Exercicis: Perímetres i àrees de polígons

Calcula el perímetre i l'àrea del rectangle de la figura, de $12$ cm de base i $7$ cm d'altura.

Calcula l'àrea del triangle de la figura, de base $10$ m i altura $6$ m.

Calcula mentalment:

1. a) El perímetre i l'àrea d'un quadrat de $9$ cm de costat.
2. b) El perímetre d'un rombe que té un costat de $6,5$ m.
3. c) L'àrea d'un rectangle de $8$ m de base i $6$ m d'altura.

Una tanca publicitària amb forma triangular té una base de $4$ m i una altura de $3$ m.

1. a) Quina és la seva àrea?
2. b) Si el cartell s'imprimeix per les dues cares, quina superfície total s'ha d'imprimir?

La Lucía vol calcular l'àrea d'un romboide de cartolina per a un projecte de Plàstica. Mesura amb el seu regle i anota: base $b = 12\text{ cm}$, costat inclinat $c = 7\text{ cm}$ i alçària perpendicular a la base $h = 5\text{ cm}$. En el seu quadern escriu:

«$A = b \cdot c = 12 \cdot 7 = 84\text{ cm}^2$».

1. a) Explica amb claredat quin és l'error comès per la Lucía i per què geomètricament no té sentit multiplicar la base pel costat inclinat per trobar la superfície.
2. b) Calcula l'àrea correcta del romboide i el seu perímetre.
3. c) Quina figura geomètrica amb costats de $12\text{ cm}$ i $7\text{ cm}$ tindria una àrea d'exactament $84\text{ cm}^2$? Justifica la teva resposta.

Per fitar una zona rectangular de jocs al pati de l'institut es disposa d'un rotllo complet de cinta de abalisament de $24\text{ m}$, sense tallar ni malbaratar res (és a dir, el perímetre de la zona ha de ser exactament de $24\text{ m}$). Les dimensions dels costats han de ser nombres enters de metres.

1. a) Escriu totes les combinacions possibles de base i alçària (valors enters) que pot tenir aquest rectangle.
2. b) Calcula l'àrea de cadascun dels rectangles obtinguts en l'apartat anterior.
3. c) Si l'objectiu és que l'alumnat disposi del màxim espai possible per jugar dins del recinte delimitat, quina de les opcions has de triar? Quin nom específic rep aquest rectangle?

Calcula l'àrea del rombe de la figura, les diagonals del qual mesuren $16$ cm i $10$ cm.

El romboide de la figura té una base de $9$ cm i una altura de $5$ cm.

1. a) Calcula la seva àrea.
2. b) Si el costat inclinat del romboide mesura $6$ cm, calcula també el seu perímetre.

Calcula l'àrea del trapezi de la figura, les bases del qual mesuren $14$ m i $8$ m i la seva altura $6$ m.

L'hexàgon regular de la figura té $6$ cm de costat i la seva apotema mesura $5,2$ cm.

1. a) Calcula el seu perímetre.
2. b) Calcula la seva àrea utilitzant la fórmula $A = \frac{P \cdot a}{2}$, on $P$ és el perímetre i $a$ l'apotema.

Una cartellera rectangular té una àrea de $48\ \text{m}^2$ i la seva base mesura $8$ m.

1. a) Quant mesura la seva altura?
2. b) Quin és el seu perímetre?
3. c) Si la cartellera tingués la mateixa àrea però forma quadrada, seria possible? Raona la teva resposta.

Un camp de futbol mesura $105$ m de llargada i $68$ m d'amplada.

1. a) Calcula la seva àrea en $\text{m}^2$.
2. b) Expressa l'àrea en hectàrees. Recorda que $1\ \text{ha} = 10.000\ \text{m}^2$.
3. c) Quants camps de futbol com aquest hi cabrien, aproximadament, en un parc natural de $1\ \text{km}^2$?

El vas d'una piscina infantil en un poliesportiu municipal té forma de trapezi isòsceles. La base major fa $14,8\text{ m}$, la base menor fa $9,2\text{ m}$ i la distància perpendicular entre totes dues bases (l'alçària) és de $6,1\text{ m}$. L'ajuntament encarregarà una lona protectora a mida per tapar-la a l'hivern.

1. a) Abans d'operar amb decimals, arrodoneix les tres mesures al metre més proper i fes una estimació mental de l'àrea de la lona. Escriu l'operació que has pensat i el resultat estimat.
2. b) Calcula l'àrea exacta que ha de tenir la lona a partir de les mesures reals del trapezi.
3. c) Comprova si la teva estimació ha estat raonable calculant la diferència entre l'àrea exacta i l'estimada. Si la lona costa $8,50\text{ €/m}^2$, quants euros de diferència hauria suposat pressupostar la compra amb l'estimació en lloc de fer-ho amb la dada exacta?

Una associació veïnal de València condicionarà una placeta que té forma d'hexàgon regular de $6\text{ m}$ de costat. Els plànols del consistori indiquen que l'apotema d'aquest polígon fa $5,2\text{ m}$. El projecte consisteix a col·locar una bordura de fusta al voltant de tot el perímetre, a un preu de $4,20\text{ €}$ cada metre lineal, i cobrir tot el terra interior amb gespa rústica que costa $2,50\text{ €}$ per metre quadrat. Per a l'obra disposen d'un ajut municipal de $350\text{ €}$.

1. a) Modela la situació calculant els metres lineals de bordura que es necessiten i la superfície en metres quadrats que ocuparà la gespa.
2. b) Calcula el pressupost total que requereix l'obra (bordura més gespa).
3. c) Interpreta el resultat obtingut: arriba l'ajut municipal de $350\text{ €}$ per finançar el projecte? Si falten o sobren diners, indica la quantitat exacta.

Una urbanització vol tancar i sembrar de gespa una parcel·la rectangular de $45$ m de llargada i $28$ m d'amplada.

1. a) Quants metres de tanca fan falta si es deixa una entrada de $3$ m sense tancar?
2. b) Si la tanca costa $12,50\ \text{€}$ el metre instal·lada, quin és el pressupost per tancar la parcel·la?
3. c) La gespa es ven en rotllos de $5\ \text{m}^2$ a $18,95\ \text{€}$ el rotllo. Quants rotllos s'han de comprar i quant costaran?

L'àrea d'un trapezi és $84\ \text{m}^2$, la seva altura mesura $7$ m i la base major, $16$ m.

1. a) Substitueix les dades en la fórmula de l'àrea del trapezi, $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$, i planteja l'equació corresponent.
2. b) Resol l'equació i calcula quant mesura la base menor.
3. c) Comprova el teu resultat verificant que l'àrea dona $84\ \text{m}^2$.

Indica si les afirmacions següents són veritables o falses, raonant la teva resposta o posant un contraexemple:

1. a) Si dupliquem els costats d'un rectangle, la seva àrea també es duplica.
2. b) Un romboide i un rectangle amb la mateixa base i la mateixa altura tenen la mateixa àrea.
3. c) Un triangle té la meitat d'àrea que un rectangle amb la mateixa base i altura.
4. d) Dues figures amb el mateix perímetre tenen sempre la mateixa àrea.

Per calcular l'àrea d'un triangle de base $12$ cm i altura $7$ cm, un alumne ha fet $12 \cdot 7 = 84$ i ha respost: «l'àrea és $84\ \text{cm}^2$».

1. a) Explica quin error ha comès.
2. b) Calcula l'àrea correcta.
3. c) El mateix alumne calcula l'àrea d'un rombe de diagonals $10$ cm i $6$ cm i obté $60\ \text{cm}^2$. Torna a cometre el mateix error? Corregeix-lo.

Les diagonals d'un rombe mesuren $20$ cm i $14$ cm.

1. a) Calcula la seva àrea.
2. b) Si retallem el rombe per les dues diagonals, queda dividit en $4$ triangles rectangles iguals. Quant mesuren la base i l'altura de cadascun d'aquests triangles?
3. c) Calcula l'àrea d'un d'aquests triangles i comprova que les quatre àrees sumen l'àrea del rombe.

Es vol posar un terra nou en una terrassa rectangular de $6$ m de llargada i $4$ m d'amplada fent servir rajoles quadrades de $40$ cm de costat, sense tallar-ne cap.

1. a) Quantes rajoles hi caben al llarg i a l'ample? Quantes rajoles fan falta en total?
2. b) Les rajoles es venen en caixes de $12$ unitats a $18,95\ \text{€}$ la caixa. Quantes caixes s'han de comprar? Quant costarà el terra?
3. c) Quina és l'àrea d'una rajola, en $\text{cm}^2$? Comprova que l'àrea total de les rajoles utilitzades coincideix amb l'àrea de la terrassa (expressa totes dues en $\text{m}^2$).

Al pati d'un centre escolar es pintarà un logotip amb forma de rombe les diagonals del qual fan $D = 8\text{ m}$ i $d = 6\text{ m}$. Dos estudiants de 1r d'ESO discuteixen sobre la millor manera de calcular-ne la superfície:

• En Marcos proposa: «Dibuixem un rectangle de $8\text{ m}$ de base per $6\text{ m}$ d'alçària que tanqui el rombe. La seva àrea és $8 \cdot 6 = 48\text{ m}^2$. A les cantonades queden quatre triangles rectangles iguals de base $4\text{ m}$ i alçària $3\text{ m}$; si restem aquests quatre triangles al rectangle exterior, obtenim l'àrea del rombe».

• La Sara proposa: «Podem aplicar directament la fórmula $A = \dfrac{D \cdot d}{2}$, perquè el rombe ocupa exactament la meitat del rectangle que el conté».

1. a) Desenvolupa del tot el procediment d'en Marcos: calcula l'àrea d'un dels triangles de les cantonades, la suma dels quatre i la resta final.
2. b) Aplica el mètode directe de la Sara i comprova si tots dos resultats coincideixen.
3. c) Compara tots dos mètodes: quin resulta més eficaç en aquest problema i per què? En quins casos de figures poligonals irregulars dibuixades sobre una quadrícula resulta indispensable fer servir l'estratègia d'en Marcos (tancar en un rectangle i restar les cantonades sobrants)?

Un ramader de Salamanca disposa de $120\text{ m}$ de tanca metàl·lica per delimitar un corral de descans per a les seves ovelles i vol que tingui la màxima superfície possible. Dubta entre tres dissenys, tots amb un perímetre exacte de $120\text{ m}$:

1. Un triangle equilàter de $40\text{ m}$ de costat i l'alçària perpendicular del qual fa $34,64\text{ m}$.

2. Un quadrat de $30\text{ m}$ de costat.

3. Un hexàgon regular de $20\text{ m}$ de costat i l'apotema del qual fa $17,32\text{ m}$.

1. a) Calcula l'àrea que tanca cadascuna de les tres opcions proposades.
2. b) Compara els tres resultats: a igualtat de perímetre ($120\text{ m}$), quin dels tres polígons regulars tanca més superfície? Quina conclusió geomètrica pots deduir sobre com canvia l'àrea a mesura que augmenta el nombre de costats d'un polígon regular amb perímetre constant?
3. c) La normativa de benestar animal exigeix que el corral tingui com a mínim $1000\text{ m}^2$ per a la mida del seu ramat. En compleix alguna de les tres opcions? Si es construís un polígon regular amb molts més costats (per exemple, un decàgon regular o una figura gairebé circular amb aquests mateixos $120\text{ m}$ de tanca), creus que seria possible superar aquesta barrera dels $1000\text{ m}^2$? Raona la teva resposta a partir de la tendència observada.