Exercicis: Operacions amb nombres enters

En una estació d'esquí dels Pirineus aragonesos, el termòmetre marcava $-4$ ºC a les set del matí. Si al migdia la temperatura ha pujat $9$ ºC, quina temperatura marca el termòmetre ara? Expressa l'operació utilitzant nombres enters.

Calcula les sumes i restes senzilles de nombres enters següents:

1. a) $(+7) + (+5) =$
2. b) $(-8) + (-3) =$
3. c) $(+9) + (-4) =$
4. d) $(-6) + (+10) =$

La Nadia té $25$ € al seu compte bancari. Si el banc li cobra un rebut d'internet de $30$ €, quin serà el seu nou saldo? Expressa el resultat com un nombre enter.

Utilitza la regla dels signes per resoldre aquestes multiplicacions i divisions:

1. a) $(+4) \cdot (-3) =$
2. b) $(-5) \cdot (-2) =$
3. c) $(-20) : (+5) =$
4. d) $(-18) : (-3) =$

Un submarinista està a una profunditat de $-15$ metres respecte al nivell del mar. Si decideix baixar $12$ metres més, a quina profunditat es trobarà ara? Fes el dibuix a la recta numèrica vertical.

Resol les operacions següents eliminant primer els parèntesis:

1. a) $12 + (-5) =$
2. b) $8 - (+10) =$
3. c) $(-3) - (-7) =$
4. d) $(-5) + (+5) =$

Calcula el resultat d'aquestes operacions combinades senzilles, respectant la jerarquia (recorda: primer multiplicacions i divisions, després sumes i restes):

1. a) $5 + 2 \cdot (-3) =$
2. b) $(-10) : 2 + 8 =$
3. c) $4 \cdot 3 - 15 =$

Ets a la planta $2$ d'un centre comercial. Puges $3$ pisos per anar a la zona de restauració i després baixes $6$ pisos per arribar al pòrquing. A quina planta es troba el pòrquing? Indica cada moviment amb un nombre enter.

En Marcos ha resolt dos exercicis a la seva llibreta i ha comès errors molt habituals amb els nombres enters:

• Exercici 1: Ha escrit $(-7) + (-4) = +11$, justificant que «menys per menys és més».

• Exercici 2: Ha escrit $-5^2 = 25$, raonant que «qualsevol nombre elevat al quadrat dóna positiu».

1. a) Explica raonadament a en Marcos quin error de concepte ha comès a l'Exercici 1, aclarint la diferència entre sumar enters del mateix signe i multiplicar nombres enters. Escriu la solució correcta.
2. b) Explica a en Marcos per què $-5^2$ no dóna el mateix resultat que $(-5)^2$ a partir del significat de la base d'una potència i la jerarquia de les operacions. Escriu el valor correcte d'ambdues expressions.

A l'observatori meteorològic de Molina de Aragón (Guadalajara), l'AEMET va registrar a les 7:00 una temperatura de $-7$ ºC. Al llarg del dia es van registrar els canvis consecutius següents:

• Una pujada de $+11$ ºC durant el matí.

• Una baixada de $6$ ºC a mitja tarda amb l'entrada de vent del nord.

• Un descens addicional de $3$ ºC durant la nit.

1. a) Abans d'operar, fes una estimació: la temperatura final en acabar la nit serà positiva (sobre zero) o negativa (sota zero)? Justifica la teva estimació comparant la pujada total amb l'efecte conjunt del fred inicial i les baixades, sense calcular encara la xifra exacta.
2. b) Planteja una única cadena de sumes i restes amb nombres enters per trobar la temperatura exacta al final de la nit i comprova si la teva estimació era correcta.

Calcula el resultat de les operacions combinades següents, parant especial atenció a la jerarquia de les operacions i a la regla dels signes:

1. a) $15 - (8 - 12) + (-5) \cdot 2$

1. b) $(-3) \cdot [(-2) + (-4) \cdot (-3)]$

1. c) $24 : (-4) - (-6) : (+3)$

1. d) $(-10) + (-2) \cdot (-5) + (-20) : 5$

Una estació meteorològica als Pirineus va registrar els canvis de temperatura següents al llarg d'una jornada d'hivern:

1. A les 8:00 h, la temperatura era de $-5\ ^\circ C$.

2. A les 12:00 h, havia pujat $8\ ^\circ C$.

3. A les 18:00 h, va baixar $4\ ^\circ C$ respecte a la mesura anterior.

4. A les 22:00 h, va tornar a baixar $6\ ^\circ C$ més.

Escriu una única expressió matemàtica amb nombres enters que reflecteixi tots aquests canvis i calcula la temperatura final quan acabi el dia.

Aplica la propietat distributiva per calcular de la manera més senzilla possible aquestes expressions (extreu factor comú quan sigui necessari):

1. a) $(-7) \cdot (+12) + (-7) \cdot (-2)$

1. b) $15 \cdot (-4) - 15 \cdot (+6)$

1. c) $(-10) \cdot (-3) + (-10) \cdot (+13)$

Un dron d'inspecció parteix d'una altura de $15$ metres sobre el nivell d'un pont. Fa els moviments que s'indiquen al gràfic (pujades en taronja, baixades en vermell):

Calcula mitjançant una suma de nombres enters la posició final del dron respecte al pont. Es troba per sobre o per sota del pont?

En l'extracte del compte bancari d'una botiga de còmics apareixen els moviments següents:

• Saldo inicial: $+450\ €$

• Pagament a proveïdor: $-620\ €$

• Venda de figures de col·lecció: $+185\ €$

• Devolució d'un article defectuós: $-45\ €$

• Ingrés per subscripcions: $+110\ €$

Calcula el saldo final del compte. Si el banc cobra una comissió de $15\ €$ si el compte es queda en nombres negatius (saldo menor que 0), l'haurà de pagar el propietari de la botiga?

Troba el nombre enter que compleix simultàniament aquestes tres condicions:

1. El seu valor absolut és més gran que $5$ i més petit que $10$.

2. En multiplicar-ho per $-3$, el resultat és un nombre positiu.

3. Si li sumes el seu oposat, el resultat és $0$.

Hi ha més d'una solució possible? Justifica la teva resposta.

Resol les operacions combinades següents amb claudàtors. Recorda fer primer el que hi ha a l'interior dels parèntesis:

1. a) $18 - [ 2 + (-5) - (4 - 7) ]$

1. b) $[ (-6) \cdot 2 - (-10) ] : (-2)$

1. c) $30 : [ (-4) + (-2) \cdot (-3) ]$

1. d) $(-5) \cdot [ 8 - (12 : (-3)) ]$

Un equip d'investigació marina utilitza un sonar per mesurar la distància entre un helicòpter de rescat i un submarí que està realitzant proves de profunditat.

Si l'helicòpter està a una alçada de $+120$ metres i el submarí a una profunditat de $-85$ metres:

1. a) Quina és la distància vertical total que els separa?
2. b) Si el submarí puja $25$ metres i l'helicòpter baixa $30$ metres, quina serà la nova distància entre ells? Expressa-ho usant operacions amb nombres enters.

L'aparcament subterrani d'una estació de tren a Madrid té $5$ plantes sota el nivell del carrer (de $-1$ a $-5$) i l'edifici d'oficines superior compta amb $6$ plantes en superfície (de $+1$ a $+6$). El nivell del carrer és la planta $0$.

Un empleat de manteniment comença la seva jornada al carrer i realitza aquests desplaçaments consecutius:

1. Baixa a la planta $-4$ per revisar els comptadors.

2. Puja $5$ plantes per deixar material a oficines.

3. Es desplaça un nombre de plantes igual a l'oposat de $+3$.

4. Finalment, puja el doble del nombre de plantes que va descendir en el pas anterior.

1. a) Modela tot el recorregut mitjançant una única operació combinada de nombres enters que determini la planta final de l'empleat.
2. b) Resol l'expressió pas a pas i indica a quina planta acaba i si es troba sobre o sota la superfície.
3. c) Si des de la seva posició final ha d'anar a la sala de calderes a la planta $-5$, calcula la variació de plantes mitjançant una resta d'enters en la forma: $\text{planta destí} - \text{planta origen}$, i interpreta el signe del resultat obtingut.

Per obrir una caixa misteriosa en un taller de matemàtiques, has de resoldre dos reptes encadenats utilitzant exclusivament els nombres enters $-6$, $+4$, $-2$ i $+3$:

• Repte 1: Utilitza els quatre nombres exactament una vegada cadascun, juntament amb les operacions que triïs ($+$, $-$, $\cdot$, $:$) i els parèntesis que necessitis, per formar una expressió combinada el resultat de la qual sigui exactament igual a $-12$. Escriu l'expressió completa i comprova el seu resultat pas a pas.

• Repte 2: Sense provar combinacions a l'atzar, raona si és possible multiplicar tres qualssevol d'aquests quatre nombres i sumar el quart per obtenir un resultat estrictament positiu. Justifica la teva resposta utilitzant la regla dels signes de la multiplicació i escriu, si és possible, una combinació que ho compleixi amb el seu càlcul.

Col·loca els parèntesis i els claudàtors necessaris a l'expressió següent perquè el resultat final sigui exactament igual a $-5$:

$-15 + 3 \cdot -4 - 12 : -6 + 1$

Un equip d'espeleologia està explorant un avenc profund. Comencen a l'entrada (nivell $0$ metres). Fan els moviments següents de manera consecutiva:

1. Baixen $45$ metres.

2. Pugen $12$ metres per instal·lar un campament base.

3. Baixen el triple del que acaben de pujar.

4. Finalment, baixen $18$ metres més fins al fons.

Escriu una única expressió amb nombres enters que reflecteixi tot el procés i calcula a quina profunditat es troba el fons de l'avenc.

Calcula el valor de l'expressió combinada següent pas a pas, respectant escrupulosament la jerarquia de les operacions:

$(-2)^4 + \sqrt{25} \cdot (-3) - [(-8 + 10)^3 : (-2^2)]$

Nota: Para atenció a la diferència entre $(-2)^2$ i $-2^2$.

En un videojoc d'estratègia, un jugador comença amb $500$ punts d'honor. Les regles són:

• Per cada batalla guanyada: $+120$ punts.

• Per cada batalla perduda: $-150$ punts.

• Si perd tres batalles seguides, se'l penalitza duplicant la seva puntuació negativa acumulada en aquestes tres batalles.

Si un jugador guanya $2$ batalles i després en perd $3$ de seguides, escriu l'operació combinada per calcular la seva puntuació final i resol-la.

Troba el nombre enter desconegut $x$ en cadascuna de les igualtats següents:

1. a) $x \cdot (-4 + 9) = -25$

1. b) $(-30) : x + (-12) = -18$

1. c) $2 \cdot |x| = 14$ (Busca totes les solucions possibles per a $x$).

Es diu que un "trio d'enters" és equilibrat si la suma dels dos primers multiplicada pel tercer dóna com a resultat $-24$.

Determina quins dels trios següents són equilibrats realitzant les operacions corresponents:

1. a) $(+5, -8, +8)$
2. b) $(-10, +2, +3)$
3. c) $(-4, -2, +4)$

Completa el "Mur dels Enters" següent. El nombre de cada casella superior ha de ser el resultat de multiplicar els dos nombres de les caselles en què es recolza.

Inventa un problema real que es resolgui mitjançant l'expressió matemàtica següent i després calcula el resultat final per donar resposta al teu problema:

$100 + 4 \cdot (-15) - 3 \cdot (10 - 4)$

Dues estudiants, la Lucía i la Marta, han de calcular el valor de la següent expressió amb nombres enters:

• La Lucía aplica la jerarquia estàndard: fa primer les dues multiplicacions per separat i després suma els resultats obtinguts.

• La Marta observa l'estructura del compte i aplica la propietat distributiva en sentit invers (treure factor comú): $C = (-15) \cdot (74 + 26)$.

1. a) Calcula el resultat seguint detalladament el mètode de la Lucía i el mètode de la Marta. Comprova que tots dos camins arriben a la mateixa solució.
2. b) Compara els dos mètodes i justifica quin d'ells és més eficient per al càlcul mental i per què redueix el risc d'equivocar-se amb els signes i les operacions intermèdies.
3. c) Dissenya tu una nova operació combinada formada per la suma o resta de tres productes de nombres enters on aplicar l'estratègia de la Marta permeti resoldre-la mentalment en pocs segons sense necessitat de fer comptes llargs en paper. Mostra la teva expressió i la seva resolució justificada.

Tres nombres enters desconeguts, $a$, $b$ i $c$, compleixen de manera simultània les tres condicions següents:

1. El seu producte és estrictament negatiu: $a \cdot b \cdot c < 0$.

2. La divisió $a : b$ és exacta i dóna com a resultat un nombre enter positiu: $a : b > 0$.

3. La suma de dos d'ells és zero: $a + c = 0$, sabent a més que $a \neq 0$.

1. a) Dedueix de manera lògica i raonada el signe (positiu o negatiu) de cadascun dels tres nombres ($a$, $b$ i $c$). Justifica cada pas basant-te en la noció de nombres oposats i en la regla dels signes de la multiplicació i la divisió.
2. b) Si se sap que $|b| = 2$ i que el producte dels tres nombres és $a \cdot b \cdot c = -72$, determina els valors numèrics exactes d'$a$, $b$ i $c$.
3. c) Amb els valors trobats a l'apartat anterior, calcula el resultat de la següent operació combinada respectant la jerarquia d'operacions i la regla dels signes: