Exercicis: Elements del pla

Observa la imatge següent i identifica quin dels elements dibuixats correspon a una recta, quin a una semirecta i quin a un segment. Explica breument la diferència entre aquests fixant-te en els seus extrems.

En el plànol del teu barri, dos carrers es poden creuar o ser paral·lels. Observa l'esquema de les rectes $a$, $b$ i $c$. Indica quina parella de rectes són paral·leles i quina parella són secants. Com es diu el punt taronja on es tallen dues d'elles?

Classifica els angles següents segons la seva obertura en agut, recte o obtús. Per ajudar-te, recorda que un angle recte mesura exactament $90^\circ$.

• Angle $A = 45^\circ$

• Angle $B = 120^\circ$

• Angle $C = 90^\circ$

• Angle $D = 10^\circ$

Dos angles són complementaris si la seva suma és $90^\circ$ i suplementaris si la seva suma és $180^\circ$. Calcula quant val l'angle que falta en cada cas:

1. a) El complementari d'un angle de $35^\circ$.
2. b) El suplementari d'un angle de $110^\circ$.

Quan dues rectes es tallen, els angles oposats pel vèrtex són iguals. En el dibuix següent, si sabem que l'angle taronja $\hat{\alpha}$ mesura $40^\circ$, quant mesuraran els angles $\hat{\beta}$, $\hat{\gamma}$ i $\hat{\delta}$?

Les agulles d'un rellotge formen diferents angles al llarg del dia.

1. a) Quin tipus d'angle formen les agulles quan són les 3:00 en punt?
2. b) I quan són les 6:00 en punt?
3. c) Quin angle (en graus) recorre l'agulla del minutser en 15 minuts?

Dibuixa un polígon de tres costats (un triangle) i anomena'n els elements principals. Has d'indicar on són els vèrtexs, els costats i els angles interiors. Quants de cadascun té un triangle?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Els segments següents tenen aquestes longituds:

• Segment $AB = 40$ $mm$

• Segment $CD = 2,5$ $cm$

• Segment $EF = 0,5$ $dm$

Calcula la suma total de les seves longituds en centímetres ($cm$).

Recorda passar totes les mesures a la mateixa unitat abans de sumar.

En Lucas ha de calcular l'angle complementari d'$\hat{A} = 42^\circ\ 35'$. En la seva llibreta ha escrit la següent resolució:

«Com que dos angles complementaris sumen $90^\circ$, resto: $90^\circ - 42^\circ\ 35'$. Converteixo $90^\circ$ en $89^\circ\ 100'$, així que faig $89^\circ\ 100' - 42^\circ\ 35' = 47^\circ\ 65'$. Com que $65'$ supera un grau, passo $60'$ als graus i em queda com a resultat final $48^\circ\ 5'$».

1. a) Identifica l'error comès per en Lucas i explica detalladament per què falla el seu raonament sobre les unitats i com afecta el resultat final, recordant la base del sistema sexagesimal.
2. b) Realitza l'operació de manera correcta i troba la mesura exacta de l'angle complementari d'$\hat{A}$.

En un taller de disseny geomètric et demanen trobar un angle $\hat{A}$ desconegut que compleix una propietat matemàtica molt concreta: la mesura del seu angle suplementari és exactament el triple de la mesura del seu angle complementari.

1. a) Raona, sense necessitat de calcular encara l'angle $\hat{A}$, quants graus de diferència hi ha sempre entre l'angle suplementari i el complementari de qualsevol angle del pla.
2. b) Utilitza aquesta diferència i la condició que l'un és el triple de l'altre per deduir quant ha de mesurar obligatòriament l'angle complementari d'$\hat{A}$.
3. c) Determina a partir d'això la mesura exacta de l'angle $\hat{A}$ i comprova que es compleix la condició inicial calculant el seu complementari i el seu suplementari.

En un mapa de senderisme, una ruta recta uneix el punt $A$ (un refugi) amb el punt $B$ (una cascada). Si perllonguem la ruta més enllà de la cascada cap al cim de la muntanya (punt $C$), identifica quin element geomètric representen els trams següents:

1. El camí que comença al refugi i acaba a la cascada.

2. El camí que comença al refugi i segueix indefinidament passant per la cascada i el cim.

3. La línia teòrica que conté el refugi, la cascada i el cim, i s'estén sense fi en totes dues direccions.

Un arquitecte està dissenyant una nova zona residencial. Ha traçat tres carrers representats per les rectes $r$, $s$ i $t$. Observa el plànol i respon de manera raonada:

• Si el carrer $r$ és perpendicular al carrer $s$, i el carrer $t$ és paral·lel al carrer $r$, com són entre si els carrers $s$ i $t$?

• Si un cotxe circula pel carrer $s$ i vol girar per entrar al carrer $t$, quin angle (en graus) haurà de girar?

Un radar de trànsit gira sobre el seu eix escombrant un angle total de $145^\circ$ $30'$. Si el radar ja ha girat $82^\circ$ $45' $ $20''$, quant li falta per girar per completar el seu escombrat total? Expressa el resultat en graus, minuts i segons.

En el disseny d'una rampa per a patinadors, s'han calculat tres angles interns que han de sumar un angle pla perquè l'estructura sigui estable. Si els dos primers angles mesuren $\hat{A} = 48^\circ$ $25'$ i $\hat{B} = 72^\circ$ $50'$, calcula la mesura del tercer angle $\hat{C}$. De quin tipus d'angle es tracta segons la seva obertura (agut, recte o obtús)?

Dos angles són suplementaris. Si un d'ells mesura el triple que l'altre, quina és la mesura de cadascun dels angles? Ajuda't d'un esquema gràfic per visualitzar la situació.

Dos amics, Ana i Borja, volen instal·lar una antena repetidora de Wi-Fi al pati de l'institut que estigui exactament a la mateixa distància de tots dos. Si Ana està al punt $A$ i Borja al punt $B$:

1. Com es diu la línia imaginària on podrien col·locar l'antena?

2. Si la distància entre Ana i Borja és de $12$ metres, a quina distància mínima de cadascun estarà l'antena?

3. Dibuixa un esquema que representi els punts $A$ i $B$, el segment que els uneix i la línia on han de situar l'antena.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un jardiner vol dividir un parterre de flors en forma de sector circular en dos sectors iguals. Per a això, necessita traçar la bisectriu de l'angle central que forma el parterre original, el qual mesura $135^\circ$.

• Calcula quant mesurarà cadascun dels nous angles després de passar la bisectriu.

• Si el jardiner comet un error i traça una línia que deixa un angle de $60^\circ$ $40'$, quants graus, minuts i segons de diferència hi ha respecte a la bisectriu correcta?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Observa les agulles d'un rellotge analògic quan marca exactament les $15:00$ (les tres en punt). La figura mostra aquest rellotge: l'agulla curta és la de les hores i la llarga és el minuter.

Respon:

1. a) Quin tipus d'angle formen les dues agulles a les $15:00$?

1. b) Si el rellotge avança fins a les $15:10$, el minuter ha girat un cert angle. Sabent que cada minut equival a un gir de $6^\circ$ del minuter, quin angle ha recorregut el minuter?

1. c) A les $15:10$, és l'angle format per les dues agulles més gran o més petit que el que formaven a les $15:00$? Tingues en compte que l'agulla de les hores també es desplaça una mica: gira $0,5^\circ$ cada minut.

El braç giratori d'una màquina classificadora en un centre logístic de Zaragoza parteix d'una posició de referència i gira un angle de $58^\circ\ 48'$. Per completar un calibratge que exigeix assolir exactament un angle recte ($90^\circ$), l'operari ha de programar un segon gir complementari a continuació del primer.

1. a) Abans d'operar amb llapis i paper, estima raonadament entre quines dues desenes enteres de graus (per exemple, entre $20^\circ$ i $30^\circ$, o entre $30^\circ$ i $40^\circ$) estarà el valor del gir restant. Explica en què et fixes per fer l'estimació sense calcular el valor exacte.
2. b) Calcula amb precisió sexagesimal (en graus i minuts) la mesura del gir que li falta fer a la màquina per assolir els $90^\circ$.
3. c) Compara el valor exacte obtingut amb la teva estimació prèvia i valora raonadament si té sentit geomètric.

En la remodelació urbanística d'una zona de Vitoria-Gasteiz, es creuen dues avingudes rectes, la Avenida del Norte i la Avenida Central, tallant-se en un punt $P$. Un dels quatre angles generats en aquesta cruïlla mesura $68^\circ\ 40'$.

1. a) Modela la situació classificant la posició relativa de totes dues avingudes en el pla i determina raonadament la mesura dels altres tres angles originats a la cruïlla $P$, justificant quins són oposats pel vèrtex i quins són suplementaris.
2. b) Per facilitar el gir dels autobusos urbans, es projecta una plataforma l'eix central de la qual coincideix exactament amb la bisectriu de l'angle de $68^\circ\ 40'$. Calcula la mesura exacta de l'angle (en graus i minuts) que forma aquesta plataforma amb la Avenida Central.
3. c) Si més endavant s'obre un nou carrer totalment paral·lel a la Avenida del Norte que també talla la Avenida Central en un altre punt diferent, justifica quins angles formarà aquest nou carrer amb la Avenida Central sense necessitat de mesurar-los sobre el terreny.

Tres pobles, Alcedo ($A$), Berzosa ($B$) i Cañotal ($C$), estan situats de manera que l'angle amb vèrtex a $A$ format per les carreteres que van a $B$ i $C$ mesura $74^\circ \ 12'$. Es vol construir una torre de telefonia que estigui exactament a la mateixa distància de la carretera $AB$ que de la carretera $AC$. A més, la torre ha d'estar situada a la mateixa distància dels pobles $B$ i $C$. Descriu raonadament quins elements geomètrics del pla (rectes notables) has de traçar per trobar la ubicació exacta de la torre i quin nom rep el punt d'intersecció.

En el disseny d'una peça metàl·lica, dos angles són suplementaris. Si un d'ells és el triple de l'altre disminuït en $20^\circ$, quant mesura cadascun dels angles? Planteja una estratègia lògica o matemàtica per trobar les seves mesures en graus, minuts i segons.

Calcula de manera exacta l'angle menor que formen les agulles d'un rellotge analògic quan marca les $10:20$ del matí. Tín en compte que l'agulla de les hores es desplaça proporcionalment al moviment del minutser. (Pista: cada minut, l'agulla de les hores avança $0,5^\circ$).

Dues rectes paral·leles, $r$ i $s$, són tallades per una secant $t$. Es sap que dos angles alterns interns venen expressats per les mesures $2x + 15^\circ$ i $3x - 10^\circ$.

1. a) Troba el valor de $x$.
2. b) Calcula la mesura dels vuit angles que es formen en la intersecció.

Dibuixa un angle obtús $\widehat{AOB} = 150^\circ$. Traça la seva bisectriu $OC$. Posteriorment, traça la bisectriu $OD$ de l'angle $\widehat{AOC}$. Sense utilitzar el transportador d'angles per a la mesura final, calcula aritmèticament quant mesura l'angle suplementari de l'angle $\widehat{DOB}$. Mostra tots els passos de l'operació en el sistema sexagesimal.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una pizzeria vol dividir una pizza circular de $30 \text{ cm}$ de diàmetre en 7 racions iguals.

1. a) Quina és la mesura exacta de l'angle central de cada ració en graus, minuts i segons?
2. b) Si per error el primer tall es fa a $52^\circ$, quants minuts i segons de més té aquesta ració respecte a la mesura correcta?

Dos estudiants de 1r d'ESO, la Irene i en Marcos, volen esbrinar quant mesura l'angle que formen entre si les bisectrius de dos angles adjacents i suplementaris qualssevol, $\hat{A}$ i $\hat{B}$ (que sumen $180^\circ$ i comparteixen el vèrtex i un costat comú).

• Mètode de la Irene (comprovació numèrica): Tria un cas concret, per exemple $\hat{A} = 120^\circ$ i $\hat{B} = 60^\circ$. Divideix cadascun entre dos per trobar les seves bisectrius ($60^\circ$ i $30^\circ$), les suma ($60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$) i conclou que sempre formaran $90^\circ$.

• Mètode d'en Marcos (deducció general): Planteja que si $\hat{A} + \hat{B} = 180^\circ$, l'angle format per les dues bisectrius és la suma de les seves meitats: $\frac{\hat{A}}{2} + \frac{\hat{B}}{2} = \frac{\hat{A} + \hat{B}}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.

1. a) Compara críticament tots dos camins: per què el mètode de la Irene serveix com a indici però no demostra formalment que la propietat es compleixi per a totes les parelles d'angles suplementaris possibles? Quin avantatge aporta el mètode d'en Marcos?
2. b) Aplica el mètode deductiu general d'en Marcos per calcular i demostrar quant mesurarà sempre l'angle format per les bisectrius de dos angles adjacents que siguin complementaris.
3. c) A partir de la teva deducció, raona si és possible que les bisectrius de dos angles adjacents i complementaris formin un angle obtús en algun cas.

Al centre de Salvament Marítim de Tarifa (Cádiz), els controladors tracen en una pantalla plana la navegació de diverses embarcacions:

• El vaixell Alfa segueix una trajectòria rectilínia representada per la recta $r$.

• El vaixell Bravo segueix una altra ruta rectilínia representada per la recta $s$. Totes dues rutes són secants i es tallen en un punt $P$, formant un angle agut de $41^\circ\ 35'$.

• Una llanxa de salvament parteix de la cruïlla $P$ navegant en línia recta seguint exactament la bisectriu de l'angle obtús que formen les rutes d'Alfa i Bravo en aquest punt.

• Un vaixell nodrissa Charlie es desplaça al llarg d'una trajectòria rectilínia $t$ que és perpendicular a la trajectòria del vaixell Alfa ($r \perp t$) en un punt situat a diverses milles de $P$.

1. a) Determina de manera raonada la mesura exacta de l'angle obtús que formen les trajectòries d'Alfa i Bravo en el punt $P$.
2. b) Calcula la mesura exacta (en graus, minuts i segons sexagesimals) de l'angle que forma el rumb de la llanxa de salvament amb la trajectòria del vaixell Bravo.
3. c) Demostra de manera purament geomètrica si les trajectòries del vaixell Charlie ($t$) i del vaixell Bravo ($s$) arribaran a tallar-se en algun punt del pla o si hi ha la possibilitat que siguin paral·leles. Per justificar-ho, dedueix quina condició angular haurien de complir $r$ i $s$ perquè $t$ pogués ser paral·lela a $s$.