Exercicis: Equacions de primer grau

El llenguatge de les equacions ens permet resoldre misteris. Imagina que estàs jugant a "Endevina el meu nombre" amb un amic. El teu amic et diu:

"Si al meu nombre secret li sumes $12$, el resultat és $35$".

Tradueix aquesta frase al llenguatge algebraic anomenant $x$ al nombre secret i escriu l'equació corresponent.

Una equació és com una balança en perfecte equilibri. Observa la imatge següent on els cercles taronges representen la nostra incògnita $x$ i els quadrats grisos representen unitats de $1$ kg.

Escriu l'equació que representa l'equilibri de la balança:

En el teu videojoc preferit, has aconseguit una puntuació de $x$ punts. Després de completar una missió diària, t'han regalat $25$ punts extra, i ara tens un total de $110$ punts.

Escriu l'equació que descriu aquesta situació i esbrina mentalment quants punts tenies al principi.

Comprovar si un nombre és la solució d'una equació és fonamental. Indica si el valor $x = 4$ és la solució de les següents equacions de primer grau:

1. a) $x + 7 = 11$

1. b) $3x = 12$

1. c) $2x - 1 = 5$

Aisha té una col·lecció de cromos de futbol. El seu germà petit li ha tret $8$ cromos i ara només li'n queden $22$.

Si anomenem $x$ al nombre inicial de cromos que tenia Aisha, escriu l'equació que representa aquest problema i resol-la per saber quants cromos tenia al principi.

Resol aquestes equacions de primer grau molt senzilles utilitzant l'operació inversa (si una cosa suma, passa restant; si una cosa multiplica, passa dividint):

1. a) $x + 5 = 15$

1. b) $x - 9 = 2$

1. c) $4x = 24$

1. d) $\frac{x}{3} = 5$

El perímetre d'una parcel·la rectangular mesura $60$ metres. Sabem que el llarg de la parcel·la mesura $20$ metres. Volem esbrinar quant mesura l'amplada ($x$).

Utilitza la fórmula del perímetre del rectangle per escriure una equació:

$2 \cdot 20 + 2 \cdot x = 60$

Escriu els passos per aïllar la $x$ i calcular l'amplada de la parcel·la.

Tres amics han anat a berenar i han demanat tres batuts iguals. En pagar amb un bitllet de $20$ €, els han retornat $11$ €.

Si anomenem $x$ al preu d'un sol batut, planteja una equació que representi el cost total del berenar més el canvi rebut.

(Pista: $3 \cdot (\text{preu batut}) + \text{volta} = \text{total pagat}$)

Marcos va intentar resoldre l'equació $4x - 6 = 14$ a la seva llibreta i va escriure la resolució següent pas a pas:

Pas 1: $4x = 14 - 6$

Pas 2: $4x = 8$

Pas 3: $x = \dfrac{8}{4} = 2$

1. a) Localitza l'error que va cometre Marcos en passar de l'enunciat original al Pas 1 i explica quina regla bàsica de la transposició de termes no va respectar.
2. b) Resol l'equació correctament mostrant tots els passos.
3. c) Comprova la teva solució substituint el valor trobat en l'equació inicial per demostrar que la igualtat es compleix.

Imagina que estàs preparant una prova per als teus companys de classe i inventa una equació de primer grau que compleixi simultàniament aquestes tres condicions:

1. La seva solució exacta ha de ser $x = -2$.

2. La incògnita $x$ ha d'aparèixer obligatòriament en tots dos membres de l'equació.

3. Almenys un dels coeficients que multipliquen la $x$ ha de ser més gran que $1$.

Explica amb claredat el raonament que has seguit per construir la teva equació i demostra que és correcta comprovant que, en substituir $x = -2$, tots dos membres donen el mateix valor numèric.

En una balança digital de precisió, hem col·locat dues caixes de subministraments idèntiques (que anomenarem $x$) i un pes de $25$ grams al platet esquerre. Per equilibrar la balança, al platet dret hem posat un pes de $135$ grams.

Planteja l'equació que representa aquest equilibri i calcula quant pesa cada caixa $x$.

Un streamer famós està sortejant targetes de regal entre els seus subscriptors. Ha anunciat que "el triple de les targetes que va regalar ahir, menys les 12 que ha guardat per a avui, equival a 48 targetes".

Si anomenem $x$ al nombre de targetes que va regalar ahir, escriu l'equació que descriu la situació i resol-la per trobar aquest nombre.

Resol la següent equació de primer grau eliminant primer els parèntesis i agrupant després els termes amb incògnita:

$4(x - 3) + 2x = 3(x + 2) + 9$

Troba un nombre tal que la seva meitat més la seva quarta part sigui igual a $15$. Per resoldre'l, cerca el mínim comú múltiple dels denominadors per netejar l'equació de fraccions.

$\frac{x}{2} + \frac{x}{4} = 15$

Tres amics estan col·leccionant cromos d'una sèrie d'animació. Lucía té el doble de cromos que Marcos, i Paula té 10 cromos més que Marcos. Si entre tots tres sumen un total de $110$ cromos, quants en té cadascun?

Resol la següent equació amb denominadors simplificant cada pas:

$\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{6} = 2$

Recorda multiplicar tots els termes de l'equació pel $m.c.m.(3, 6)$ per treballar només amb nombres enters.

La suma de tres nombres enters consecutius és igual a $72$. Planteja una equació de primer grau per trobar quins són aquests tres nombres.

En una estació meteorològica de l'AEMET a Còrdova, durant una jornada de primavera, la temperatura a les 9:00 era de $14\ ^\circ\text{C}$. A partir d'aquella hora, la temperatura va augmentar a un ritme constant de $3\ ^\circ\text{C}$ per cada hora transcorreguda fins a assolir la temperatura màxima del dia, que va ser de $29\ ^\circ\text{C}$.

1. a) Abans de plantejar cap operació algebraica, fes una estimació mental: creus que la temperatura màxima es va assolir abans de les 13:00 o després? Justifica breument la teva previsió.
2. b) Anomena $t$ el nombre d'hores transcorregudes des de les 9:00. Planteja una equació de primer grau que modeli la situació i resol-la pas a pas per saber quantes hores van passar.
3. c) Determina a quina hora exacta es van assolir els $29\ ^\circ\text{C}$ i valora si el resultat numèric confirma la teva estimació prèvia i resulta coherent amb el ritme del dia.

Per anar diàriament a l'institut i als seus entrenaments de bàsquet, Pablo analitza dues tarifes de la targeta de transport metropolità:

• Tarifa Jove: abonament mensual de $15$ euros fixos més $0,60$ euros per cada viatge realitzat.

• Tarifa Moneder: sense quota fixa mensual, però cada viatge costa $1,10$ euros.

1. a) Planteja una equació de primer grau que permeti calcular el nombre de viatges $v$ amb el qual la despesa mensual seria idèntica en totes dues opcions.
2. b) Resol l'equació per trobar aquest nombre de viatges.
3. c) Si Pablo calcula que realitzarà aproximadament $36$ viatges al mes, interpreta el resultat obtingut a l'apartat anterior per aconsellar-li quina de les dues tarifes li resultarà més econòmica. Justifica el teu consell comparant els costos previstos.

En un joc de rol, la força del teu personatge es calcula mitjançant una "fórmula d'equilibri". Per pujar de nivell, has de trobar el valor de la incògnita $x$ que fa que tots dos costats de la balança màgica siguin iguals. Resol la següent equació:

$2(3x - 5) - 4(x - 2) = 16 - (x + 3)$

Tres amics decideixen comprar una subscripció anual a una plataforma de streaming que costa un total de $165$ €. Per l'ús que en fan, han acordat que:

• Sara pagarà el doble que Lucas.

• Lucas pagarà $15$ € més que Mateo.

Si anomenem $x$ als diners que paga Mateo, planteja una equació de primer grau i calcula quant ha d'aportar cadascú per completar el pagament.

Estem dissenyant una nova pista d'skate amb forma triangular. El perímetre total de la pista ha de ser de $54$ metres. Les condicions del disseny són les següents:

• El costat més llarg mesura $x$ metres.

• El costat mitjà mesura la meitat que el costat llarg més $3$ metres.

• El costat més curt mesura $10$ metres menys que el costat llarg.

Troba les dimensions dels tres costats de la pista resolent l'equació corresponent.

Resol la següent equació amb denominadors, prestant molta atenció al signe negatiu que precedeix la segona fracció:

$\frac{x + 5}{2} - \frac{2x - 3}{3} = \frac{5}{6}$

Recorda que per eliminar els denominadors has de multiplicar tots els termes pel m.c.m. d'aquests.

L'edat de Marina és el triple de la que tenia fa $10$ anys. Si anomenem $x$ a la seva edat actual, podries esbrinar quants anys té plantejant i resolent una equació de primer grau?

L'equip de robòtica del teu institut ha construït un circuit amb forma de rectangle per a una competició. La llargada del circuit mesura el triple que la seva amplada. Si augmentem l'amplada en $2$ metres i disminuïm la llargada en $4$ metres, el perímetre del nou rectangle passa a ser de $44$ metres. Calcula les dimensions originals del circuit.

Troba el valor de $x$ que resol la següent equació complexa amb parèntesis aniuats:

$3[2x - (x + 4)] = 2(3x + 1) - 5$

Assegura't de resoldre primer els parèntesis interiors i simplificar cada membre abans de transposar termes.

Una botiga de videojocs ha venut durant el matí la tercera part de les consoles que tenia en estoc. A la tarda, ha venut la meitat de les que li quedaven. Si en tancar la botiga encara tenen $12$ consoles sense vendre, amb quantes consoles van començar el dia?

Planteja l'equació anomenant $x$ al nombre total de consoles a l'inici del dia.

Donada l'equació amb parèntesis i fraccions:

$\dfrac{3(x - 1)}{2} - \dfrac{2x + 4}{5} = 2$

Dos estudiants plantegen estratègies de resolució diferents:

• Estratègia d'Elena: Multiplicar primer tots els termes de tots dos membres pel mínim comú múltiple dels denominadors ($10$) per eliminar d'un sol cop les fraccions, i després treure els parèntesis.

• Estratègia de David: Aplicar primer la propietat distributiva als numeradors, separar cada fracció en fraccions simples i operar sumant els termes amb $x$ i els termes numèrics mitjançant càlcul fraccionari.

1. a) Resol l'equació seguint ordenadament l'estratègia d'Elena.
2. b) Resol l'equació seguint l'estratègia de David.
3. c) Compara tots dos camins: quin consideres més eficaç per evitar errors comuns de signes i simplificar els càlculs intermedis a 1r d'ESO? Justifica la teva resposta analitzant un punt crític on sigui fàcil equivocar-se en qualsevol dels dos mètodes.

L'ajuntament d'un municipi vol acotar un hort escolar rectangular aprofitant una partida de tanca metàl·lica donada de $68\text{ metres}$ de longitud total, que s'ha d'emprar completament per cercar tot el perímetre.

1. a) El projecte tècnic estableix com a condició que la longitud de l'hort (el llarg) ha de mesurar $4\text{ metres}$ més que el triple de la seva amplada. Anomena $x$ l'amplada en metres, escriu l'expressió algebraica del llarg i formula l'equació que expressa el perímetre total.
2. b) Resol l'equació i calcula les dimensions exactes (amplada i llarg) de l'hort projectat.
3. c) Suposa que l'associació de veïns demana modificar el plec de condicions: volen que el llarg sigui el quàdruple de l'amplada, utilitzant exactament els mateixos $68\text{ metres}$ de tanca. Planteja la nova equació i resol-la. A partir del valor de $x$ obtingut, reflexiona: és possible construir l'hort amb aquestes noves condicions si les estaques de delimitació només es poden col·locar a distàncies que siguin nombres enters de metres? Justifica la teva conclusió.