Exercicis: Quadrilàters

Estem dissenyant el logotip per a un nou equip d'eSports. El logotip principal té la forma del quadrilàter que veus al dibuix. Observa els seus costats i angles, i respon:

1. a) Com es diu aquest quadrilàter de forma precisa?
2. b) A quin grup pertany: paral·lelograms, trapezis o trapezoides? Justifica la teva resposta fixant-te en el paral·lelisme dels seus costats.

A la classe de dibuix tècnic, un alumne ha traçat un quadrilàter i ha mesurat tres dels seus angles interiors: $110^\circ$, $70^\circ$ i $110^\circ$.

1. a) Sabent que la suma dels angles de qualsevol quadrilàter és sempre la mateixa, quant ha de mesurar el quart angle?
2. b) Si els costats oposats són iguals dos a dos, de quina figura es tracta?

La pantalla d'un nou model de telèfon intel·ligent té forma de rectangle. El fabricant indica que la seva base mesura $7\text{ cm}$ i la seva altura és de $15\text{ cm}$.

1. a) Calcula el perímetre del telèfon intel·ligent (la longitud del marc metàl·lic que envolta la pantalla).
2. b) Si volem col·locar un protector de pantalla que cobreixi tota la superfície, quina serà l'àrea d'aquest protector en $\text{cm}^2$?

Observa les diagonals dels quadrilàters següents. Una de les propietats més importants és si aquestes són perpendiculars (formen $90^\circ$) i si es tallen en el seu punt mitjà.

Identifica quin d'aquests dibuixos representa les diagonals d'un rombe i quin les d'un rectangle. Justifica la teva elecció.

El tauler d'una taula de classe té forma de quadrilàter. Si t'hi fixes bé, té dos costats paral·lels de diferent longitud i els altres dos costats són iguals entre si.

1. a) Com es classifica aquest quadrilàter?
2. b) És un paral·lelogram? Explica per què.

Dibuixa al teu quadern un quadrat de $4\text{ cm}$ de costat, com el de la figura.

1. a) Traça tots els seus eixos de simetria. Quants n'has trobat en total?
2. b) Es tallen tots els eixos en el mateix punt? Com es diu aquest punt?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Indica si les afirmacions següents sobre paral·lelograms són veritables o falses, i justifica breument la teva resposta:

1. Tot quadrat és també un rectangle perquè té 4 angles rectes.

2. Un rombe és un quadrat perquè té els 4 costats iguals.

3. El romboide no té les diagonals iguals.

Calcula l'àrea de la zona ombrejada de la quadrícula següent, sabent que cada quadrat petit mesura $1\text{ cm}$ de costat. Per facilitar-ho, divideix la figura en un rectangle i un triangle.

A la classe d'Educació Plàstica, Alejandro està construint un marc de fusta amb forma de quadrilàter per a una làmina artística. Ha mesurat amb el transportador tres dels angles interiors del marc: $75^\circ$, $110^\circ$ i $85^\circ$. Per esbrinar la mesura que ha de tenir el quart angle interior, Alejandro escriu al seu quadern:

$$\hat{D} = 180^\circ - (75^\circ + 110^\circ + 85^\circ) = 180^\circ - 270^\circ = -90^\circ$$

En obtenir un resultat negatiu, s'adona que alguna cosa falla.

1. a) Identifica l'error conceptual d'Alejandro: amb quina altra figura geomètrica ha confós la propietat de la suma dels angles interiors i quina és la suma correcta en qualsevol quadrilàter?
2. b) Corregeix el seu plantejament i calcula la mesura exacta que ha de tenir el quart angle.

Dissenya tu mateix les mesures dels quatre angles interiors d'un quadrilàter que compleixi totes aquestes condicions alhora:

1. La suma dels seus quatre angles interiors ha de ser la corresponent a qualsevol quadrilàter convex.

2. Cap dels seus quatre angles pot ser recte (cap pot mesurar exactament $90^\circ$).

3. No pot ser un paral·lelogram (és a dir, no pot tenir els angles oposats iguals dos a dos).

Escriu els quatre valors en graus que has triat, comprova numèricament que sumen el que han de sumar i justifica raonadament per què amb aquests angles és impossible que la figura sigui un paral·lelogram.

En un taller de disseny gràfic, en Marcos està creant un logotip amb forma de romboide (paral·lelogram no regular). Si un dels angles interiors del romboide mesura $65^\circ$, calcula raonadament la mida dels altres tres angles del logotip.

La secció transversal d'una nova rampa de skate té forma de trapezi isòsceles. Sabem que la base superior mesura $3\text{ m}$, la base inferior mesura $7\text{ m}$ i els angles que forma la base inferior amb els costats laterals són de $72^\circ$. Indica quant mesuren els dos angles de la part superior i justifica la teva resposta basant-te en les propietats dels trapezis.

Classifica els quadrilàters següents basant-te exclusivament en la descripció de les seves diagonals:

• Figura A: Les seves diagonals són de diferent longitud, són perpendiculars i es tallen en el seu punt mitjà.

• Figura B: Les seves diagonals són iguals, no són perpendiculars i es tallen en el seu punt mitjà.

• Figura C: Les seves diagonals són iguals, són perpendiculars i es tallen en el seu punt mitjà.

Una empresa de telefonia vol dissenyar una pantalla per a un nou model de telèfon intel·ligent amb forma de rectangle. El dissenyador ha establert que la base ha de mesurar el doble que l'altura. Si el perímetre total de la pantalla ha de ser de $36\text{ cm}$, quines seran les dimensions (base i altura) de la pantalla?

Un arquitecte està dissenyant una finestra amb forma de rombe. Perquè l'estructura sigui estable, hi ha col·locat dos llistons de fusta que coincideixen amb les diagonals del rombe. La diagonal major mesura $160\text{ cm}$ i la diagonal menor mesura $120\text{ cm}$. En creuar-se, les diagonals divideixen el rombe en quatre triangles iguals.

1. Quin tipus de triangles són aquests? (segons els seus angles).

2. Si el costat del rombe mesura $100\text{ cm}$, calcula el perímetre total de la finestra.

Dibuixa a la teva llibreta un quadrilàter qualsevol (trapezoide) que no tingui cap costat paral·lel. Localitza el punt mitjà de cadascun dels seus quatre costats i uneix-los seguint l'ordre del contorn.

1. Quina figura geomètrica especial es forma sempre a l'interior?

2. Si els costats del quadrilàter original mesuren $8\text{ cm}$, $10\text{ cm}$, $12\text{ cm}$ i $14\text{ cm}$, quin és el perímetre del quadrilàter original?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un examen de geometria, a la Lucía li demanen calcular l'angle que falta en un estel de paper que té forma de trapezoide simètric (deltoide). Els angles desiguals mesuren $110^\circ$ (el superior) i $40^\circ$ (el inferior). Si els altres dos angles són iguals entre ells, quant mesura cadascun d'aquests? Recorda utilitzar la propietat de la suma dels angles interiors d'un quadrilàter.

Observa les afirmacions següents sobre els quadrilàters i digues si són Verdaderes o Falses, mejustificant la teva resposta:

1. "Un quadrat és, al mateix temps, un rectangle i un rombe".

2. "Un trapezi rectangle té exactament quatre angles rectes".

3. "En un romboide, les diagonals són iguals i perpendiculars".

4. "Qualsevol paral·lelogram té dos parells de costats paral·lels".

La coberta d'una nau industrial en un polígon de Zaragoza té forma de trapezi isòsceles vist de front. Els dos costats inclinats mesuren exactament el mateix i la biga inferior (base major) és horitzontal i més ampla que la biga superior (base menor). Se sap que els dos angles que formen els costats inclinats amb la base inferior mesuren $35^\circ$ cadascun.

1. a) Abans de fer cap càlcul exacte, estima raonadament si els altres dos angles (els que es formen amb la base superior) seran aguts o obtusos, i explica si cadascun d'ells hauria de mesurar més o menys de $120^\circ$.
2. b) Calcula el valor exacte dels dos angles superiors recolzant-te en la propietat de la suma dels angles d'un quadrilàter i en la simetria del trapezi isòsceles.
3. c) Compara el teu càlcul exacte amb l'estimació que has fet a l'apartat a) i valora si el teu raonament visual previ era encertat.

Una empresa de rajoles d'Onda (Castelló) dissenya rajoles amb forma de romboide (un paral·lelogram amb costats contigus desiguals i sense angles rectes). Al catàleg tècnic s'especifica que el menor dels seus angles interiors mesura $50^\circ$. Per determinar la mesura dels altres tres angles, dos dissenyadors segueixen camins diferents:

• Estratègia de Laura: Sap que els quatre angles interiors sumen $360^\circ$ i que els angles oposats són iguals; per tant, planteja l'equació $2 \cdot 50^\circ + 2 \cdot \hat{B} = 360^\circ$ i aïlla $\hat{B}$.

• Estratègia de Mateo: Utilitza que els costats oposats són paral·lels, de manera que dos angles consecutius són suplementaris; calcula directament $\hat{B} = 180^\circ - 50^\circ$.

1. a) Aplica tots dos mètodes per separat per calcular el valor de l'angle $\hat{B}$ i comprova si donen el mateix resultat.
2. b) Compara tots dos camins: quin dels dos requereix menys passos de càlcul i es recolza de manera més directa en la definició de paral·lelogram? Justifica la teva resposta explicant per què els angles consecutius sumen $180^\circ$.

En un parc d'atraccions han dissenyat una nova zona de jocs amb forma de trapezoide simètric (també anomenat deltoide). Sabem que l'angle superior mesura $\hat{A} = 110^\circ$ i l'angle inferior mesura $\hat{C} = 40^\circ$. Els altres dos angles laterals són iguals entre ells. Calcula la mida d'aquests dos angles laterals i explica raonadament per què han de ser iguals en aquest tipus de figura.

Una empresa de disseny gràfic està creant un logotip. Han dibuixat un quadrilàter qualsevol i han marcat els punts mitjans de cadascun dels seus costats. En unir aquests punts mitjans en ordre, es forma un nou quadrilàter a l'interior.

1. Quin tipus de quadrilàter es forma sempre a l'interior, sense importar la forma de l'original?

2. Si l'àrea del quadrilàter exterior és de $120 \text{ cm}^2$, quina serà l'àrea de la figura formada en unir els punts mitjans?

La pantalla d'un nou model de telèfon intel·ligent té forma rectangular. El fabricant indica que el perímetre total de la pantalla és de $48 \text{ cm}$ i que la base mesura exactament el doble que l'altura.

1. Calcula les dimensions (base i altura) de la pantalla.

2. Si es vol col·locar un protector que costa $0,50 \text{ €}$ per cada $\text{cm}^2$ de superfície, quant costarà protegir la pantalla completa?

En la construcció d'una rampa per a un skatepark s'utilitza una estructura amb forma de trapezi rectangle. L'angle obtus de l'estructura mesura $125^\circ$. Calcula la mida de tots els angles interiors d'aquest trapezi i justifica la teva resposta basant-te en les propietats de les rectes paral·leles tallades per una secant.

Un artista està dissenyant un mosaic amb peces en forma de rombe. Sap que les dues diagonals del rombe sumen $28 \text{ cm}$ i que la diagonal major mesura $4 \text{ cm}$ més que la diagonal menor.

1. Calcula la mida de totes dues diagonals.

2. Calcula l'àrea d'una sola peça del mosaic.

3. Si el mosaic complet utilitza $50$ peces iguals, quants decímetres quadrats ($\text{dm}^2$) de superfície cobrirà en total?

Ebrina de quin quadrilàter estem parlant en cada cas basant-te en les seves diagonals:

1. "Les meves diagonals són iguals i es tallen perpendicularment en el seu punt mitjà".

2. "Les meves diagonals són iguals, es tallen en el seu punt mitjà, però no són perpendiculars".

3. "Les meves diagonals no són iguals, però sí que són perpendiculars i es tallen en el seu punt mitjà".

4. "Tinc dos costats paral·lels i dues diagonals iguals, però no es tallen en els seus punts mitjans".

Justifica la teva resposta fent un petit esquema de les diagonals per a cada cas.

Un jardí quadrat de $20 \text{ metres}$ de costat té al seu centre una font també quadrada. Sabem que la distància des de qualsevol costat del jardí al costat paral·lel de la font és de $6 \text{ metres}$.

1. Quant mesura el costat de la font central?

2. Calcula l'àrea de la zona de passeig (la regió del jardí que no ocupa la font).

En un romboide, la suma de dos dels seus angles oposats és $130^\circ$.

1. Quant mesura cadascun d'aquests dos angles?

2. Quant mesuren els altres dos angles restants del romboide?

3. Si el costat major del romboide mesura $12 \text{ cm}$ i el perímetre és de $38 \text{ cm}$, quant mesura el costat menor?

Una comunitat de regants del Campo de Cartagena (Murcia) gestiona una bassa de reg la superfície de la qual té forma de quadrilàter, amb vèrtexs consecutius $A$, $B$, $C$ i $D$. Un aixecament topogràfic aporta les següents dades sobre les seves vores:

• La vora $AB$ és paral·lela a la vora $CD$.

• Les vores $BC$ i $DA$ no són paral·leles entre si.

• A la cantonada $A$, el canal d'entrada entra en angle recte amb la vora $AB$, de manera que $\hat{A} = 90^\circ$.

• A la cantonada $C$, el sensor de nivell marca un angle interior de $\hat{C} = 130^\circ$.

1. a) Classifica la forma geomètrica de la bassa amb la màxima precisió possible (grup general, tipus i subtipus de quadrilàter), justificant cada terme a partir de les dades.
2. b) Calcula de manera raonada la mesura dels angles interiors als vèrtexs $B$ i $D$. Explica en quines propietats geomètriques et bases (paral·lelisme entre costats i suma d'angles interiors).
3. c) Un operari afirma: «Com que la vora $AB$ és paral·lela a $CD$ i l'angle a $A$ és de $90^\circ$, obligatòriament l'angle a $D$ també ha de ser de $90^\circ$». Demostra si la seva afirmació és vertadera o falsa utilitzant les propietats de les rectes paral·leles tallades per una secant.

Durant un debat a classe sobre com classificar quadrilàters a partir de les seves diagonals, Sergio afirma amb rotunditat:

1. «Qualsevol quadrilàter les dues diagonals del qual siguin perpendiculars entre si és obligatòriament un rombe».

2. «Si a més de ser perpendiculars, les dues diagonals mesuren exactament el mateix, la figura és amb total seguretat un quadrat».

La teva tasca és analitzar amb rigor geomètric totes dues afirmacions:

1. a) Demostra que la primera afirmació és falsa anomenant i descrivint un quadrilàter conegut que tingui diagonals perpendiculars però no sigui un rombe. Explica quina condició addicional han de complir les diagonals respecte al punt en què es tallen per garantir que sigui un rombe.
2. b) Demostra que la segona afirmació també és falsa descrivint com construir un quadrilàter que tingui diagonals perpendiculars i iguals però no sigui un quadrat (pensa en què passa si les diagonals no es tallen en el seu punt mitjà, com en un estel o trapezoide simètric).
3. c) Redacta, de manera clara i completa, la llista de condicions que han de complir simultàniament les diagonals d'un quadrilàter per garantir que la figura és un quadrat.