a litres ($L$) i calcula la capacitat total exacta del refresc.\nc) Expressa aquesta mateixa quantitat total en decilitres ($dL$) i en centilitres ($cL$), indicant en cada cas quants esglaons et desplaces en l'escala mètrica.

Tens una garrafa d'aigua de $5\text{ L}$ i vols repartir-la completament en ampolletes individuals d'excursió de $33\text{ cL}$ de capacitat cadascuna.\na) Abans de fer qualsevol càlcul matemàtic, fes una estimació mental: arrodoneix la capacitat de l'ampolleta a una fracció senzilla de litre o a decilitres enters i raona si es podran omplir més o menys de $15$ ampolletes.\nb) Fes ara el càlcul exacte expressant ambdues capacitats en centilitres ($cL$). Quantes ampolletes completes es poden omplir?\nc) Quants centilitres d'aigua sobren a la garrafa? Expressa aquesta quantitat sobrant en mil·lilitres ($mL$) i en litres ($L$).\nd) Compara la teva estimació inicial de l'apartat a) amb el resultat real obtingut i explica si la teva aproximació prèvia ha estat raonable.

En un festival de música per a adolescents, l'organització ha comprat diversos tipus d'envasos d'aigua per repartir entre els assistents. Tenen un dipòsit principal de $2,5\text{ kL}$, paquets d'ampolles de $50\text{ cl}$ i garrafes de $8\text{ L}$.

Si volen saber el total d'aigua disponible en litres, fes les conversions següents:

1. a) Expressa la capacitat del dipòsit en litres.
2. b) Quants litres hi ha en un paquet que conté $12$ ampolles de $50\text{ cl}$?
3. c) Si han servit $15$ garrafes completes, quants decilitres han repartit?

Al laboratori de Ciències Naturals, els alumnes estan preparant una barreja per a un experiment sobre la densitat. Han utilitzat les quantitats següents de diferents líquids:

• Aigua destil·lada: $1\text{ L}$ i $25\text{ cl}$.

• Alcohol: $4\text{ dl}$ i $5\text{ ml}$.

• Oli: $150\text{ ml}$.

Expressa la quantitat total de la mescla de forma incomplexa en centilitres ($cl$) i després en forma complexa utilitzant litres, decilitres i mil·lilitres.

Un aquari té forma d'ortoedre (prisma rectangular) amb les dimensions que es mostren a la imatge. Sabent que $1\text{ dm}^3$ equival exactament a $1\text{ litre}$ de capacitat:

1. a) Calcula el volum de l'aquari en $\text{dm}^3$.
2. b) Quants litres d'aigua es necessiten per omplir l'aquari per complet?
3. c) Si actualment l'aquari conté $45.000\text{ ml}$ d'aigua, quants litres falten per omplir-lo?

Un grup d'amics se'n va d'excursió a la muntanya. Cadascun porta una motxilla amb una bossa d'aigua (camelbak). Si el pes d'un litre d'aigua és aproximadament $1\text{ kg}$:

1. a) Si la bossa d'aigua del Marcos té una capacitat de $2.500\text{ ml}$, quants quilos afegeix l'aigua al pes de la seva motxilla quan està plena?
2. b) La Lucía porta una ampolla de $75\text{ cl}$. Si ja ha begut un terç del contingut, quants grams d'aigua li queden?
3. c) Quantes ampolles com la de la Lucía ($75\text{ cl}$) es podrien omplir amb l'aigua d'un bidó de $1,5\text{ dal}$?

Ordena de menor a major les mesures de capacitat següents. Per poder comparar-les, passa-les totes primer a la unitat de litres ($L$):

• $0,007\text{ kL}$

• $75\text{ dl}$

• $725\text{ cl}$

• $7.100\text{ ml}$

• $0,8\text{ dal}$

Per a una festa d'aniversari, un adolescent decideix fer un "ponx de fruites" casolà barrejant els ingredients següents:

• $2$ ampolles de refresc de taronja de $1,5\text{ L}$ cadascuna.

• $3$ brics de suc de pinya de $33\text{ cl}$ cadascun.

• $1$ ampolla de gasosa de $2\text{ L}$.

• $250\text{ ml}$ de xarop de maduixa.

1. a) Quants litres de ponx obtindrà en total?
2. b) Si vol servir el ponx en gots de $200\text{ ml}$, quants gots podrà omplir completament?
3. c) Li sobrarà ponx? En cas afirmatiu, expressa el sobrant en centilitres.

Una piscina de jardí té una capacitat total de $12\text{ m}^3$. Volem omplir-la utilitzant una mànega que aporta un cabal de $25\text{ litres}$ per minut.

1. a) Quants litres d'aigua caben a la piscina? (Recorda que $1\text{ m}^3 = 1.000\text{ L}$).
2. b) Quants minuts trigarà a omplir-se la piscina per complet?
3. c) Expressa el temps anterior en hores i minuts.

Segons els registres de l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET), durant una tempesta de tardor a la Comunitat Valenciana van caure $65\text{ L/m}^2$ (litres per cada metre quadrat). La coberta plana del pavelló esportiu d'un institut fa $40\text{ m}$ de llarg i $25\text{ m}$ d'ample, i tota l'aigua que hi cau es canalitza íntegrament cap a un aljub municipal.\na) Modela la situació calculant quants litres d'aigua de pluja es van recollir a la coberta durant aquest temporal.\nb) Expressa el volum total recollit en metres cúbics ($m^3$) i en hectolitres ($hL$), tenint en compte que $1\text{ m}^3 = 1.000\text{ L}$.\nc) Si l'aljub municipal té una capacitat màxima de $80\text{ kL}$ i abans de la tempesta ja contenia $28.000\text{ dm}^3$ d'aigua, esbrina de manera raonada si el dipòsit es desbordarà o si encara quedarà espai lliure. En cas de no desbordar-se, indica quants litres faltarien per omplir-lo del tot.

Una cooperativa d'oli d'oliva a Jaén té un dipòsit amb $1,36\text{ kL}$ d'oli verge extra acabat de premsar. Es decideix envasar la totalitat del dipòsit sense que sobri gens d'oli, combinant únicament dos formats comercials: garrafes de $5\text{ L}$ i ampolles gurmet de $75\text{ cL}$. Per raons de demanda al mercat, s'acorda envasar exactament quatre ampolles gurmet per cada garrafa de $5\text{ L}$.

1. a) Expressa la capacitat total del dipòsit i la d'una ampolla gurmet en litres ($L$).
2. b) Considera un 'pack elemental' format per $1\text{ garrafa}$ de $5\text{ L}$ i $4\text{ ampolles}$ de $75\text{ cL}$. Quants litres d'oli conté exactament un d'aquests packs?
3. c) Planteja l'operació necessària i determina quantes garrafes familiars i quantes ampolles gurmet s'envasaran en total. Comprova que el volum conjunt coincideixi amb els $1,36\text{ kL}$ inicials.

Un aquari amb forma d'ortoedre té unes dimensions interiors de $80\text{ cm}$ de llarg, $30\text{ cm}$ d'ample i $50\text{ cm}$ d'alt. Per seguretat, es recomana no omplir-lo més dels $\frac{4}{5}$ de la seva capacitat total. Si actualment conté $84\text{ litres}$ d'aigua, quantes galledes de $250\text{ cl}$ falten per afegir-hi per arribar al nivell màxim recomanat?

En una fàbrica de perfums es vol envasar una partida de $0,15\text{ m}^3$ d'essència de lavanda. S'utilitzen tres tipus de frascos:

• La meitat de l'essència s'envasa en frascos de $125\text{ ml}$.

• Una tercera part del total s'envasa en frascos de $0,5\text{ dl}$.

• La resta de l'essència s'envasa en mostres de $10\text{ cm}^3$.

Calcula quants frascos de cada tipus es necessiten.

Una aixeta avariada en un institut perd una gota d'aigua cada $2\text{ segons}$. Si cada gota té un volum mitjà de $50\text{ mm}^3$, calcula quants bidons de $2\text{ decalitres}$ s'omplirien si l'aixeta estigués perdent aigua durant tot el mes d'abril.

Un agricultor té un dipòsit de reg que conté forma complexa de $2\text{ kl}$, $5\text{ hl}$ i $8\text{ dal}$ d'aigua. Per abonar els seus arbres, ha de barrejar l'aigua amb un fertilitzant líquid en una proporció de $15\text{ ml}$ de fertilitzant per cada litre d'aigua. Si disposa de garrafes de fertilitzant de $5\text{ litres}$, quantes garrafes completes haurà de comprar per utilitzar tota l'aigua del dipòsit? Sobrarà fertilitzant a l'última garrafa? Expressa el que sobra en centilitres.

Un camió cisterna transporta $12,5\text{ m}^3$ de llet. Quan arriba a la planta de processament, es descarrega el contingut en tres tancs diferents:

1. Al primer tanc es descarreguen $4.500\text{ litres}$.

2. Al segon tanc es descarreguen $52\text{ hectolitres}$.

3. La resta es reparteix a parts iguals en $200$ recipients industrials.

Quina és la capacitat de cadascun d'aquests $200$ recipients expressada en $dm^3$?

Es vol comparar la rendibilitat de dos envasos de detergent líquid de la mateixa marca:

• Envàs A: $1.800\text{ ml}$ a un preu de $4,50\text{ €}$.

• Envàs B: $0,25\text{ dal}$ a un preu de $6,50\text{ €}$.

Calcula el preu per litre de cada envàs i determina quin és més econòmic. Si una família consumeix $15\text{ cl}$ de detergent en cada rentat, quantes rentades pot fer amb l'envàs més gran?

Un experiment de laboratori requereix omplir una proveta graduada amb tres líquids que no es barregen:

1. $0,045\text{ dm}^3$ de mercuri.

2. $12,5\text{ centilitres}$ d'aigua destil·lada.

3. $850\ \text{mm}^3$ d'oli.

Quin serà el volum total de la barreja a la proveta expressat en forma complexa (utilitzant les unitats de litres, decilitres i mil·litres)? Nota: Recorda que $1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$.

Una piscina municipal de $25\text{ m}$ de llarg i $12\text{ m}$ d'ample està plena fins a una profunditat mitjana de $1,8\text{ metres}$. A causa de l'evaporació per la calor, el nivell de l'aigua baixa $5\text{ mm}$ cada dia.

1. a) Quants litres d'aigua es perden per evaporació en un sol dia?
2. b) Si l'aigua costa $1,20\text{ €}$ el metre cúbic ($m^3$), quants diners li costa a l'ajuntament la pèrdua d'aigua després d'una setmana de calor intensa?

Al laboratori de Ciències es vol omplir fins a la vora un recipient de vidre amb forma d'ortoedre (prisma rectangular) les mesures interiors del qual són $20\text{ cm}$ d'ample, $35\text{ cm}$ de llarg i $40\text{ cm}$ d'alçària. Per abocar l'aigua s'utilitza una proveta graduada de $250\text{ mL}$. Dos estudiants proposen estratègies diferents per calcular quantes provetes completes es necessitaran:\n- Estratègia de Carla: Calcula el volum del recipient multiplicant les mesures en centímetres per obtenir $\text{cm}^3$. Després aplica l'equivalència $1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}$ i divideix el resultat directament entre la capacitat de la proveta en mil·lilitres.\n- Estratègia de Dani: Converteix prèviament cadascuna de les tres dimensions a decímetres ($dm$), calcula el volum en decímetres cúbics ($\text{dm}^3$), el converteix a litres sabent que $1\text{ dm}^3 = 1\text{ L}$, passa la capacitat de la proveta a litres ($L$) i divideix ambdues mesures.\na) Resol el problema aplicant amb rigor l'estratègia de Carla pas a pas.\nb) Resol el problema aplicant amb rigor l'estratègia de Dani pas a pas.\nc) Comprova si tots dos arriben al mateix nombre de provetes i compara els dos mètodes: quin dels dos camins consideres més recomanable per minimitzar errors de càlcul amb molts zeros o comes decimals? Justifica la teva elecció analitzant els passos intermedis.

Segons dades de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), el consum mitjà d'aigua a les llars espanyoles és d'aproximadament $130\text{ L}$ per persona i dia. Una família de 4 persones a Sevilla instal·la un sistema de reciclatge d'aigües grises procedents de dutxes i rentadores.\nL'estudi tècnic del fabricant estableix que:\n- En aquest habitatge, el $40\,\%$ del total de l'aigua consumida diàriament es destina a dutxes i rentadores.\n- L'equip de filtratge recupera de manera efectiva el $75\,\%$ d'aquesta aigua grisa per reutilitzar-la.\nL'aigua tractada s'emmagatzema en un dipòsit prismàtic la base rectangular del qual fa $1,2\text{ m}$ de llarg per $0,65\text{ m}$ d'ample i té una alçària màxima utilitzable d'$1,5\text{ m}$.\na) Modela la quantitat d'aigua recuperada: calcula quants litres recupera la família en un dia i quants hectolitres ($hL$) representa aquesta quantitat acumulada al cap d'una setmana ($7\text{ dies}$).\nb) Calcula la capacitat màxima en litres del dipòsit d'emmagatzematge ($1\text{ m}^3 = 1.000\text{ L}$).\nc) Si a l'inici d'un període el dipòsit ja contenia $210\text{ dm}^3$ d'aigua i no s'extreu gens de l'aigua que hi va entrant, quants dies complets podran transcórrer abans que el dipòsit comenci a desbordar-se? Quants centímetres puja el nivell de l'aigua al dipòsit cada dia?