Exercicis: Taules

En un institut de Madrid, es vol realitzar un estudi per saber quin és l'esport favorit dels alumnes de 1r d'ESO. Classifica les variables estadístiques següents en qualitatives o quantitatives:

• L'esport preferit (Futbol, Basquetbol, Tennis...).

• El nombre d'hores a la setmana que practiquen esport.

• La marca de les sabatilles que utilitzen.

• L'alçària en centímetres de cada alumne.

• El nombre de medalles o trofeus que tenen a casa.

La direcció d'un centre escolar vol saber si als estudiants els agrada el nou menú del menjador. Per no preguntar als 800 alumnes, han triat a l'atzar 25 alumnes de cada curs per fer-los una enquesta. Identifica els elements següents de l'estudi:

• Població: _____

• Mostra: _____

• Individu: _____

Durant el pati, hem preguntat a un grup d'amics quina és la seva fruita preferida per berenar. Els resultats han estat:

Poma, Plàtan, Pera, Poma, Poma, Pera, Plàtan, Poma, Pera, Plàtan.

Crea al teu quadern una taula de freqüències que inclogui una columna per al Recompte (utilitzant palets) i una altra per a la Freqüència Absoluta ($f_i$).

En una botiga de videojocs han anotat les vendes d'un matí:

• Acció: $12$

• Aventura: $8$

• Esports: $15$

• Estratègia: $5$

Calcula el valor de $N$ (el nombre total de dades) sumant les freqüències absolutes de totes les categories.

S'ha realitzat una enquesta sobre el nombre de mascotes que tenen 20 famílies. La freqüència absoluta de famílies que tenen "2 mascotes" és $4$. Calcula la freqüència relativa ($h_i$) d'aquest valor expressant-la en forma de fracció i en forma decimal.

En una classe de 1r d'ESO, el $20\%$ dels alumnes ve a l'institut caminant. Si la freqüència relativa a la taula és $0,25$ per als qui venen en autobús, quin percentatge d'alumnes representa aquesta última xifra?

Copia i completa les dades que falten en aquesta taula de freqüències sobre el color d'ulls d'un grup de persones. Recorda que la suma de les freqüències relatives ha de ser $1$.

Observa la taula de freqüències següent, que mostra les notes d'un examen de Matemàtiques de $20$ alumnes:

Respon a les preguntes següents:

1. Quants alumnes han tret un "Bé"?

2. Quina és la nota que es repeteix més vegades (la més freqüent)?

3. Quants alumnes han aprovat l'examen (considerant aprovat des de Suficient fins a Excel·lent)?

Álvaro ha enquestat els seus 20 companys de classe sobre el nombre de germans que tenen ($0$, $1$, $2$ o $3$). En construir la columna de freqüències acumulades ($F_i$), ha obtingut els resultats següents anotats a la seva llibreta:

• Per a 0 germans ($f_1 = 5$): escriu $F_1 = 5$.

• Per a 1 germà ($f_2 = 9$): escriu $F_2 = 1 + 9 = 10$.

• Per a 2 germans ($f_3 = 4$): escriu $F_3 = 2 + 4 = 6$.

• Per a 3 germans ($f_4 = 2$): escriu $F_4 = 3 + 2 = 5$.

En acabar, Álvaro diu preocupat: «L'última freqüència acumulada em dóna 5 en comptes de 20, així que no sé què he fet malament».

1. a) Identifica l'error conceptual d'Álvaro i explica quins valors està sumant per equivocació.
2. b) Escriu la columna de freqüències acumulades ($F_i$) calculada correctament.
3. c) Explica amb una frase completa quin significat real té el valor de $F_2$ en el context d'aquesta classe.

En una tutoria de 1r d'ESO amb $N = 40$ estudiants es fa una votació sobre el mitjà de transport principal que utilitzen per desplaçar-se a l'institut:

• Caminant: 18 alumnes.

• En autobús urbà: 12 alumnes.

• En bicicleta o patinet: 6 alumnes.

• En cotxe familiar: 4 alumnes.

1. a) Estima sense calcular:

• Observant que el total és 40, el percentatge d'estudiants que va caminant serà més gran, més petit o igual al $50\,\%$? Justifica la teva estimació amb una frase.

• El grup de cotxe familiar arribarà al $15\,\%$ del total? Raona per què.

1. b) Calcula: construeix la taula de freqüències completa amb les columnes: mitjà de transport ($x_i$), freqüència absoluta ($f_i$), freqüència relativa ($h_i$) i percentatge ($\%$).
2. c) Comprova: compara els percentatges exactes que has obtingut amb les teves estimacions de l'apartat a) i verifica les sumes de control: $\sum f_i$ i $\sum h_i$.

En un institut de Madrid es vol fer un estudi sobre els hàbits d'oci dels seus alumnes. Per això, es pregunta als $30$ estudiants de 1r ESO C sobre la seva xarxa social preferida. Identifica raonadament els elements següents de l'estudi estadístic:

• Població.

• Mostra.

• Individu.

• Tipus de variable (Qualitativa o Quantitativa).

Un grup d'amics ha anotat el nombre de vegades que han anat al cinema en els últims sis mesos. Les dades obtingudes són:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 4, 1, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 2, 0, 1$.

Organitza aquestes dades en una taula de freqüències que inclogui: el valor de la variable ($x_i$), la freqüència absoluta ($f_i$) i la freqüència absoluta acumulada ($F_i$).

S'ha fet una enquesta a $40$ adolescents sobre el seu esport preferit per practicar al poliesportiu municipal. Completa els valors que falten a la taula de freqüències següent sabent que la mida de la mostra és $N = 40$.

En una classe de música, s'ha preguntat als alumnes quants instruments saben tocar. Els resultats de la freqüència absoluta acumulada ($F_i$) són:

• $0$ instruments: $F_1 = 4$

• $1$ instrument: $F_2 = 15$

• $2$ instruments: $F_3 = 22$

• $3$ instruments: $F_4 = 25$

Calcula la freqüència absoluta ($f_i$) per a cada valor i determina quants alumnes hi ha en total a la classe. Quin percentatge d'alumnes sap tocar exactament $2$ instruments?

Un centre de reciclatge ha analitzat el contingut d'un contenidor groc. El $45\%$ dels objectes eren ampolles de plàstic, el $30\%$ eren llaunes de refresc, el $15\%$ eren briks de llet i la resta eren altres envasos metàl·lics. Si en total es van analitzar $200$ objectes, Construeix una taula de freqüències que mostri la freqüència absoluta de cada tipus de residu.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A partir del diagrama de barres següent, que representa les qualificacions obtingudes pels alumnes d'un curs en un examen de recuperació, reconstrueix la taula de freqüències completa ($x_i, f_i, h_i, \%$).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'ha realitzat un estudi sobre el nombre de germans dels alumnes d'una escola. L'investigador ha comès alguns errors en calcular les freqüències relatives. Indica quins són i corregeix-los perquè la taula sigui vàlida.

Durant una setmana, un nutricionista ha demanat a $50$ persones que anotin quantes peces de fruita mengen al dia. Les dades resumides són:

• El $20\%$ no menja cap peça.

• $15$ persones mengen $1$ peça.

• La freqüència relativa dels qui mengen $2$ peces és $0,3$.

• La resta mengen $3$ peces.

Construeix la taula de freqüències completa i respon: Quin nombre o nombres de peces de fruita són la moda d'aquest estudi?

En una prova de càlcul mental de 1r d'ESO qualificada amb puntuacions de l'1 al 5, un grup de $N = 25$ alumnes va obtenir diverses notes. La llista de notes individuals s'ha traspaperat, però es conserven aquestes pistes de l'informe estadístic:

1. La primera freqüència acumulada és $F_1 = 3$.

2. La freqüència acumulada fins a la nota 2 és $F_2 = 8$.

3. La freqüència relativa de la nota 3 és exactament $h_3 = 0,24$.

4. La freqüència acumulada fins a la nota 4 és $F_4 = 22$.

5. Tots els alumnes avaluats van obtenir una nota entre 1 i 5.

1. a) Dedueix pas a pas la freqüència absoluta ($f_i$) de cadascuna de les 5 notes possibles, indicant l'operació o propietat que utilitzes en cada cas.
2. b) Quants alumnes han aprovat la prova (nota 3 o superior)? Respon utilitzant dos procediments diferents: un sumant freqüències absolutes i un altre fent servir les freqüències acumulades.
3. c) Quin percentatge d'alumnes va obtenir la màxima nota (5)?

Seguint una iniciativa sobre consum responsable de pantalles, un grup de 1r d'ESO enquesta 50 famílies del seu barri per registrar quants dispositius de pantalla gran (ordinadors, tauletes i televisors intel·ligents, sense comptar telèfons mòbils) tenen a la seva llar. Les dades obtingudes són:

• 1 dispositiu: 6 famílies.

• 2 dispositius: 14 famílies.

• 3 dispositius: 18 famílies.

• 4 dispositius: 8 famílies.

• 5 dispositius: 4 famílies.

1. a) Modela aquestes dades elaborant una taula de freqüències completa que inclogui: nombre de dispositius ($x_i$), freqüència absoluta ($f_i$), freqüència relativa ($h_i$), percentatge ($\%$) i freqüència acumulada ($F_i$).
2. b) Es considera «equipament moderat» tenir com a màxim 3 dispositius a casa. Quina columna i valor de la taula t'indica directament quantes famílies compleixen aquesta condició sense haver de sumar fila a fila? Quin percentatge del total representen?
3. c) Si la junta municipal ofereix un programa de préstec d'ordinadors a les famílies amb 2 o menys dispositius, a quantes famílies de la mostra beneficiaria? Expressa el resultat com a fracció irreductible i com a percentatge.

En una enquesta sobre el nombre de mascotes en 50 llars d'un barri, la taula de freqüències ha quedat tacada i se n'han perdut algunes dades. La teva missió és reconstruir la taula completa utilitzant les pistes que queden:

1. El total de la mostra és $N = 50$.

2. La freqüència relativa de tenir 1 mascota és exactament $0,32$.

3. El nombre de llars amb 3 mascotes és el doble que el de llars amb 4 mascotes.

4. Només hi ha una llar amb 5 mascotes.

5. El percentatge de llars sense mascotes (0) és del $12\%$.

Completa la taula calculant la Freqüència absoluta ($f_i$), Freqüència relativa ($h_i$) i el Percentatge ($\%$) per a cada valor.

Una plataforma de streaming ha analitzat el nombre d'hores que 40 adolescents passen veient sèries durant el cap de setmana. Només ens han proporcionat la columna de les Freqüències absolutes acumulades ($F_i$):

• 1 hora: $F_1 = 6$

• 2 hores: $F_2 = 15$

• 3 hores: $h_3 = 0,25$ (Freqüència relativa, no acumulada)

• 4 hores: $F_4 = 34$

• 5 hores: $F_5 = 40$

A partir d'aquestes dades, obtén la taula de freqüències completa, incloent-hi la Freqüència absoluta ($f_i$) de cada valor, la Freqüència relativa acumulada ($H_i$) i el Percentatge ($\%$) de cadascun.

En un torneig d'esports electrònics (e-sports), es registra el nombre de victòries de 80 participants. Se sap que el diagrama de sectors que representa aquestes dades té els angles següents per a cada categoria:

• 0 victòries: $72^\circ$

• 1 victòria: $108^\circ$

• 2 victòries: $144^\circ$

• 3 victòries: La resta del cercle.

Construeix la taula de freqüències completa ($f_i$, $h_i$, $\%$) sabent que el total d'individus és $N = 80$. Quants jugadors van aconseguir el màxim nombre de victòries?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un examen de matemàtiques de 1r d'ESO té notes de l'1 al 10. El professor ens dona la informació següent sobre els resultats dels 30 alumnes:

1. El $20\%$ de la classe ha obtingut un 5.

2. Les notes 1, 2, 3 i 10 tenen una freqüència absoluta de 0.

3. Hi ha el mateix nombre d'alumnes amb un 6 que amb un 7.

4. La freqüència relativa dels que van treure un 9 és $0,1$.

5. Hi ha 4 alumnes amb un 4 i 3 alumnes amb un 8.

Calcula quants alumnes han tret un 6 i un 7, i elabora la taula de freqüències completa amb totes les columnes estudiades ($f_i, F_i, h_i, H_i, \%$).

L'ajuntament ha registrat el nombre d'ocupants dels vehicles que van entrar al centre ahir. S'han detectat errors en l'informe final. Identifica quines dades són impossibles o errònies en la taula següent de 200 vehicles i corrigeix-la suposant que, a la fila de "3 persones", la dada errònia és la de la columna $f_i$ (i no les de $h_i$ ni del percentatge):

S'ha fet un estudi sobre el consum de fruita diària en una mostra de persones. Sabem que:

• $H_2$ (Freqüència relativa acumulada de consumir 2 peces) és $0,75$.

• $f_1 = 12$

• $f_0$ (0 peces) és la meitat de $f_1$.

• El total de la mostra és $N = 40$.

Calcula la freqüència absoluta de consumir 2 peces ($f_2$) i completa la taula per als valors 0, 1, 2 i 3 (sabent que 3 és el valor màxim de l'estudi).

En un control de qualitat d'una fàbrica de bombetes, es proven 120 unitats per veure quantes hores duren abans de fallar (arrodonit a milers d'hores). Les dades recollides són:

• El $35\%$ van durar 1000h.

• La freqüència absoluta de les de 2000h és 30.

• La freqüència relativa de les de 3000h és $0,15$.

• La resta de bombetes van durar 4000h.

Organitza aquestes dades en una taula de freqüències que inclogui freqüències absolutes, relatives, percentatges i freqüències acumulades. Quin percentatge de bombetes va durar 3000 hores o més?

Es pregunta a un grup d'alumnes pel nombre de llibres llegits l'últim any. No ens donen el total d'alumnes, però sabem que:

• Freqüència absoluta de 1 llibre: $f_1 = 8$.

• Freqüència relativa de 1 llibre: $h_1 = 0,16$.

• Freqüència relativa acumulada fins a 2 llibres: $H_2 = 0,5$.

• Freqüència absoluta de 3 llibres: $f_3 = 15$.

• La resta d'alumnes va llegir 4 llibres (tots van llegir almenys 1 llibre i ningú va llegir més de 4).

Primer, calcula la mida de la població ($N$). Després, completa la taula de freqüències i esbrina quants alumnes van llegir 4 llibres.

Dues classes de 1r d'ESO competeixen en una campanya escolar de reciclatge d'envasos durant una setmana:

• A 1r A hi ha 25 alumnes, i 15 d'ells han reciclat més de 5 envasos.

• A 1r B hi ha 30 alumnes, i 17 d'ells han reciclat més de 5 envasos.

Per atorgar el premi a la classe més compromesa es proposen dos criteris:

• Criteri de Sergio: «Ha de guanyar 1r B perquè la seva freqüència absoluta és més gran ($17 > 15$). Han reciclat més alumnes».

• Criteri de Laura: «No és just comparar freqüències absolutes perquè els grups no tenen la mateixa mida; hem de comparar freqüències relatives o percentatges».

1. a) Aplica tots dos mètodes: calcula la freqüència absoluta i la freqüència relativa (en percentatge) d'alumnes compromesos a cada aula. Quin grup guanya segons cada criteri?
2. b) Justifica de manera raonada quin dels dos mètodes és estadísticament vàlid per comparar dues mostres de diferent mida ($N_A \ne N_B$) i per què l'altre pot induir a conclusions errònies.
3. c) Planteja un exemple numèric amb dos grups de diferent mida ($N_1 = 20$ i $N_2 = 40$) on tots dos criteris (absolut i relatiu) coincideixin a assenyalar el mateix grup com a guanyador, i explica per què passa.

En un club de lectura juvenil s'analitza quants llibres van llegir els seus socis durant el darrer trimestre. La variable només pren valors enters del 0 al 4. A causa d'una fallada informàtica, part de l'informe s'ha esborrat, però es coneixen les relacions següents:

1. La freqüència relativa acumulada per a 2 o menys llibres és $H_2 = 0,70$ (és a dir, el $70\,\%$ dels socis va llegir com a màxim 2 llibres).

2. Exactament el $20\,\%$ dels socis va llegir 3 llibres ($h_3 = 0,20$).

3. Només 4 socis van llegir 4 llibres ($f_4 = 4$).

4. El nombre de socis que no va llegir cap llibre ($x_0 = 0$) és exactament igual al nombre de socis que va llegir 2 llibres ($x_2 = 2$).

5. El nombre de socis que va llegir 1 llibre ($x_1 = 1$) és el doble que el dels que no en van llegir cap.

1. a) A partir de les proporcions dels socis que van llegir 3 i 4 llibres, dedueix raonadament la mida total de la mostra ($N$).
2. b) Utilitzant el total $N$ i les condicions sobre 0, 1 i 2 llibres, calcula la freqüència absoluta ($f_i$) de cadascun d'aquests tres valors.
3. c) Construeix la taula de freqüències completa ($x_i$, $f_i$, $h_i$, $\%$, $F_i$) i comprova que es compleixen totes les condicions de l'enunciat i les sumes de control.