Exercicis: Representació de les dades

En una classe de $1º$ d'ESO s'ha realitzat una enquesta sobre el gènere de videojocs preferit pels alumnes. Observa el diagrama de barres següent i respon a les preguntes:

1. a) Quin és el gènere de videojocs que agrada més als estudiants (la moda)?
2. b) Quants alumnes prefereixen els jocs d'aventura?
3. c) Si sumem totes les respostes, quants alumnes han participat en l'enquesta?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un grup d'amics ha anotat quantes fruites mengen a la setmana. Han representat les dades en aquest pictograma, on cada símbol de fruita 🍎 representa $3$ peces de fruita menjada.

1. a) Quantes peces de fruita ha menjat l'Ana en total?
2. b) Qui ha menjat exactament $6$ peces de fruita?
3. c) Quantes peces de fruita més que en Luis ha menjat la Sara?

La Ximena ha preguntat als seus $20$ companys d'equip quin és el seu color de sabatilles preferit. Els resultats han estat:

Vermell, Blau, Blau, Blanc, Vermell, Blanc, Blanc, Blau, Vermell, Blanc, Blau, Blau, Blanc, Vermell, Blanc, Blanc, Blau, Blanc, Blau, Blanc.

1. a) Organitza aquestes dades en una taula de freqüències que inclogui el color i la freqüència absoluta ($f_i$).
2. b) Quina és la moda d'aquest estudi?
3. c) Dibuixa al teu quadern un diagrama de barres senzill que representi aquests resultats.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El diagrama de sectors següent representa com van a l'institut els $40$ alumnes d'un curs. Sabent que la meitat de la classe hi va caminant, un quart hi va en autobús i la resta hi va en cotxe:

1. a) Quants alumnes van caminant a l'institut?
2. b) Quants alumnes van en autobús?
3. c) Quin angle en graus correspon al sector dels alumnes que van caminant? (Recorda que el cercle complet són $360^\circ$).

La taula següent mostra la temperatura registrada al pati de l'escola durant cinc hores d'un matí d'hivern:

Hora	$8:00$	$9:00$	$10:00$	$11:00$	$12:00$
Temp. ($^\circ C$)	$4$	$6$	$9$	$12$	$11$

1. a) Representa aquestes dades mitjançant un diagrama de línies (polígon de freqüències) al teu quadern.
2. b) En quin interval d'una hora es va produir l'augment de temperatura més gran?
3. c) Quina temperatura feia a les deu del matí?

Observa aquest diagrama de barres sobre el nombre de germans dels alumnes d'una classe i completa la taula de freqüències que apareix a sota:

N.º de germans	Freqüència absoluta ($f_i$)
$0$
$1$
$2$
$3$ o més
Total

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Relaciona cada variable estadística amb el tipus de gràfic que creguis més adequat per a representar-la (pots repetir opcions):

1. Evolució de l'alçada d'un bebè mes a mes.

2. Color d'ulls dels alumnes de la teva classe.

3. Repartiment del pressupost d'un ajuntament en diferents àrees.

A) Diagrama de sectors.

B) Diagrama de barres.

C) Diagrama de línies.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una biblioteca han comptat quants llibres de cada tipus s'han deixat en préstec en un dia. Han començat a dibuixar el gràfic de barres, però falta l'última columna.

1. a) Si sabem que s'han deixat en préstec $12$ còmics, fins a quina alçada hauria d'arribar la barra de "Còmic" a l'eix vertical?
2. b) Quin és el tipus de llibre que menys s'ha deixat en préstec fins ara?
3. c) És la "Moda" el gènere de Poesia? Raona la teva resposta mirant el gràfic.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Al teu centre educatiu es publicaran a la revista escolar els resultats de tres estudis estadístics sobre l'alumnat i el seu entorn:

1) El nombre de germans que tenen els $80$ estudiants d'1r d'ESO ($0$, $1$, $2$, $3$ o més de $3$).

2) L'evolució de la temperatura mitjana mensual al vostre municipi al llarg dels $12$ mesos de l'any, a partir de registres de l'AEMET.

3) L'alçària en centímetres dels $100$ participants en les competicions escolars, organitzada en els intervals $[140, 150)$, $[150, 160)$, $[160, 170)$ i $[170, 180)$.

Per a cadascun dels tres estudis:

1. a) Identifica el tipus de variable estadística que s'analitza (qualitativa, quantitativa discreta o quantitativa contínua agrupada en intervals).
2. b) Tria de manera raonada el gràfic més adequat entre: diagrama de barres, gràfic de línies i histograma. Justifica per què descartes els altres dos en cada cas i aclareix si les barres s'han de dibuixar separades o en contacte.

La Lucía ha fet una enquesta als seus $30$ companys de classe sobre la seva activitat extraescolar preferida. Els resultats han estat: $15$ trien Esport, $9$ trien Música, $4$ trien Teatre i $2$ trien Pintura.

Per representar aquestes dades en un diagrama de sectors circular, la Lucía fa el raonament següent:

«Com que la circumferència completa té $360^\circ$ i hi ha $4$ activitats, divideixo $360^\circ : 4 = 90^\circ$. Per tant, dibuixo quatre sectors iguals de $90^\circ$ i anoto a dins de cadascun el nom d'una activitat».

1. a) Explica detalladament quin és l'error de la Lucía i per què el seu gràfic transmetria una conclusió completament falsa a qui l'observi.
2. b) Corregeix el seu procediment calculant la freqüència relativa ($h_i$) de cada activitat i l'angle exacte en graus que correspon a cada sector utilitzant la relació $\text{Angle} = h_i \cdot 360^\circ$.

En una classe de 1r d'ESO s'ha fet una votació per triar la temàtica de la festa de fi de curs. Els resultats han estat els següents: Superherois ($8$ vots), Espai ($6$ vots), Misteri ($10$ vots) i Esports ($4$ vots).

Calcula la freqüència relativa de cada opció (en forma de fracció i de nombre decimal) i representa en un diagrama de barres el nombre de vots de cada temàtica. Assegura't que l'eix vertical estigui correctament graduat i retolat.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un grup d'amics vol organitzar un viatge i han preguntat a $40$ companys sobre el seu destí preferit. Els resultats es mostren en la taula següent:

Destí	Freqüència absoluta ($f_i$)
Platja	$15$
Muntanya	$10$
Ciutat europea	$10$
Aventura (Càmping)	$5$

Per representar aquestes dades en un diagrama de sectors, calcula l'angle corresponent a cada sector circular. Recorda que la suma total dels angles ha de ser $360^\circ$.

S'ha registrat el nombre d'hores que $20$ adolescents passen fent esport a la setmana:

$2, 4, 3, 5, 2, 6, 4, 3, 3, 5, 4, 2, 6, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 3$.

Construeix la taula de freqüències absolutes i representa les dades utilitzant un polígon de freqüències. Quina tendència observes al gràfic?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A la biblioteca de l'institut volen visualitzar quants llibres s'han prestat cada dia de la setmana. Han decidit utilitzar un pictograma on cada símbol d'un "llibre" representa $5$ préstecs.

Dia	Llibres prestats
Dilluns	$20$
Dimarts	$15$
Dimecres	$25$
Dijous	$10$
Divendres	$30$

Dibuixa el pictograma corresponent al teu quadern utilitzant un símbol senzill per representar els llibres. Calcula quants símbols necessites per a cada dia.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A partir del diagrama de barres següent sobre el nombre de mascotes que tenen els alumnes d'una classe, fes el procés invers:

1. Crea la taula de freqüències (absolutes i relatives).

2. Calcula el nombre total d'alumnes que han participat en l'enquesta.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El diagrama de sectors següent representa com gestionen el seu temps lliure els alumnes d'un institut. Si sabem que l'institut té $200$ alumnes en total, esbrina quants alumnes prefereixen cada activitat basant-te en els percentatges indicats:

• Videojocs: $40\%$

• Esport: $30\%$

• Lectura: $20\%$

• Música: $10\%$

Reprodueix-lo al teu quadern calculant els graus de cada sector.

S'ha mesurat l'alçada dels jugadors d'un equip de bàsquet infantil (en $cm$). Com que les dades són molt variades, s'han agrupat en intervals:

• $[150, 160)$: $4$ jugadors

• $[160, 170)$: $7$ jugadors

• $[170, 180)$: $10$ jugadors

• $[180, 190)$: $3$ jugadors

Representa aquestes dades mitjançant un histograma. Recorda que en l'histograma, a diferència del diagrama de barres, les columnes van enganxades les unes a les altres perquè la variable és contínua.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Observa els dos gràfics següents. Representen les vendes d'una botiga de vambes en dos mesos diferents.

1. a) Quin dels dos gràfics pot induir a error o donar una impressió falsa que les vendes han crescut moltíssim?

1. b) Fixa't en l'eix vertical. Comencen els dos en el zero? Explica per què és important que els eixos estadístics no estiguin "truncats".

En una enquesta sobre el mitjà de desplaçament habitual dels $120$ treballadors d'una empresa s'han obtingut les dades següents: $60$ van en autobús, $30$ es desplacen en bicicleta, $20$ van a peu i $10$ utilitzen patinet elèctric. Has de representar aquesta informació en un diagrama de sectors.

1. a) Estima abans de calcular: sense fer operacions amb decimals ni fer servir el transportador, raona quina fracció simple del cercle complet ($1/2$, $1/4$, etc.) representarà el sector de l'autobús i quants graus mesurarà; anticipa si l'angle del patinet elèctric serà més gran o més petit que un angle recte ($90^\circ$) i com serà comparat amb l'angle dels qui van a peu.
2. b) Calcula i comprova: troba la freqüència relativa de cada transport i calcula amb precisió matemàtica els graus de cadascun dels quatre sectors. Compara els resultats amb les teves estimacions prèvies i comprova si la suma total dels angles coincideix exactament amb una volta completa.

La responsable de la biblioteca municipal ha elaborat un informe sobre els $80$ llibres prestats durant una setmana cultural repartits en quatre gèneres literaris: Novel·la juvenil, Còmic, Poesia i Teatre. Per una distracció s'han esborrat algunes xifres, però es conserven aquestes dades dels seus gràfics:

• En el diagrama de sectors, l'angle de Novel·la juvenil mesura $162^\circ$, el de Còmic mesura $108^\circ$ i el de Poesia mesura $54^\circ$.

• En el pictograma elaborat per al panell informatiu, la Novel·la juvenil està representada mitjançant $9$ icones iguals d'un llibre obert.

1. a) Calcula l'angle en graus que correspon al sector de Teatre i determina la freqüència absoluta de llibres prestats de cadascun dels quatre gèneres.
2. b) Dedueix quants llibres prestats representa cada icona del pictograma (la clau del pictograma) i calcula quantes icones completes caldrà dibuixar per representar la categoria de Còmic i la de Teatre.

En una enquesta realitzada als $120$ alumnes de 1r d'ESO sobre la seva plataforma de streaming preferida, s'han obtingut els resultats següents: el $40\%$ prefereix Netflix, $30$ alumnes trien Disney+, la freqüència relativa d'HBO és $0,15$ i la resta es decanta per Twitch.

Calcula la freqüència absoluta de cada categoria i elabora un diagrama de sectors. Per fer-ho, has d'indicar l'angle exacte en graus de cada sector circular utilitzant la fórmula: $Ángulo = \frac{f_i}{N} \cdot 360^\circ$.

Un grup de científics està mesurant el creixement d'una planta sota una nova llum LED. Durant 6 setmanes, l'alçada en centímetres ha seguit aquesta progressió: $2, 5, 9, 14, 20, 27$ (a la setmana 1 la planta mesura $2 \text{ cm}$).

Representa aquestes dades en un diagrama de línies. Posteriorment, afegeix una segona línia (en un altre estil o color) que representi l'"alçada ideal" si la planta creixés exactament $4 \text{ cm}$ per setmana (començant des dels $2 \text{ cm}$ inicials de la setmana 1).

En quina setmana la diferència entre l'alçada real i la ideal és més gran?

Una empresa de videojocs ha registrat quantes hores juguen els seus usuaris al dia. Les dades s'han agrupat en els intervals següents: $[0, 2)$, $[2, 4)$, $[4, 6)$ i $[6, 8)$. Les freqüències absolutes són $25, 40, 15$ i $10$ respectivament.

1. a) Dibuixa l'histograma corresponent.

1. b) A continuació, traça el polígon de freqüències unint els punts mitjans de la part superior de cada barra.

1. c) Si el límit saludable recomanat és de menys de $4$ hores, quin percentatge d'usuaris juga per sobre del recomanat? Arrodoneix a les dècimes.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un refugi d'animals han comptat quants sacs de menjar consumeixen al mes. Han utilitzat aquest pictograma on cada dibuix d'un "os" $\square$ representa $15 \text{ kg}$ de menjar.

• Gener: $\square \square \square \square$

• Febrer: $\square \square \square$

• Març: $\square \square \square \square \square$

Sabent que el refugi té $30$ gossos i que cada gos hauria de menjar $0,75 \text{ kg}$ al dia, construeix una taula de freqüències amb els quilos consumits cada mes i explica si en algun mes els gossos han menjat menys del que necessiten (assumeix que tots els mesos tenen 30 dies).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'ha realitzat un estudi sobre el nombre de germans dels alumnes d'una classe. El diagrama de barres de freqüències relatives mostra que:

• El $20\%$ no té germans.

• El $50\%$ té 1 germà.

• El $25\%$ té 2 germans.

• La resta té 3 germans.

Si a la classe hi ha un total de $40$ alumnes, construeix la taula de freqüències absolutes i dibuixa el diagrama de barres de freqüències absolutes. Quina alçada assoliria la barra d'"1 germà" al gràfic de freqüències absolutes?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A continuació es mostra un diagrama de sectors dels resultats d'una votació per triar el color de la samarreta de graduació (Blau, Vermell, Verd). El sector Blau mesura $144^\circ$ i el sector Vermell mesura $108^\circ$.

1. Calcula l'angle del sector Verd.

2. Si sabem que $30$ persones van votar pel color Vermell, quantes persones van participar en total en la votació?

3. Calcula les freqüències absolutes dels altres dos colors i representa els resultats finals en un diagrama de barres.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un youtuber analitza les visites del seu últim vídeo. En les primeres 4 hores, les visites acumulades van ser:

• Hora 1: $150$ visites.

• Hora 2: $400$ visites (en total).

• Hora 3: $750$ visites (en total).

• Hora 4: $900$ visites (en total).

Construeix una taula que diferenciï entre la freqüència absoluta (visites noves cada hora) i la freqüència acumulada. Representa les visites noves de cada hora en un diagrama de barres. En quina hora hi va haver més èxit de captació de nous espectadors?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Compara els dos grups de dades següents sobre la temperatura mitjana ($^\circ\text{C}$) registrada al migdia durant una setmana (de dilluns a diumenge, en aquest ordre) en dues ciutats diferents:

• Ciutat A: $12, 14, 15, 12, 11, 13, 14$

• Ciutat B: $18, 17, 19, 18, 20, 19, 18$

Representa les dues ciutats en un mateix diagrama de línies (fes servir dos colors o estils de línia diferents). Calcula la temperatura mitjana de cada ciutat i dibuixa una línia horitzontal de punts que representi la mitjana de la Ciutat B. Quina de les dues ciutats presenta temperatures més estables (menor rang)?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un consorci comarcal de transports analitza la durada dels trajectes d'una línia d'autobusos interurbans en hora punta. Després de registrar els temps de $400$ viatges, agrupa les dades en els intervals següents en minuts: $[10, 20)$, $[20, 30)$, $[30, 40)$ i $[40, 50)$. Es disposa de la informació següent:

• El $45\%$ dels viatges va durar entre $10$ i menys de $20$ minuts.

• En el tram de $[20, 30)$ minuts es van comptabilitzar exactament $120$ viatges.

• La freqüència relativa dels viatges de l'interval $[30, 40)$ va ser de $0,15$.

• La resta dels viatges es va situar en el tram de $[40, 50)$ minuts.

1. a) Elabora la taula de freqüències completa indicant per a cada interval: freqüència absoluta ($f_i$), freqüència relativa ($h_i$) i percentatge.
2. b) Justifica per què per representar aquestes dades és obligatori utilitzar un histograma i no un diagrama de barres convencional. Explica quin significat té el fet que els rectangles de l'histograma comparteixin els seus costats verticals.
3. c) El consorci considera que la línia és «eficient» si almenys el $70\%$ dels viatges dura menys de mitja hora ($< 30$ minuts). Determina si es compleix aquest criteri d'eficiència i calcula quants graus ocuparia aquest grup agrupat («Menys de $30$ minuts») si es representés en un diagrama de sectors resum enfront del grup de «$30$ minuts o més».

Tres estudiants d'1r d'ESO preparen un mural divulgatiu amb dades de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) sobre l'oci juvenil i defensen tres propostes gràfiques diferents:

• Proposta d'en Mateo: Per mostrar l'evolució any a any del percentatge de joves lectors digitals entre 2015 i 2024 ($10$ anys consecutius), proposa fer servir un diagrama de sectors amb $10$ parts circulars.

• Proposta de la Sofía: Per representar el temps diari dedicat a la lectura personal, agrupat en els intervals $[0, 15)$, $[15, 30)$, $[30, 45)$ i $[45, 60)$ minuts, proposa un diagrama de barres amb una separació visible entre barra i barra.

• Proposta de l'Alejandro: Per representar el nombre de llibres llegits a l'any per estudiant ($0$, $1$, $2$, $3$ o més de $3$), proposa traçar un gràfic de línies contínues unint els extrems superiors de cada valor.

1. a) Analitza críticament cada proposta: explica amb arguments matemàtics per què l'elecció de cada company és errònia o desaconsellada segons la naturalesa de la variable.
2. b) Indica quin és el gràfic correcte per a cadascun dels tres casos i quina regla gràfica essencial s'ha de respectar en el seu dibuix (orientació temporal en els eixos, continuïtat dels rectangles o proporcionalitat d'angles).
3. c) En l'esborrany d'un pictograma, en Mateo compara els qui llegeixen diàriament ($25\%$) enfront dels qui no llegeixen mai ($50\%$). Per al segon grup dibuixa una icona d'un llibre l'alçària del qual és el doble i l'amplària del qual també és el doble respecte a la del primer grup. Raona per què aquesta representació distorsiona visualment les dades i enganya qui observa el mural.