Exercicis: Circumferència i cercle

En el dibuix següent d'una circumferència de centre $O$, identifica els elements assenyalats amb lletres. Indica quin correspon al radi, quin al diàmetre i quin a la corda.

Una jugadora de bàsquet està entrenant el tir lliure. El cercle pintat a la zona té un diàmetre de $3,6$ metres. Quina és la mida del radi d'aquest cercle?

L'Àlex vol posar una tira de llums LED al voltant de la vora del seu mirall circular. Si el radi del mirall és de $40$ cm, quants centímetres de tira LED necessitarà comprar com a mínim? (Utilitza $\pi \approx 3,14$).

Una pizzeria ofereix una pizza individual de $20$ cm de diàmetre. Calcula la superfície (àrea) de la pizza per saber quant d'espai ocuparà a la caixa. (Utilitza $\pi \approx 3,14$).

Observa la posició de les rectes $r$, $s$ i $t$ respecte a la circumferència de centre $C$. Classifica cada recta com a tangent, secant o exterior.

Identifica el nom de les regions acolorides següents dins o al voltant del cercle:

• A: Regió compresa entre dos radis.

• B: Regió compresa entre dues circumferències concèntriques (com un dònut).

• C: La meitat d'un cercle.

Si una moneda de $2$ euros té un radi de $12,875$ mm, quin és el seu diàmetre? Expressa el resultat en mil·límetres.

Donada una circumferència amb centre en el punt $C$ i un radi de $5$ cm, indica si els punts següents són interiors, exteriors o estan sobre la circumferència:

• Punt $P$: està a $3$ cm de $C$.

• Punt $Q$: està a $5$ cm de $C$.

• Punt $R$: està a $7$ cm de $C$.

Per a una festa a l'institut, en Marcos vol calcular la superfície d'unes estovalles circulars que cobreixin completament una taula rodona que té un diàmetre de $120\text{ cm}$. En Marcos fa el càlcul següent a la seva llibreta:

1. a) Identifica quin error conceptual ha comès en Marcos en aplicar la fórmula de l'àrea.
2. b) Explica la relació que hi ha entre el diàmetre i el radi, i raona per què el resultat obtingut per en Marcos és exactament quatre vegades més gran del que hauria de ser.
3. c) Corregeix el càlcul i troba l'àrea real que han de tenir les estovalles (en $\text{cm}^2$, utilitzant $\pi \approx 3,14$).

El servei de parcs i jardins d'un municipi disposa d'una tanca flexible d'exactament $31,4\text{ metres}$ de longitud per acotar completament un parterre circular amb flors, sense que sobri ni falti material.

1. a) Planteja la relació matemàtica corresponent i calcula quant han de mesurar el radi i el diàmetre del parterre (utilitza $\pi \approx 3,14$).
2. b) Si al centre exacte del parterre s'hi col·loca un aspersor, a quina distància màxima de l'aspersor pot néixer una flor dins del recinte?
3. c) Raona geomètricament si seria possible traçar dins del parterre una corda recta que uneixi dos punts de la vora i que mesuri $11\text{ metres}$.

El logotip d'una nova marca de roba esportiva consisteix en una circumferència de radi $r = 5\text{ cm}$ travessada per una línia recta. Si la recta passa a una distància de $3\text{ cm}$ del centre de la circumferència, dibuixa l'esquema i respon:

1. a) Quina és la posició relativa de la recta respecte de la circumferència?
2. b) Si tracem una altra recta que passi a exactament $5\text{ cm}$ del centre, com es diria aquesta recta?
3. c) Com es diu el segment de la primera recta que queda dins de la circumferència?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una pizzeria ofereix dues ofertes per a les seves pizzes artesanals:

• Oferta A: Una pizza familiar de $40\text{ cm}$ de diàmetre.

• Oferta B: Dues pizzes mitjanes de $20\text{ cm}$ de diàmetre cadascuna.

Si totes dues ofertes costen el mateix, calcula l'àrea de superfície de pizza en cada opció (fent servir $\pi \approx 3,14$) i raona quina de les dues ofertes és més avantatjosa per al client.

Un aspersor de jardí gira descrivint un sector circular de $120^\circ$. Si el raig d'aigua arriba a una distància de $6\text{ metres}$, calcula:

1. a) La longitud de l'arc de gespa que es mulla a la vora exterior.
2. b) L'àrea total de gespa que queda regada per l'aspersor.

(Utilitza $\pi \approx 3,14$ i arrodoneix a dos decimals).

En el disseny d'una finestra circular (rosetó), s'hi ha inscrit un quadrat de $8\text{ decímetres}$ de diagonal, tal com es mostra a la figura. Calcula l'àrea de la superfície del vidre (cercle) que queda per fora del quadrat (les zones ombrades en el dibuix).

La roda d'una bicicleta de muntanya té un radi total de $35\text{ cm}$. Si el ciclista recorre una distància de $1,1\text{ quilòmetres}$ en línia recta:

1. a) Quants metres recorre la bicicleta en una sola volta de roda?
2. b) Quantes voltes completes haurà donat la roda en finalitzar el recorregut?

(Dada: $1\text{ km} = 1000\text{ m}$; considera $\pi \approx 3,14$).

Observa la figura següent que representa un "spinner" circular amb un coixinet central i un anell exterior. El radi del cercle interior és de $2\text{ cm}$ i el radi del cercle exterior és de $5\text{ cm}$. Calcula l'àrea de la corona circular (la zona blavosa) que hi ha entre tots dos.

En una plaça circular, s'hi ha instal·lat una estructura amb cables. Un dels cables forma un angle inscrit de $35^\circ$ respecte a un arc de la plaça.

1. a) Calcula quant mesura l'angle central que abasta aquest mateix arc.
2. b) Si l'angle central fos de $110^\circ$, quant mesuraria qualsevol angle inscrit que abastés el mateix arc?

Un senyal de trànsit de "Prohibit el pas" té forma de cercle amb un diàmetre de $60\text{ cm}$. Al seu interior, hi ha una franja rectangular blanca de $50\text{ cm}$ de llargada i $10\text{ cm}$ d'amplada. Calcula l'àrea de la part vermella del senyal (la zona del cercle que no està ocupada pel rectangle blanc).

En una plaça es construirà una font circular de $8\text{ metres}$ de diàmetre. Es col·locarà una vorada de pedra a tot el seu contorn i s'impermeabilitzarà el terra (la superfície circular completa).

1. a) Abans d'operar amb decimals, fes una estimació mental de la longitud de la vorada aproximant $\pi \approx 3$. Raona si la mesura real serà més gran o més petita que la teva estimació.
2. b) Imagina un quadrat circumscrit a la font (els quatre costats del qual toquen la circumferència exteriorment). Quant mesura el costat d'aquest quadrat? Quin és el seu perímetre? Justifica per què el perímetre d'aquest quadrat serveix com a cota superior per a la longitud de la circumferència.
3. c) Calcula amb precisió la longitud de la vorada i l'àrea del fons de la font fent servir $\pi \approx 3,14$, i comprova si tots dos valors resulten coherents amb les deduccions que has fet en els apartats anteriors.

En el servei públic de bicicletes d'una ciutat espanyola, les rodes dels vehicles tenen un radi de $30\text{ cm}$. Un usuari fa un trajecte en línia recta pel carril bici des d'una estació fins a una altra, recorrent una distància total de $1\,130,4\text{ metres}$.

1. a) Modela la situació calculant quants metres avança la bicicleta cada vegada que la roda fa una volta completa sobre el paviment (utilitza $\pi \approx 3,14$).
2. b) Determina quantes voltes completes haurà fet cada roda en finalitzar tot el trajecte.
3. c) Durant una revisió, un operari anota que ha canviat un radi de la roda de $30\text{ cm}$ i un reforç metàl·lic recte (corda) que uneix dos punts de la vora exterior de la llanda i mesura $65\text{ cm}$. Recolzant-te en la definició de corda i diàmetre, explica per què la mesura d'aquest reforç és físicament impossible en aquesta roda.

En el disseny d'un nou logotip per a una empresa de tecnologia, s'ha dibuixat un quadrat de costat $L = 10 \text{ cm}$. En cadascun dels seus vértexs s'ha traçat un arc de circumferència amb radi igual a la meitat del costat del quadrat ($5 \text{ cm}$), de manera que els quatre arcs es toquen en els punts mitjans dels costats. Calcula l'àrea de la regió ombrada que queda al centre del quadrat (la zona que no pertany a cap dels quatre sectors circulars).

Un enginyer està dissenyant una peça mecànica que consisteix en un disc metàl·lic de radi $R = 12 \text{ cm}$. Per alleugerir la peça, ha de fer un tall recte (una corda) que es trobi a una distància exacta de $7,2 \text{ cm}$ del centre del disc. Utilitzant el teorema de Pitàgores, determina quina serà la longitud total d'aquest tall (la corda) per poder programar la màquina de tall.

En un parc d'atraccions, una sínia té un radi de $15 \text{ metres}$. Un sensor detecta que una de les cabines ha recorregut un arc de circumferència la longitud del qual és de $23,55 \text{ metres}$. Quin angle, expressat en graus sexagesimals, ha girat la sínia des que la cabina estava en el punt més baix? Considera el valor de $\pi \approx 3,14$.

Una polsera circular d'argent té un diàmetre exterior de $8 \text{ cm}$ i interior de $7 \text{ cm}$. Si volem banyar en or només la part superior de la polsera (un sector de la corona circular que abasta un angle de $120^\circ$), quina és l'àrea de la superfície que serà banyada en or? Arrodoneix el resultat a dos decimals.

Observa un rellotge de paret a les $10:00$ del matí. Les agulles (minutera i horària) formen un angle central. Si tracem una corda que uneixi els extrems de totes dues agulles, suposant que totes dues mesuren $10 \text{ cm}$, quina és la mida d'aquesta corda? (Pista: analitza el tipus de triangle que es forma entre el centre del rellotge i els nombres 10 i 12).

Al centre d'una rotonda circular de radi $R = 10\text{ metres}$ hi ha un estany també circular de radi $r = 6\text{ metres}$. La franja restant entre l'estany i la vora de la rotonda (una corona circular) es cobrirà amb gespa artificial. Per calcular la superfície de gespa, tres integrants de l'equip tècnic proposen mètodes diferents:

• Mètode de la Clara: Calcula l'àrea de tota la rotonda ($A_1 = 3,14 \cdot 10^2$), l'àrea de l'estany ($A_2 = 3,14 \cdot 6^2$) i resta els dos resultats: $A_1 - A_2$.

• Mètode d'en Bruno: Resta directament els radis ($10 - 6 = 4\text{ metres}$) i calcula l'àrea d'un cercle amb aquest radi resultant: $A = 3,14 \cdot 4^2$.

• Mètode de la Sara: Treu factor comú a $\pi$ aplicant la propietat distributiva: $A = \pi \cdot (10^2 - 6^2) = 3,14 \cdot (100 - 36)$.

1. a) Explica quin dels mètodes és erroni i demostra geomètricament per què restar els radis abans de calcular l'àrea condueix a un resultat fals.
2. b) Compara els dos mètodes vàlids i justifica quin és més recomanable per cometre menys errors d'arrodiment i estalviar passos de càlcul.
3. c) Si l'estany s'ampliés a un radi de $8\text{ metres}$ mantenint el radi exterior de la rotonda en $10\text{ metres}$, aplica el mètode que has seleccionat com a òptim per calcular la nova àrea de gespa necessària.

Una empresa pública d'aigües necessita substituir dues canonades de desguàs idèntiques, cadascuna de secció circular amb un diàmetre de $20\text{ cm}$, per una única canonada circular nova que tingui exactament la mateixa capacitat d'evacuació (és a dir, l'àrea de secció de la qual coincideixi amb la suma de les àrees de les dues canonades antigues juntes).

1. a) Un tècnic afirma: «Com que substituïm dues canonades de $20\text{ cm}$, la nova ha de tenir un diàmetre de $40\text{ cm}$ per evacuar el mateix». Demostra mitjançant el càlcul de les àrees de les seccions si l'afirmació del tècnic és correcta o incorrecta.
2. b) Raona de manera algebraica a partir de la fórmula $A = \pi \cdot r^2$ per què en duplicar el diàmetre de qualsevol cercle la seva àrea es multiplica per $4$ i no per $2$.
3. c) Planteja l'equació que relaciona l'àrea de la canonada nova amb la suma de les dues antigues i calcula quant ha de mesurar, aproximadament, el diàmetre real de la canonada substituta (arrodoneix el resultat a una xifra decimal).