Exercicis: Problemes amb equacions

Al laboratori de Ciències tenim una balança en equilibri, com mostra la figura. Al plat de l'esquerra hi ha $2$ caixes iguals (que pesen $x$ kg cadascuna) i una pesa d'$1$ kg. Al plat de la dreta hi ha una pesa de $7$ kg. Escriu l'equació que representa aquest equilibri i calcula quant pesa cada caixa.

Marcos està jugant a un videojoc i ha aconseguit en el nivell actual el doble de punts que en el nivell anterior. Si entre tots dos nivells suma un total de $150$ punts, quants punts va obtenir en cada nivell? Anomena $x$ els punts del primer nivell.

Estem dissenyant un logotip per a un equip d'e-sports amb forma de triangle isósceles. Volem que el perímetre sigui de $30$ cm. Si la base mesura $10$ cm i els altres dos costats són iguals, quant ha de mesurar cadascun d'aquests costats ($x$)?

Si a un nombre li sumes el seu consecutiu (el nombre que va just després), el resultat és $43$. Planteja una equació per esbrinar de quin nombre es tracta.

Amina té $3$ anys més que el seu germà petit. Si entre tots dos sumen $19$ anys, quina edat té cadascun? Anomena $x$ l'edat del germà petit.

Un grup d'amics compra una pizza familiar que costa $12$ €. Si després de pagar-la els sobren $8$ € dels diners que havien reunit, quants diners tenien al principi? Representa la quantitat inicial amb la lletra $x$.

Volem tancar un petit hort rectangular per plantar tomàquets. El llarg de l'hort és el doble que l'amplada. Si hem utilitzat $18$ metres de tanca per envoltar-lo per complet (perímetre), quant mesuren l'amplada i el llarg de l'hort?

En una prestatgeria d'una botiga de còmics hi ha el triple de mangues d'acció que de misteri. Si en total hi ha $48$ còmics entre tots dos gèneres, quants n'hi ha de cada classe? Anomena $x$ els còmics de misteri.

En un examen de 1r d'ESO, l'Hugo ha de resoldre aquest problema: «La suma de tres nombres enters consecutius és $48$. Quins són aquests tres nombres?». L'Hugo escriu al seu full el següent:

«Anomeno $x$ al primer nombre. Com que són consecutius, els tres nombres són $x$, $2x$ i $3x$.

Equació: $x + 2x + 3x = 48 \implies 6x = 48 \implies x = 8$.

Resposta: Els nombres són $8$, $16$ i $24$».

1. a) Localitza i explica raonadament l'error conceptual que ha comès l'Hugo en traduir l'expressió «tres nombres enters consecutius».
2. b) Escriu l'equació correcta definint amb precisió què representa la incògnita $x$.
3. c) Resol l'equació, indica quins són els tres nombres correctes i comprova que la seva suma és igual a $48$.

A la papereria del barri compres un arxivador i $3$ quaderns iguals per al curs. L'arxivador costa exactament el doble que un quadern, i en total pagues $12,50$ € a caixa.

1. a) Abans de plantejar cap equació, raona si és possible que cada quadern costi $3$ €. Fes una estimació ràpida d'entre quins dos valors enters d'euros s'ha de situar el preu d'un quadern.
2. b) Defineix la incògnita $x$ indicant les seves unitats, planteja una equació de primer grau i calcula el preu exacte d'un quadern i de l'arxivador.
3. c) Comprova la solució obtinguda en l'enunciat i explica si la teva estimació de l'apartat a) era encertada.

Tres amics estan comparant quantes cançons tenen a la seva llista de reproducció preferida. Lucía té el doble de cançons que Marcos, i Sara té 15 cançons més que Marcos. Si entre tots tres sumen un total de 155 cançons, quantes cançons té cadascun a la seva llista? Planteja una equació on $x$ sigui el nombre de cançons de Marcos.

En l'aniversari de Adrián, s'han repartit invitacions de dos tipus: digitals i en paper. El nombre d'invitacions digitals ha sigut el triple que el de paper. Si en total s'han enviat 48 invitacions, quantes persones han rebut la invitació en paper i quantes en format digital?

Marta ha comprat un videojoc d'oferta i un comandament nou. El comandament li ha costat $25$ € menys que el videojoc. Si ha pagat en total per les dues coses $89$ €, quin és el preu original de cada article sense comptar altres descomptes?

En un aparcament d'un centre comercial hi ha un total de $32$ vehicles entre cotxes i motos. Si comptem les rodes de tots ells (sense incloure les de recanvi), obtenim un total de $94$ rodes. Calcula quants cotxes i quantes motos hi ha a l'aparcament.

(Pista: Si anomenem $x$ al nombre de cotxes, el nombre de motos serà $32 - x$).

El professor d'Educació Física ha comprat tres caixes de pilotes de tennis. A la segona caixa hi ha el doble de pilotes que a la primera, i a la tercera hi ha $10$ pilotes més que a la segona. Si en total hi ha $85$ pilotes, quantes pilotes conté cada caixa?

Héctor té 5 anys més que la seva germana Ainhoa. D'aquí a 8 anys, la suma de les seves edats serà de 41 anys. Quina edat té actualment cadascun?

(Recorda sumar 8 anys a l'edat de cadascun per plantejar la suma futura).

Per equilibrar una balança al laboratori de Ciències Naturals, hem col·locat al platet esquerre una pedra que pesa un valor desconegut $x$ i un pes de $12$ grams. Al platet dret, perquè estigui en equilibri, hem hagut de posar quatre pesos iguals, cadascun amb el mateix pes $x$ que la pedra original. Quant pesa la pedra?

El consorci de transports d'una ciutat espanyola ofereix dues tarifes per a joves estudiants:

• Tarifa Jove: s'abona una quota fixa mensual de $10$ € i cada viatge realitzat costa $0,40$ €.

• Bitllet Ocasional: no es paga cap quota fixa al mes, però cada viatge costa $0,90$ €.

1. a) Modela matemàticament la situació: defineix la incògnita $x$ amb el seu significat i planteja una equació que expressi per a quin nombre de viatges mensuals el cost total d'ambdues tarifes és exactament el mateix.
2. b) Resol l'equació plantejada i indica el nombre exacte de viatges del punt d'equilibri.
3. c) Interpreta el resultat: si una alumna sap que farà $25$ viatges al mes per anar a l'institut i a les seves activitats esportives, quina de les dues tarifes li resulta més econòmica? Justifica la teva resposta calculant la despesa que tindria amb cada opció.

Imagina que formes part de l'equip docent i t'han demanat dissenyar un problema de geometria per al proper examen de 1r d'ESO. El problema ha de tractar sobre el perímetre d'una parcel·la rectangular i ha de complir estrictament aquestes tres condicions:

1. La base de la parcel·la ha de mesurar $4\text{ m}$ més que el triple de la seva alçada.

2. La incògnita $x$ ha de representar l'alçada de la parcel·la en metres.

3. En resoldre l'equació del perímetre, la solució ha de ser obligatòriament $x = 6\text{ m}$.

1. a) Escriu l'expressió algebraica reduïda de la base en funció de $x$ i l'expressió algebraica reduïda del perímetre total del rectangle.
2. b) Utilitza el valor $x = 6\text{ m}$ per deduir quin nombre ha de figurar com a perímetre total en el text del problema.
3. c) Redacta l'enunciat definitiu del problema tal com el llegirien els teus companys a l'examen, formulant amb claredat les dades i la pregunta final.

En una expedició científica per l'Amazones, l'equip consumeix el primer dia $\frac{1}{4}$ de les seves provisions d'aigua. El segon dia consumeixen $\frac{2}{5}$ del que quedava al dipòsit. Si després d'aquests dos dies encara tenen $135$ litres, quants litres d'aigua tenien en començar l'expedició?

El perímetre d'un parc tecnològic amb forma de triangle isósceles és de $110$ metres. Sabem que cadascun dels costats iguals mesura $10$ metres més que el doble de la base. Calcula la mida de cadascun dels tres costats del parc plantejant una equació.

En una botiga de videojocs, han venut el triple de còpies d'un joc d'aventures que d'un d'esports. A més, han venut $15$ unitats menys d'un joc de plataformes que del d'aventures. Si en total han venut $125$ videojocs entre els tres títols, quantes còpies se n'han venut de cadascun?

Un creador de contingut digital ha revisat les seves estadístiques mensuals. El vídeo d'humor té el doble de visualitzacions que el de tecnologia, i el vídeo de viatges té $4000$ visualitzacions més que el d'humor. Si entre tots tres sumen un total de $24000$ visualitzacions, quantes en té cada vídeo?

La mare de Salma té actualment el triple d'edat que ella. D'aquí a $12$ anys, l'edat de la mare serà només el doble que la de Salma. Quina edat té actualment cadascuna? Ajuda't d'una taula per organitzar les dades del present i del futur.

En una guardiola hi ha monedes de $0,50$ € i de $1$ €. En total hi ha $35$ monedes que sumen un valor de $26$ €. Quantes monedes de cada tipus hi ha a la guardiola? (Pista: si anomenes $x$ al nombre de monedes de $1$ €, el nombre de monedes de $0,50$ € serà $35 - x$).

Tres germans, Alberto, Berta i Carlos, volen comprar un regal per als seus pares que costa $105$ €. Alberto aporta una quantitat de diners, Berta en posa el doble que Alberto i Carlos en posa $15$ € menys que Berta. Quants diners aporta cadascun perquè els arribi just per al regal?

Una cooperativa d'oli d'oliva a Jaén reparteix $45\,000$ € de beneficis anuals entre els seus tres socis fundadors. Pel seu nivell de dedicació, el segon soci rep el doble que el primer, i el tercer soci rep exactament la meitat de la suma del que cobren els altres dos junts.

Per calcular quants diners corresponen a cadascun, dues alumnes plantegen camins diferents:

• Camí de la Lucía: anomena $x$ a la quantitat que rep el primer soci, expressa a partir d'aquesta el que reben els altres dos i planteja l'equació sumant les tres parts.

• Camí de l'Alba: anomena $y$ a la quantitat que rep el tercer soci i dedueix que la suma del primer i segon soci equival a $2y$.

1. a) Planteja i resol l'equació seguint el mètode de la Lucía, indicant pas a pas la quantitat que correspon a cada soci.
2. b) Planteja i resol l'equació seguint el mètode de l'Alba. Comprova si s'obtenen els mateixos imports finals per a cada persona.
3. c) Compara ambdós mètodes i reflexiona: quin avantatge matemàtic ofereix el plantejament de l'Alba en resoldre la primera equació? Quin dels dos mètodes consideres més intuïtiu i directe per evitar bloquejos si no descobreixes la relació oculta entre les parts? Justifica la teva resposta.

En un habitatge familiar de Saragossa, la factura mensual d'electricitat consta d'un terme fix de $14$ € (per la potència contractada) i un terme variable de $0,18$ € per cada $\text{kWh}$ consumit. El mes de gener, l'import total de la factura abans d'impostos va ascendir a $64,40$ €.

1. a) Abans de resoldre amb àlgebra, fes una estimació mental raonada: el consum haurà estat més a prop de $200\text{ kWh}$, de $300\text{ kWh}$ o de $400\text{ kWh}$? Justifica com ho dedueixes calculant mentalment valors aproximats.
2. b) Defineix la incògnita $x$ amb les seves unitats, planteja una equació de primer grau i calcula el consum exacte en $\text{kWh}$ del mes de gener.
3. c) A la primavera, la família aplica hàbits d'estalvi i aconsegueix reduir el seu consum a exactament la meitat de $\text{kWh}$ que al gener, mantenint la mateixa potència contractada. Una persona de la família afirma: «Com que hem consumit la meitat d'electricitat, la factura d'aquest mes serà exactament la meitat ($32,20$ €)». Planteja l'expressió matemàtica del nou cost i raona algebraicament per què aquesta afirmació és falsa, explicant quin paper juga el terme fix en la proporcionalitat de la factura.

Repte del tema. Quina tarifa ens convé a casa? Investiga i optimitza la factura elèctrica familiar aplicant equacions de primer grau.

1. Presa de dades: Revisa una factura de la llum real de casa teva o consulta el web de REE (Red Eléctrica). Anota el cost fix mensual i el preu per kWh (per exemple, $0,14$ €/kWh). Tria després una tarifa alternativa d'una altra companyia amb diferent cost fix i variable.

2. Modelització algebraica: Planteja un problema i la seva equació de primer grau per esbrinar amb quin consum mensual en kWh ($x$) totes dues opcions costarien exactament el mateix: $F_1 + V_1 \cdot x = F_2 + V_2 \cdot x$. Resol l'equació detallant i justificant cada pas algebraic.

3. Simulació i proposta: Dissenya en un full de càlcul una taula que compari totes dues tarifes per a diferents consums ($100$, $200$ i $300$ kWh) i comprova la teva solució. Redacta un informe breu recomanant de manera raonada la millor opció segons el consum real de la teva llar.

Es valorarà:

• Extracció i organització adequada de dades reals de consum i tarifes.

• Plantejament correcte i resolució pas a pas de l'equació de primer grau.

• Ús del full de càlcul per verificar solucions i simular escenaris.

• Justificació coherent i crítica de la proposta final d'estalvi.