Exercicis: Problemes amb nombres enters

En una estació d'esquí dels Pirineus, el termòmetre marcava $-5^{\circ}C$ a les set del matí. A les dotze del migdia, la temperatura havia pujat $8^{\circ}C$, però quan va arribar la mitjanit, va baixar $6^{\circ}C$ respecte a la temperatura del migdia. Quina temperatura marcava el termòmetre al final del dia?

Un repartidor de menjar a domicili entra a l'ascensor d'un gran centre comercial a la planta del tercer soterrani, que s'indica com a planta $-3$. Primer puja $7$ plantes per lliurar una comanda i, just després, baixa $2$ plantes per recollir un altre encàrrec. En quina planta es troba el repartidor després d'aquests moviments?

A la figura pots veure les plantes de l'ascensor i el punt de partida.

La Salma té $34\ €$ a la seva guardiola. Decideix comprar-se un llibre que costa $15\ €$ i una motxilla que costa $25\ €$. Com que no té prou diners, els seus pares li diuen que els pot deure el que li falti. Quin nombre enter representa el saldo final de la Salma respecte als seus pares?

Un submarinista es troba submergit a l'oceà a una profunditat de $18$ metres sota el nivell del mar ($-18\ m$). Si ascendeix $7$ metres per observar un escull de coral i després torna a descendir $4$ metres, a quina profunditat es troba finalment? Expressa el resultat amb un nombre enter.

En un torneig de videojocs, l'equip de "Los Gamers" té un total de $-150$ punts acumulats per haver comès infraccions. Si en l'última ronda aconsegueixen una bonificació de $225$ punts, quants punts tenen ara al seu marcador?

El cim més alt d'una illa volcànica es troba a $1\ 200$ metres sobre el nivell del mar. A la mateixa illa, hi ha una cova submarina que té la base a $85$ metres sota el nivell del mar. Quina diferència d'altura hi ha entre el cim del pic i la base de la cova?

Un historiador està estudiant la vida d'un escultor de l'Antiga Grècia. Segons els registres, l'escultor va néixer l'any $495$ a.C. i va morir l'any $429$ a.C. Quants anys va viure aquest escultor?

El Pablo té un saldo de $-24\ €$ a la seva targeta de transport perquè va oblidar recarregar-la. Si entra a l'aplicació del transport i fa una recàrrega de $30\ €$, quin serà el seu nou saldo disponible per viatjar?

Per esbrinar quants anys va viure l'emperador romà Cèsar August, que va néixer l'any $63$ aC i va morir l'any $14$ dC, en Marcos fa al seu quadern l'operació següent: $63 - 14 = 49$ anys.

1. a) Explica detalladament per què el plantejament d'en Marcos és incorrecte des del punt de vista de la recta numèrica i del pas del temps.
2. b) Quin error ha comès amb els signes dels nombres enters que representen cada data històrica?
3. c) Escriu l'operació correcta amb nombres enters (indicant el signe de cada any i la resta entre ells) i calcula l'edat real a la qual va morir August.

En una estació meteorològica de l'AEMET a Molina de Aragón (Guadalajara), el termòmetre marca a les 07:00 del matí una temperatura de $-7\,^\circ\text{C}$. Al llarg del dia es registren les variacions tèrmiques següents: puja $11\,^\circ\text{C}$ fins al migdia, baixa $4\,^\circ\text{C}$ a mitja tarda i baixa uns altres $3\,^\circ\text{C}$ entrada la nit.

1. a) Abans de calcular el resultat exacte, estima de manera raonada si la temperatura final a mitjanit serà positiva, negativa o exactament $0\,^\circ\text{C}$, comparant mentalment la pujada total amb les baixades totals acumulades.
2. b) Escriu la cadena de sumes amb nombres enters, calcula pas a pas i d'esquerra a dreta la temperatura que marca el termòmetre al final del dia i comprova si la teva estimació inicial era encertada.

En una estació d'esquí del Pirineu aragonès, el termòmetre marcava a les 8:00 del matí una temperatura de $-6\,^\circ\mathrm{C}$. A les 12:00 del migdia, la temperatura havia pujat $9\,^\circ\mathrm{C}$, i a les 20:00 del vespre havia baixat $7\,^\circ\mathrm{C}$ respecte a la del migdia. Quina temperatura marcava el termòmetre al final del dia?

Un repartidor d'Amazon comença la seva jornada a la planta $3$ d'un gran centre logístic. Primer baixa $5$ plantes per recollir un paquet al soterrani, després puja $7$ plantes per lliurar-lo en una oficina i, finalment, baixa $3$ plantes més per descansar a la cafeteria. A quina planta es troba la cafeteria? Expressa el resultat amb un nombre enter.

La Marta té $45€$ al seu compte bancari. Durant el cap de setmana, realitza les operacions següents: paga una subscripció d'una plataforma de sèries per $12€$, rep un Bizum del seu pare de $20€$ i compra un llibre que li costa $15€$. Si al final de diumenge el seu banc li cobra una comissió de manteniment de $3€$, quin és el saldo final del seu compte?

Un busejador que està explorant una barrera de coral es troba a $14$ metres sota el nivell del mar. Si decideix baixar $18$ metres més per observar unes restes arqueològiques i després puja $9$ metres per apropar-se a la superfície, a quina profunditat es troba ara? Representa la situació fent servir nombres enters.

Pitàgores, el famós matemàtic i filòsof grec, va néixer l'any $570$ aC i va morir l'any $495$ aC. A quina edat va morir Pitàgores? Utilitza nombres enters (associant els anys abans de Crist amb nombres negatius) per fer el càlcul.

En un joc de taula, guanyes $15$ punts per cada resposta correcta, però perds $8$ punts per cada errada i $4$ punts per cada pregunta que deixes sense respondre. Si d'un total de $20$ preguntes n'has encertat $12$, n'has fallat $5$ i no has respost les altres, quina és la teva puntuació final?

Un científic està realitzant un experiment químic. Introdueix un compost en un congelador especial que baixa la temperatura de la mostra $4^\circ C$ cada hora. Si la mostra estava inicialment a una temperatura ambient de $18^\circ C$, quina temperatura tindrà la mostra al cap de $6$ hores? Expressa el resultat mitjançant una operació combinada de nombres enters.

El cim de l'Everest està a una altitud de $+8.848$ metres sobre el nivell del mar, mentre que el punt més profund de la fossa de les Marianes es troba a $-11.034$ metres. Quina és la distància vertical total entre el punt més alt i el punt més baix del planeta?

Un equip d'espeleologia explora un sistema d'avencs als Picos de Europa (Cantàbria). La boca d'entrada a la cova se situa a $+1.240\text{ m}$ sobre el nivell del mar. Durant l'expedició registren els trams verticals successius següents: descendeixen un avenc vertical de $180\text{ m}$, baixen per una rampa de roca uns altres $95\text{ m}$, escalen una xemeneia interior pujant $40\text{ m}$ i, finalment, descendeixen per un pou de $115\text{ m}$ fins a arribar a una sala amb un llac subterrani.

1. a) Modela l'expedició escrivint una única expressió amb nombres enters que inclogui la cota inicial i cadascun dels desplaçaments verticals amb el seu signe corresponent.
2. b) Calcula l'altitud de la sala subterrània respecte al nivell del mar fent les sumes en ordre, d'esquerra a dreta.
3. c) Quina distància vertical total separa la boca de la cova del llac subterrani?

Un muntacàrregues en un centre de distribució logística de Saragossa es desplaça entre plantes subterrànies d'emmagatzematge (nombres negatius), la zona de càrrega a nivell de carrer (planta $0$) i plantes superiors d'oficines (nombres positius). L'encarregat no recorda a quina planta va deixar el muntacàrregues a primera hora, però el registre digital mostra que va fer els moviments consecutius següents: va pujar $6$ plantes, va baixar $9$ plantes, va pujar $4$ plantes i, finalment, va baixar $5$ plantes, i va quedar aturat a la planta $-2$.

1. a) Planteja una expressió amb nombres enters on la planta d'inici aparegui representada com un buit o interrogant, i calcula de manera raonada des de quina planta va arrencar el muntacàrregues.
2. b) Comprova el teu resultat calculant pas a pas cadascuna de les plantes intermèdies per les quals va passar el muntacàrregues i determina si en algun moment del trajecte va arribar a estar a les plantes d'oficines (per sobre de la planta $0$).

Un jove emprenedor decideix obrir una botiga en línia de samarretes personalitzades. Durant el seu primer mes, registra els moviments següents en el seu compte bancari:

• Rep una inversió inicial de $1.200$ €.

• Paga el lloguer de la plataforma i publicitat: $450$ €.

• Compra materials per valor de $600$ €.

• Ven $45$ samarretes a $15$ € cadascuna.

• Li retornen $8$ samarretes defectuoses, per les quals ha de retornar els diners íntegres als clients.

• Al final del mes, el banc li cobra una comissió de $12$ €.

Calcula el balanç final del mes i explica si ha obtingut beneficis o pèrdues respecte a la seva inversió inicial.

En un laboratori científic, s'està realitzant un experiment amb una substància gasosa. La temperatura inicial de la mostra és de $12$ ºC sota zero. El procés segueix aquestes fases:

1. Durant els primers $5$ minuts, la temperatura baixa $3$ ºC cada minut.

2. Després, s'introdueix en una càmera de calor on la temperatura puja $48$ ºC en total.

3. Finalment, s'apaga la càmera i la temperatura baixa a un ritme constant de $4$ ºC cada minut fins a arribar a la temperatura de congelació de la mostra, que és de $-25$ ºC.

Quant de temps ha durat la fase final de refredament (punt 3)? Quina ha estat la temperatura màxima assolida durant tot l'experiment?

Un explorador de coves submarines comença la seva immersió des d'una plataforma situada a $4$ metres sobre el nivell del mar.

• Primer, davalla a una velocitat constant de $2$ metres per minut durant $15$ minuts.

• Després, troba un corrent ascendent que l'eleva $12$ metres.

• Finalment, baixa fins al fons de la cova, la posició de la qual respecte al nivell del mar és el triple de la posició en què es troba en aquest moment.

Prén el nivell del mar com a $0$, de manera que les posicions per sobre són positives i les que estan per sota són negatives.

En quina posició es troba el fons de la cova? Expressa el resultat com un nombre enter relatiu al nivell del mar.

En un torneig de videojocs, el sistema de puntuació funciona de la manera següent:

• Cada victòria suma $100$ punts.

• Cada derrota resta $60$ punts.

• Cada "assoliment especial" multiplica per $2$ la puntuació acumulada en aquell moment (si és positiva).

• Cada penalització divideix la puntuació acumulada entre $2$ (si és positiva).

Si un jugador comença amb $0$ punts i aconsegueix: $3$ victòries seguldes, un "assoliment especial", $2$ derrotes, una penalització i, per últim, $1$ victòria:

1. a) Escriu una única expressió amb operacions combinades que calculi la seva puntuació final.
2. b) Quin és el resultat d'aquesta puntuació?

Un repartidor de paquets utilitza un ascensor en un gran centre logístic que té plantes per sobre i per sota de terra (planta $0$). Realitza el recorregut següent:

1. Puja des de la planta $0$ fins a la planta $+12$.

2. Baixa $15$ plantes per recollir un paquet.

3. Puja $7$ plantes per lliurar-lo.

4. Baixa el doble de plantes de les que acaba de pujar.

5. Finalment, puja fins a quedar-se a la meitat del camí entre la planta on està i la planta $+8$.

A quina planta es troba el repartidor al final de la seva jornada? Quantes plantes ha recorregut en total (comptant pujades i baixades)?

La filòsofa grega Hipàtia d'Alexandria va morir l'any $415$ dC a l'edat de $45$ anys. El seu pare, Teó d'Alexandria, era un famós matemàtic que va néixer $80$ anys abans que ella morís.

1. a) En quin any va néixer Hipàtia? (Expressa-ho com a nombre enter).
2. b) En quin any va néixer el seu pare Teó?
3. c) Quina edat tenia Teó quan va néixer la seva filla?

Un dron de vigilància forestal enlaira des d'una base situada a $850$ metres d'altitud. Durant la seva patrulla, fa els moviments següents:

1. Puja $120$ metres per evitar una muntanya.

2. Descendeix $300$ metres per analitzar una àrea de vegetació baixa.

3. Es desplaça horitzontalment (sense canviar d'altitud) i després baixa uns altres $150$ metres.

4. Per una fallada tècnica, cau al fons d'un barranc que està a una altitud de $-20$ metres (sota el nivell del mar).

Calcula:

1. a) Quants metres ha descendit el dron en la seva última caiguda (pas 4)?

1. b) Si el dron fos capaç de pujar des del barranc directament fins a la base inicial, quants metres hauria d'ascendir?

El club esportiu d'un institut gestiona els seus fons per al trimestre. Disposen d'un saldo inicial de $+180$ € al compte escolar. Durant el trimestre registren aquests sis moviments: compra de material d'entrenament ($-95$ €), quotes de socis inscrits ($+140$ €), reparació de porteries ($-60$ €), ingressos per rifa benèfica ($+210$ €), pagament a col·legiats arbitrals ($-130$ €) i taxa d'inscripció en un torneig comarcal ($-80$ €).

Dos membres de la directiva proposen dos mètodes de càlcul diferents:

• Mètode 1 (cronològic): Escriure el saldo inicial i sumar o restar cada moviment un a un, en l'ordre temporal exacte en què van succeir.

• Mètode 2 (per blocs): Sumar per un costat tots els ingressos al saldo inicial, sumar per un altre costat totes les despeses en valor absolut, i finalment restar ambdues quantitats.

1. a) Aplica tots dos mètodes per separat i comprova que s'obté el mateix balanç final.
2. b) Imagina que l'entitat bancària cobra una penalització fixa de $15$ € en l'instant exacte en què el compte passa a estar en números vermells (saldo estrictament menor que $0$ €). Justifica quin mètode dels dos és imprescindible utilitzar per esbrinar si el club haurà de pagar aquesta penalització i dedueix si el club va arribar a tenir saldo negatiu en algun moment del trimestre.

Un equip d'arqueologia marina a la badia de Cadis estudia restes submergides a diferents profunditats respecte a la superfície del mar ($0\text{ m}$) i en diferents èpoques històriques:

• Restes fenícies: datades de l'any $750$ aC i situades a $-38\text{ m}$ de profunditat.

• Galera romana: datada de l'any $125$ dC i situada a $-54\text{ m}$ de profunditat.

1. a) Modela mitjançant una resta de nombres enters el temps transcorregut entre ambdós fets històrics i calcula quants anys van passar entre el naufragi fenici i el romà, justificant per què la distància en anys és sempre un valor positiu.
2. b) Un dron submarí surt de les restes fenícies, descendeix en línia recta fins a la profunditat de la galera romana per filmar-la i, tot seguit, ascendeix $21\text{ m}$ en vertical per transmetre les dades recollides. Escriu l'expressió amb nombres enters i determina a quina profunditat final queda el dron.
3. c) Raona la diferència matemàtica entre la posició final del dron respecte a la superfície del mar (magnitud amb signe) i la distància total recorreguda pel dron en les seves dues maniobres verticals (magnitud que acumula distàncies).

Repte del tema. Converteix-te en analista meteorològic! Investigaràs la variació tèrmica a Espanya utilitzant dades reals oficials de l'AEMET.

1. Recollida de dades: Entra a www.aemet.es i anota les temperatures màxima i mínima (amb un decimal, per exemple $-2,4\text{ ºC}$ i $14,8\text{ ºC}$) de quatre localitats amb altituds contrastades durant dos dies consecutius.

2. Operacions i racionals: En un full de càlcul o a la teva llibreta, calcula l'oscil·lació tèrmica de cada jornada mitjançant la resta amb signe: $\Delta T = T_{\text{máx}} - T_{\text{mín}}$. A continuació, troba la temperatura mitjana de cada municipi expressant-la primer com a nombre racional en forma de fracció i, després, com a nombre decimal amb coma.

3. Representació i conclusions: Dissenya un gràfic de barres (a GeoGebra o en full de càlcul) on es visualitzin clarament els valors positius i negatius sobre l'eix. Redacta un informe breu justificant quina localitat va experimentar el canvi tèrmic més extrem i resolent com influeixen les temperatures sota zero en el càlcul de les variacions.

Es valorarà:

• Correcció tècnica en les operacions amb nombres enters i decimals amb signe.

• Ús adequat dels nombres racionals (fracció i expressió decimal).

• Qualitat i claredat en la representació gràfica de les dades.

• Coherència i rigor matemàtic en les conclusions de l'informe.