Exercicis: Mesures de centralització i dispersió

Les edats dels cosins de la Noa són: $8$, $10$, $12$, $10$ i $10$ anys. Calcula la mitjana de les seves edats.

Els punts que ha anotat una jugadora en els seus últims $7$ partits són: $9$, $14$, $6$, $11$, $8$, $12$ i $10$.

1. a) Ordena les dades de menor a major.
2. b) Quina és la mediana?

Els números de peu que calcen els $11$ jugadors d'un equip de futbol sala són: $38$, $39$, $40$, $39$, $41$, $39$, $40$, $42$, $39$, $38$ i $39$. Quina és la moda? Què significa aquesta dada per a l'encarregat del material esportiu?

Una aplicació del temps ha registrat aquestes temperatures mínimes (en °C) durant una setmana de gener: $2$, $-1$, $0$, $-3$, $1$, $4$ i $-2$. Calcula el recorregut de les temperatures mínimes d'aquesta setmana.

El diagrama de punts mostra els gols que ha marcat un equip en els seus últims partits.

1. a) Quants partits ha jugat l'equip?
2. b) En quants partits no va marcar cap gol?
3. c) Quina és la moda del nombre de gols? Hi ha una sola moda?
4. d) Quin és el recorregut?

En un torneig d'escacs escolar, l'Álex ha aconseguit aquests punts en les $5$ rondes: $3$, $5$, $4$, $5$ i $3$. Calcula la seva mitjana de punts per ronda.

La taula mostra el nombre de llibres que han llegit aquest trimestre els alumnes d'una classe:

1. a) Quina és la moda del nombre de llibres llegits?
2. b) Quants alumnes hi ha a la classe?
3. c) Quants alumnes han llegit més de $1$ llibre?

Els temps (en segons) de $6$ nedadors en una prova de $25$ metres són: $31$, $28$, $35$, $29$, $33$ i $30$. Calcularem la seva mediana pas a pas:

1. a) Ordena els temps de menor a major.
2. b) Com que hi ha un nombre parell de dades, quins són els dos valors centrals?
3. c) La mediana és la mitjana d'aquests dos valors: calcula-la.

Per calcular la mediana i el rang del nombre de llibres llegits durant l'últim any per un grup de $5$ amics ($4$, $1$, $5$, $2$ i $8$), en Marcos ha escrit el següent a la seva llibreta:

«La dada del centre de la llista tal com ens les donen és el $5$, així que la mediana és $Me = 5$. El rang és $8 - 4 = 4$, perquè he restat l'últim valor menys el primer».

1. a) Troba els dos errors comesos per en Marcos i explica amb les teves paraules per què el seu raonament no és correcte en cap dels dos casos.
2. b) Corregeix els càlculs d'en Marcos i determina els valors correctes de la mediana i del rang.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) ha registrat les següents temperatures màximes (en $^\circ\text{C}$) durant una setmana del mes d'abril a Teruel: $14$, $16$, $15$, $19$, $17$, $13$ i $18$.

1. a) Abans de fer cap operació numèrica per escrit, observa les dades i estima entre quins dos valors enters s'ha de situar la mitjana aritmètica. Creus que estarà més a prop de $14\text{ }^\circ\text{C}$ o de $17\text{ }^\circ\text{C}$? Justifica la teva estimació.
2. b) Calcula amb exactitud la mitjana aritmètica, la mediana i el rang de les temperatures màximes registrades.
3. c) Comprova si el valor exacte de la mitjana confirma la teva estimació inicial i argumenta si el resultat obtingut és raonable tenint en compte el rang de la setmana.

S'ha preguntat als $30$ alumnes d'una classe quantes vegades han anat al poliesportiu del barri en l'últim mes. Els resultats són:

1. a) Calcula la mitjana aritmètica del nombre de visites.
2. b) Quina és la moda? Què significa en aquest context?

Una botiga en línia compara els preus d'unes mateixes sabatilles en $8$ portals diferents i troba aquests valors, en euros: $42$, $38$, $45$, $39$, $50$, $36$, $41$ i $44$.

1. a) Ordena els preus de menor a major.
2. b) Calcula la mediana dels preus. Recorda que amb un nombre parell de dades hi ha dos valors centrals.
3. c) Quin és el recorregut? Interpreta'l: hi ha molta diferència de preus entre portals?

En un campionat escolar de punteria amb pilota, cada participant llança $10$ vegades i s'anoten els encerts. La taula recull els resultats de tots els participants:

1. a) Quants participants hi va haver en total?
2. b) Quina és la moda del nombre d'encerts?
3. c) Calcula el recorregut de la distribució.
4. d) Calcula la mitjana d'encerts per participant, arrodonint a les dècimes.

El gràfic mostra les temperatures màximes registrades en una ciutat durant una setmana de primavera.

1. a) Calcula la mitjana de les temperatures màximes de la setmana, arrodonint a les dècimes.
2. b) Calcula el recorregut tèrmic de la setmana (diferència entre la màxima i la mínima).
3. c) Quin dia de la setmana es va allunyar més de la mitjana? Justifica la teva resposta.

El diagrama de barres mostra les notes de l'últim examen de matemàtiques d'una classe.

1. a) Quants alumnes van fer l'examen?
2. b) Quina és la moda de les notes?
3. c) Calcula la mediana de les notes.
4. d) Calcula la mitjana aritmètica, arrodonint a les centèsimes. Aprova la classe «de mitjana»?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una assignatura, la nota de l'avaluació es calcula així: la mitjana dels tres treballs val un $40\%$ de la nota final i l'examen val un $60\%$. Els treballs de l'Iker han sigut $7$, $8$ i $6$, i en l'examen ha tret un $7,5$.

1. a) Calcula la mitjana dels tres treballs.
2. b) Calcula la seva nota final de l'avaluació aplicant els percentatges.
3. c) Hauria aprovat si l'examen comptés un $50\%$ i els treballs l'altre $50\%$? Comprova-ho.

Les edats dels $6$ membres d'una colla són: $11$, $12$, $11$, $13$, $12$ i $12$ anys.

1. a) Calcula la mitjana i la mediana de les edats.
2. b) El germà gran d'un d'ells, que té $24$ anys, comença a quedar amb la colla. Calcula la nova mitjana i la nova mediana.
3. c) Quina de les dues mesures ha canviat més? Quina descriu millor l'«edat típica» del grup després del canvi? Raona la teva resposta.

S'ha preguntat a $40$ alumnes quin és el seu tipus de pel·lícula preferida i els resultats han sigut: aventures, $12$ vots; comèdia, $12$ vots; animació, $9$ vots; ciència-ficció, $5$ vots; documental, $2$ vots.

1. a) Quina és la moda d'aquesta variable?
2. b) Té sentit calcular la mitjana o la mediana d'aquestes dades? Explica per què.
3. c) Quan una variable té dos valors amb la mateixa freqüència màxima, diem que és bimodal. És aquest el cas? Justifica la teva resposta.

En un torneig escolar de bàsquet a Zaragoza, l'equip del teu centre educatiu ha disputat $5$ partits. Es coneixen els següents paràmetres estadístics sobre les seves puntuacions:

• La mitjana aritmètica de punts és exactament $46$.

• La moda és $52$ punts (i és l'únic valor que es repeteix).

• La mediana és de $46$ punts.

• El rang de les anotacions és de $14$ punts.

1. a) Dedueix els punts exactes que va aconseguir l'equip en cadascun dels $5$ partits i escriu-los ordenats de menor a major. Explica pas a pas com has deduït cada valor a partir de les pistes estadístiques.
2. b) Si en un sisè partit l'equip anota $58$ punts, què passarà amb el rang i amb la mitjana de la temporada? Raona si augmentaran, disminuiran o es quedaran igual sense necessitat de calcular els seus nous valors numèrics.

L'àrea de medi ambient d'un municipi ha realitzat una enquesta a $20$ famílies d'un barri sobre el nombre de vegades que van al contenidor verd de vidre al llarg d'un mes. Les respostes han estat:

$1$, $4$, $2$, $3$, $2$, $1$, $5$, $2$, $3$, $4$, $2$, $6$, $3$, $2$, $1$, $2$, $4$, $3$, $2$ i $8$.

1. a) Elabora una taula de freqüències absolutes per organitzar les dades i calcula la moda, la mediana i el rang de les visites.
2. b) Utilitzant la taula de freqüències, calcula la mitjana aritmètica de visites al contenidor verd per família i interpreta el significat del resultat.
3. c) Al butlletí municipal, una regidora ha publicat: «La majoria de les famílies del barri va $8$ vegades al mes a reciclar vidre, per la qual cosa el contenidor s'omple ràpidament». Utilitza les mesures de centralització calculades per argumentar per què l'afirmació de la regidora és errònia i quin concepte estadístic ha confós amb la realitat.

Les hores de pantalla diàries de $9$ alumnes d'una classe són: $2$, $3$, $3$, $4$, $4$, $5$, $5$, $6$ i $12$.

1. a) Calcula la mitjana i la mediana d'aquestes dades.
2. b) Una de les dades és molt més gran que les altres. Quina de les dues mesures anteriors es veu més afectada per ella? Raona la teva resposta.
3. c) Si la dada de $12$ hores fos un error de l'enquesta i en realitat fossin $2$ hores, recalcula la mitjana i la mediana i explica què ha canviat.

Indica si les afirmacions següents són veritables o falses, raonant la teva resposta o posant un contraexemple:

1. a) En una enquesta sobre el color preferit d'una classe no es pot calcular ni la mitjana ni la mediana.
2. b) Si a totes les dades d'una distribució els sumem $2$, la mitjana augmenta en $2$ però el recorregut no canvia.
3. c) La moda és sempre el valor més gran de la distribució.
4. d) Per a calcular la mediana és igual que les dades estiguin desordenades.

La Martina té aquestes notes en els quatre primers controls de matemàtiques: $5,5$; $6$; $7$ i $6,5$. Només queda un control per acabar l'avaluació i ella vol que la seva mitjana sigui exactament $6,5$.

1. a) Quina nota necessita treure en l'últim control?
2. b) I si es conformés amb una mitjana de $6$?
3. c) Podria arribar a una mitjana de $7$? Justifica la teva resposta.

En una lliga de bàsquet de barri, la taula mostra els gols marcats per un equip en els partits jugats, però s'ha esborrat una freqüència:

Sabent que la mitjana de gols per partit és exactament $1,4$:

1. a) Planteja l'equació que permet trobar $x$ i resol-la.
2. b) Quants partits ha jugat l'equip en total?
3. c) Amb les dades completes, quina és la moda de la distribució?

Per a calcular la mitjana del nombre de germans de la seva classe, l'Aitana té aquesta taula:

L'Aitana fa el càlcul següent: $(0 + 1 + 2 + 3) : 4 = 1,5$ i afirma: «la mitjana és $1,5$ germans».

1. a) Explica quin error ha comès l'Aitana.
2. b) Calcula correctament la mitjana.
3. c) L'Aitana també afirma que «la mediana és $1,5$ perquè està entre el $1$ i el $2$». Té raó? Calcula la mediana ordenant les $30$ dades i comprova-ho.

Dos equips d'handbol han anotat aquests punts en els seus últims $5$ partits:

• Equip Alfa: $60$, $62$, $58$, $61$, $59$.

• Equip Beta: $45$, $80$, $52$, $70$, $53$.

1. a) Calcula la mitjana de punts de cada equip.
2. b) Calcula el recorregut de cada equip.
3. c) Si fossis l'entrenador rival, quin equip et sembli més regular? I més impredictible? Raona les teves respostes fent servir les mesures calculades.

En la cursa solidària de l'institut, els $12$ corredors de l'equip de 1r d'ESO han trigat aquests temps (en minuts) a completar el recorregut de $5$ km: $24$, $26$, $25$, $31$, $28$, $26$, $30$, $27$, $25$, $26$, $29$ i $33$.

1. a) Calcula la mitjana, la mediana, la moda i el recorregut dels temps.
2. b) L'entrenador diu que un temps és «bo» si està per sota de la mitjana de l'equip. Quants corredors han aconseguit un temps «bo»?
3. c) L'any que ve el corredor més lent promet millorar la seva marca en $5$ minuts. Si ho aconsegueix i els altres repeteixen temps, com canvien la mitjana i la mediana? Calcula-ho.

Les edats dels $5$ membres d'un club de lectura són: $10$, $14$, $15$, $21$ i $23$ anys.

1. a) Calcula la mitjana i la mediana actuals.
2. b) S'apunta un nou membre i la mediana passa a ser de $16$ anys. Quina edat té el nou membre?
3. c) En lloc d'això, si el club volgués que la mitjana pugés exactament $1$ any en incorporar-se una sisena persona, quina edat hauria de tenir aquesta?

Una empresa tecnològica emergent a Málaga compta amb una plantilla de $8$ persones els salaris mensuals bruts de les quals són: cinc programadors júnior que cobren $1250\text{ \euro}$ cadascun, dos programadors sènior que cobren $1750\text{ \euro}$ cadascun i el director executiu, que cobra $6250\text{ \euro}$. Per publicar una oferta d'ocupació, el departament de Recursos Humans debat com comunicar el sou típic i estudia dues opcions:

• Mètode A: Informar del salari mitjà (mitjana aritmètica).

• Mètode B: Informar del salari medià (mediana).

1. a) Calcula el salari mitjà, el salari medià i el rang salarial de l'empresa.
2. b) Compara tots dos mètodes i justifica quin dels dos representa de manera més justa i realista el sou d'un treballador comú en aquesta empresa. Explica quin efecte distorsionador produeix el salari del director sobre la mitjana aritmètica.
3. c) Imagina que l'empresa decideix prescindir de la mitjana i de la mediana i publicar únicament que «el rang salarial és de $5000\text{ \euro}$». Seria aquesta informació suficient perquè un candidat sàpiga quant cobrarà aproximadament? Justifica què aporta el rang i per què no substitueix les mesures de centralització.

La Federació Espanyola d'Atletisme ha de seleccionar una representant per a una competició internacional en la prova de $100\text{ m}$ tanques. S'analitzen els temps cronometrats (en segons) de dues atletes, la Sofía i l'Elena, en les seves últimes $6$ curses:

• Temps de la Sofía: $13,1$; $13,2$; $13,3$; $13,3$; $13,4$ i $13,5$.

• Temps de l'Elena: $12,6$; $12,8$; $13,1$; $13,5$; $13,8$ i $14,0$.

1. a) Calcula la mitjana aritmètica, la mediana i el rang dels temps de cadascuna de les dues atletes.
2. b) Si un analista esportiu es fixés exclusivament en la mitjana i en la mediana, podria apreciar alguna diferència entre el rendiment global de la Sofía i el de l'Elena? Explica quina informació decisiva aporta el rang en aquesta situació sobre el perfil de cada corredora.
3. c) L'equip tècnic necessita triar una atleta per a una prova per equips on s'exigeix una marca regular i sense sorpreses de desqualificació o retard, i una altra atleta per a una prova individual on només s'opta a medalla si s'aconsegueix baixar de $13\text{ s}$. Justifica, utilitzant els paràmetres estadístics calculats, quina atleta enviaries a cada prova.
4. d) Si en una setena cursa la Sofía s'ensopega amb una tanca i marca un temps atípic de $16,8\text{ s}$, raona quina de les seves mesures estadístiques (la mitjana o la mediana) patirà una variació més gran i quina es mantindrà més protegida, sense necessitat de recalcular els valors.

Repte del tema. Com influeixen les pantalles en el nostre entorn? Lideraràs una investigació estadística real per analitzar aquest hàbit a la teva comunitat.

1. Recollida de dades: Pregunta a $15$ persones (familiars o companys) quantes hores diàries dediquen al mòbil (admet decimals, ex. $1,5$ h o $2,0$ h) o recopila les temperatures màximes dels últims $15$ dies al web de l'AEMET. Identifica clarament la població, la mostra, l'individu i el tipus de variable.

2. Tabulació i càlcul: Introdueix les dades en un full de càlcul (Excel, Calc o Google Sheets). Elabora la taula de freqüències (absolutes, relatives i percentatges). Calcula les mesures de centralització (mitjana $\bar{x}$, mediana i moda) i de dispersió (rang).

3. Representació: Construeix el gràfic estadístic més adient (diagrama de barres o de línies) tenint cura dels títols, les escales i les llegendes.

4. Informe final: Redacta un breu informe amb la teva proposta: analitza si les dades són homogènies o disperses i planteja una conclusió raonada sobre l'ús saludable del temps lliure.

Es valorarà:

• Identificació correcta dels conceptes clau i elaboració precisa de la taula de freqüències.

• Càlcul exacte de les mesures de centralització i dispersió mitjançant el full de càlcul.

• Claredat i rigor en la representació gràfica digital.

• Justificació crítica de les conclusions a partir dels paràmetres obtinguts.