Exercicis: El conjunt dels nombres enters

En la vida quotidiana utilitzem els nombres enters per expressar situacions oposades. Associa un nombre enter (positiu o negatiu) a cadascuna de les situacions següents:

1. a) El termòmetre del carrer marca $4$ graus sota zero.
2. b) Tens un deute de $15$ € amb un amic.
3. c) Un submarinista es troba a $20$ metres de profunditat.
4. d) Un avió vola a una alçada de $8.500$ metres.
5. e) Has guanyat $50$ punts en un nivell del teu videojoc preferit.
6. f) L'aparcament del centre comercial està al tercer soterrani.

El concepte de valor absolut representa la distància d'un nombre al zero. Calcula els valors absoluts següents:

1. a) $|-7| =$
2. b) $|+12| =$
3. c) $|-25| =$
4. d) $|0| =$
5. e) $|-1| =$
6. f) $|+100| =$

Compara les parelles de nombres enters següents utilitzant els símbols més gran que ($>$) o més petit que ($<$):

1. a) $+5$ ____ $-8$
2. b) $-3$ ____ $-1$
3. c) $0$ ____ $-5$
4. d) $-12$ ____ $-20$
5. e) $+10$ ____ $+2$
6. f) $-1$ ____ $0$

L'oposat d'un nombre enter és aquell que té el mateix valor absolut però diferent signe. Escriu l'oposat dels nombres següents:

1. a) $op(+6) =$
2. b) $op(-9) =$
3. c) $op(-15) =$
4. d) $op(+21) =$
5. e) $op(0) =$
6. f) $op(-1) =$

Ordena els nombres enters següents de menor a major, utilitzant el símbol $<$ entre ells:

$$-5, \quad +3, \quad -1, \quad 0, \quad +7, \quad -8, \quad -2$$

Donada la llista de nombres següent, classifica'ls indicant quins pertanyen al conjunt dels nombres naturals ($\mathbb{N}$) i quins són nombres enters ($\mathbb{Z}$) però no naturals:

$$ -7, \quad +5, \quad -12, \quad 0, \quad +10, \quad -1, \quad 45 $$

En una estació d'esquí s'han registrat les temperatures mínimes següents durant quatre dies. Ordena-les de menor a major utilitzant el símbol $<$:

• Dilluns: $-6$ $^\circ C$

• Dimarts: $+2$ $^\circ C$

• Dimecres: $-9$ $^\circ C$

• Dijous: $0$ $^\circ C$

Identifica les coordenades cartesianes $(x, y)$ dels punts $P$ i $Q$ representats en la quadrícula següent. Recorda que el primer nombre és l'eix horitzontal (abscisses) i el segon el vertical (ordenades).

En un examen de Matemàtiques, la Lucía ha de comparar diversos nombres enters i escriu al seu full de respostes: «Com que $12$ és més gran que $5$, aleshores $-12 > -5$, ja que tots dos tenen les mateixes xifres i conserven la mateixa relació d'ordre». A més, afirma que «el valor absolut de $-12$ és més petit que el de $-5$ perquè $-12$ està situat més a l'esquerra a la recta numèrica».

1. a) Identifica els dos errors conceptuals que ha comès la Lucía i explica amb les teves pròpies paraules per què el seu raonament és incorrecte, recolzant-te en la posició dels nombres respecte al zero.
2. b) Escriu la comparació correcta entre $-12$ i $-5$ utilitzant el símbol adequat ($>$ o $<$) i calcula el valor absolut de tots dos nombres per justificar quin dels dos valors absoluts és més gran.

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) va registrar durant una matinada d'hivern les temperatures mínimes següents en quatre observatoris d'Espanya: Molina de Aragón ($-11\ ^\circ\text{C}$), Puerto de Navacerrada ($-7\ ^\circ\text{C}$), Reinosa ($-4\ ^\circ\text{C}$) i Albacete ($+2\ ^\circ\text{C}$).

1. a) Modelitza aquesta situació ordenant les quatre localitats de menor a major temperatura, utilitzant els símbols matemàtics adequats ($<$ o $>$).
2. b) Quin observatori va registrar la temperatura amb una distància més gran respecte al punt de congelació ($0\ ^\circ\text{C}$)? Justifica la teva resposta utilitzant formalment el concepte de valor absolut.
3. c) Si representem en un pla cartesià el punt $P = (T_{\text{Albacete}}, T_{\text{Reinosa}})$, determina en quin quadrant es troba i interpreta què significa el signe de cadascuna de les seves coordenades.

Un sensor de temperatura en un laboratori de criogenia marca inicialment $12\,^{\circ}\text{C}$ (mira l'escala). A causa d'un experiment, la temperatura descendeix $18\,^{\circ}\text{C}$, després puja $5\,^{\circ}\text{C}$ i finalment torna a baixar $3\,^{\circ}\text{C}$.

1. a) Representa mitjançant nombres enters cadascun dels moviments tèrmics.

1. b) Quina és la temperatura final registrada pel sensor?

1. c) Es troba la temperatura final per damunt o per sota dels $0\,^{\circ}\text{C}$?

Un repartidor entra a l'ascensor d'un centre comercial a la planta baixa ($0$). Primer puja al magatzem a la planta $+5$, després baixa $8$ plantes per recollir mercaderia al garatge i, finalment, puja $2$ plantes per fer un lliurament.

1. a) A quina planta es troba el garatge? Expressa el resultat amb un nombre enter.
2. b) A quina planta fa el lliurament final?
3. c) Quantes plantes ha recorregut en total el repartidor durant tot el seu trajecte? (Pista: utilitza el concepte de valor absolut).

En un joc d'estratègia, un vaixell pirata es mou per un mapa de coordenades. La seva posició inicial és el punt $P(-3, 2)$.

1. a) Si el vaixell es desplaça $5$ unitats cap a la dreta, quina és la seva nova coordenada d'abscisses ($x$)?

1. b) Si des d'aquesta nova posició baixa $4$ unitats, quina és la seva coordenada d'ordenades ($y$)?

1. c) Representa al teu quadern el punt inicial i el punt final (el del vaixell després dels dos desplaçaments) en un sistema d'eixos de coordenades.

Escriu els nombres enters que compleixen simultàniament les tres condicions següents:

1. El seu valor absolut és més gran que $2$ i més petit que $6$.

2. És un nombre negatiu.

3. En sumar-li el seu oposat, el resultat és $0$.

Representa els nombres trobats en una recta numèrica.

Al laboratori de física s'estan analitzant les temperatures de congelació de diversos líquids. Els resultats són:

• Líquid P: $-8$ ºC

• Líquid Q: $-15$ ºC

• Líquid R: $-3$ ºC

• Líquid S: $-12$ ºC

Ordena els líquids de menor a major temperatura utilitzant el símbol $<$ i explica quin d'ells té el valor absolut més gran.

Un arqueòleg troba una moneda en un jaciment. En investigar, descobreix que va ser encunyada l'any $45$ a.C. Si l'arqueòleg viu l'any $2024$ d.C., respon:

1. a) Quin nombre enter assignaries a cada data?

1. b) Quin és l'oposat de l'any d'encunyació de la moneda?

1. c) Representa de manera aproximada, en una línia del temps que dibuixaràs al teu quadern, l'any d'encunyació de la moneda i l'any en què viu l'arqueòleg. Marca l'any $0$ i indica quin costat correspon als anys a.C. i quin als d.C.

Dos submarinistes, l'Elena i en Carlos, es troben al mar. L'Elena està a una profunditat de $18$ metres sota el nivell del mar. En Carlos està a $12$ metres de l'Elena, però ell està en una posició més profunda.

1. a) A quina profunditat es troba en Carlos? Expressa-ho amb un nombre enter.
2. b) Si l'Elena puja $5$ metres, quina serà la seva nova posició?
3. c) Quina és la distància absoluta entre la nova posició de l'Elena i la posició d'en Carlos?

En un joc de tauler, la teva fitxa es troba a la casella que representa el nombre enter $-4$. Llences un dau especial i obtens els moviments consecutius següents:

1. Avances $6$ posicions.

2. Recules el doble del que indica el valor absolut de $-3$.

3. Et mous a l'oposat de la casella on et trobes en aquest moment.

En quina casella acabes el joc? Indica tots els passos intermedis.

Es busquen dos nombres enters diferents, $a$ i $b$, que compleixin de manera simultània les quatre condicions següents:

1. El punt $P(a, b)$ està situat al segon quadrant del pla cartesià.

2. El valor absolut de $a$ és exactament $5$.

3. El valor $|b|$ és un nombre primer menor que $5$, però $b$ no coincideix amb l'oposat de $a$.

4. La distància entre $a$ i $b$ sobre la recta numèrica és estrictament menor que $8$ unitats.

1. a) Dedueix el signe que han de tenir obligatòriament $a$ i $b$ a partir del quadrant en què s'ubica el punt $P$.
2. b) Troba tots els valors possibles de $a$ i $b$, justificant pas a pas per què descartes les opcions que no compleixen simultàniament totes les condicions.
3. c) Escriu les coordenades finals de tots els possibles punts $P(a, b)$ que resolen el problema.

Considera els nombres enters $m = -14$ i $n = +6$ representats en una recta numèrica.

1. a) Abans de fer cap càlcul exacte, estima de manera raonada: el punt mitjà exacte entre $m$ i $n$ estarà situat a l'esquerra o a la dreta del zero? La distància total entre tots dos serà més gran o més petita que $|m|$? Explica en què et bases per intuir-ho.
2. b) Calcula ara el valor numèric exacte de la distància que separa $m$ de $n$ a la recta recolzant-te en el significat dels seus valors absoluts.
3. c) Determina quin nombre enter representa el punt mitjà entre $m$ i $n$. Comprova si la teva estimació inicial de l'apartat a) ha estat encertada i raona per què el signe del punt mitjà coincideix amb el signe del nombre amb més valor absolut.

En una recta numèrica s'han marcat dos punts, $A$ i $B$. Sabent que la distància entre el punt $A$ i el punt $B$ és de $15$ unitats i que el punt $A$ correspon al nombre enter $-6$:

1. a) Determina quin nombre enter representa el punt $B$ si es troba a la dreta d'$A$.
2. b) Calcula el valor de $|A| + |B|$.
3. c) Si situem un nou punt $C$ just a la meitat del segment que uneix $A$ i $B$, quin nombre representaria $C$?

Ordena de menor a major els elements matemàtics següents, calculant prèviament el seu valor numèric:

$$-| -12 |, \quad op(+5), \quad | -8 |, \quad op(op(-3)), \quad -(-10), \quad 0, \quad -| -1 |$$

Un arqueòleg està estudiant una dinastia antiga. Sap que el primer rei de la dinastia va néixer l'any $42$ aC i va morir als $65$ anys. El seu fill, l'hereu, va néixer quan el pare tenia $28$ anys i va regnar durant $35$ anys després de la mort del seu pare.

1. a) Utilitza nombres enters per representar els anys de naixement i de mort de tots dos personatges.
2. b) En quin any va acabar el regnat del fill? Expressa el resultat en format cronològic (aC o dC).

En el pla cartesià següent, un robot surt del punt $P(-2, 3)$. Fa tres moviments consecutius:

1. Es desplaça $5$ unitats cap a la dreta.

2. Es desplaça $7$ unitats cap avall.

3. Es desplaça $4$ unitats cap a l'esquerra.

En quin quadrant acaba el robot? Fes-ho a la teva llibreta. Indica les coordenades finals del punt i calcula el valor absolut de la suma de la seva nova abscissa ($x$) i la seva nova ordenada ($y$).

Raona si les afirmacions següents són meitat/verdaderes o falses, posant un exemple o un contraexemple en cada cas:

1. a) Si $a$ i $b$ són dos nombres enters negatius i $|a| < |b|$, aleshores $a > b$.
2. b) El valor absolut d'un nombre enter sempre és més gran que el mateix nombre.
3. c) La distància entre qualsevol nombre enter i el seu oposat és sempre un nombre parell.
4. d) Si a l'oposat d'un nombre li sumem el seu valor absolut, el resultat és sempre zero.

Estem dissenyant un videojoc on un personatge ha de saltar sobre plataformes numerades amb enters. El personatge comença a la plataforma $0$.

• El primer salt és de $+5$ unitats.

• El segon salt és el doble de llarg que el primer, però en sentit oposat.

• El tercer salt el porta a una plataforma el nombre de la qual és l'oposat del nombre de la plataforma on es trobava després del segon salt.

• El quart salt és de $-12$ unitats.

En quina plataforma es troba al final? Dibuixa la trajectòria a la recta numèrica indicant cada pas.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un pla cartesià, un quadrat té dos dels seus vèrtexs oposats als punts $A(-2, 3)$ i $C(4, -3)$.

1. Dibuixa els eixos i situa els punts $A$ i $C$.

2. Determina les coordenades dels altres dos vèrtexs, $B$ i $D$, sabent que el quadrat no està girat (els seus costats són paral·lels als eixos).

3. Quines són les coordenades del punt central on es creuen les diagonals del quadrat?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Imagina dos nombres enters, $a$ i $b$. Sabem que:

1. La distància entre $a$ i $0$ és de $7$ unitats.

2. La distància entre $a$ i $b$ és de $3$ unitats.

3. $b$ és menor que $a$.

Determina tots els valors possibles per a $a$ i per a $b$. Per a cada cas, escriu el valor absolut de la suma $|a + b|$.

Per esbrinar en quin quadrant del pla cartesià se situa el punt $A(x, y)$, sabem amb total certesa que l'oposat de l'abscissa és estrictament negatiu ($op(x) < 0$) i que l'ordenada compleix $|y| = -y$, amb $y \neq 0$. Dos estudiants de $1r$ d'ESO proposen dues maneres diferents d'esbrinar-ho:

• Mètode d'en Nacho: Tria nombres concrets que compleixin les pistes (per exemple, prova amb $x = 3$ i $y = -2$), comprova que encaixen amb les condicions donades i situa el punt resultant en els quadrants.

• Mètode de l'Elena: Dedueix algebraicament el signe que ha de tenir $x$ a partir de la definició d'oposat i, després, dedueix el signe de $y$ aplicant les propietats del valor absolut, sense inventar cap nombre en particular.

1. a) Aplica el mètode d'en Nacho amb aquest exemple concret i determina en quin quadrant cau el punt.
2. b) Aplica el mètode de l'Elena raonant amb rigor els signes de $x$ i de $y$ a partir de les definicions teòriques per arribar a la conclusió general.
3. c) Compara tots dos camins: garanteix el mètode d'en Nacho que la conclusió serveixi per a qualsevol parella de nombres que compleixi l'enunciat, o hi podria haver casos imprevistos? Explica per què el mètode de l'Elena aporta una justificació matemàtica superior i més segura.

En una campanya oceanogràfica al mar Cantàbric es monitoritza la posició vertical de tres sondes de mesurament, $S_1$, $S_2$ i $S_3$, les profunditats de les quals respecte al nivell del mar s'expressen com a nombres enters en metres (on el nivell del mar és $0\text{ m}$):

1. La sonda $S_1$ està submergida i la seva cota és un nombre enter negatiu el valor absolut del qual és un múltiple de $4$ comprès estrictament entre $10$ i $18$, i a més el seu valor absolut és un múltiple de $3$.

2. La cota de la sonda $S_2$ és menor que la de $S_1$, i la seva distància a la superfície supera la de $S_1$ en exactament $6$ unitats.

3. La sonda $S_3$ està a una cota tal que $|S_3|$ és exactament igual a la meitat de $|S_1|$. A més, se sap que l'oposat de la cota de $S_3$ és un nombre positiu.

1. a) Reconstrueix raonadament, justificant cada deducció, el valor numèric enter de la cota a la qual opera cadascuna de les tres sondes.

1. b) Modela la posició relativa de les sondes ordenant-les de la que està situada a més profunditat a la més propera a la superfície mitjançant la cadena de desigualtats corresponent amb el símbol $<$.

1. c) Si construïm els punts del pla cartesià $P_1 = (S_1, S_2)$ i $P_2 = (op(S_3), S_1)$, determina en quin quadrant es troba cada punt justificant-ho segons el signe de les seves coordenades.