Exercicis: Múltiples, divisors i criteris de divisibilitat

Un saltamartí està entrenant per a una competició. En cada salt avança exactament $6$ decímetres.

Escriu la distància total que ha recorregut després de fer $1, 2, 3, 4, 5$ i $10$ salts. Com es diuen aquests nombres respecte del $6$?

Sabent que la igualtat $15 \cdot 4 = 60$ és certa, completa les frases següents fent servir correctament les paraules múltiple o divisor:

1. a) El nombre $60$ és ____ de $15$.
2. b) El nombre $4$ és ____ de $60$.
3. c) El nombre $60$ és ____ de $4$.
4. d) El nombre $15$ és ____ de $60$.

Identifica quins dels nombres següents són divisors de $24$ fent les divisions necessàries:

Recorda: Un nombre és divisor d'un altre si en dividir-los el residu és igual a $0$.

La Marta vol repartir $28$ enganxines entre els seus $4$ amics a parts iguals.

1. a) Quantes enganxines rebrà cadascun? En sobra cap?
2. b) És $28$ divisible entre $4$?
3. c) És $4$ un divisor de $28$?

Un bibliotecari ha de col·locar llibres en prestatges on caben exactament $3$ llibres a cada buit. Per saber ràpidament si pot completar els prestatges sense que sobrin llibres, utilitza el criteri de divisibilitat del $3$.

Calcula la suma de les xifres dels nombres següents i diu quins són divisibles per $3$:

1. a) $123$
2. b) $401$
3. c) $516$
4. d) $802$

Completa a la teva llibreta la taula següent escrivint SÍ o NO a cada casella, aplicant els criteris de divisibilitat que has après:

Un nombre és divisible per $4$ si les seves dues últimes xifres són zeros o formen un múltiple de $4$.

Observa els anys següents i digues quins serien "anys especials" per ser divisibles entre $4$:

$1996, 2000, 2010, 2022, 2024, 2030$

Substitueix la lletra $A$ per una xifra perquè el nombre resultant sigui múltiple de $9$. Recorda que la suma de les seves xifres ha de ser un múltiple de $9$.

1. a) $2A5$
2. b) $71A$
3. c) $A08$

En un examen de Matemàtiques de 1r d'ESO, en Marcos ha de classificar diversos nombres segons els criteris de divisibilitat i escriu les tres afirmacions següents al seu full de respostes:

1. «El nombre $253$ és divisible per $3$ perquè la seva última xifra és $3$».

2. «El nombre $410$ és divisible per $4$ perquè acaba en $0$, i com que $10$ és parell, es pot dividir dues vegades entre $2$».

3. «El nombre $837$ és divisible per $9$ perquè la suma de les seves xifres és $8 + 3 + 7 = 18$, i $18$ és múltiple de $9$».

La teva tasca:

1. a) Indica raonadament quines de les tres afirmacions d'en Marcos són incorrectes. Explica quin error conceptual ha comès en cadascuna d'elles i quina és la regla correcta que hauria d'haver aplicat segons els apunts.
2. b) Aplica els criteris adequats als nombres $253$ i $410$ i indica si són o no divisibles per $3$ i per $4$, respectivament.

Per obrir el cadenat digital de la taquilla del gimnàs, la Sara ha d'introduir una clau de quatre xifres de la forma $5\text{.}2A4$, on $A$ és una xifra desconeguda (del $0$ al $9$). La Sara recorda dues condicions que compleix la seva clau:

• El nombre és divisible per $3$.

• El nombre no és divisible per $9$.

1. a) Escriu la suma de les xifres del nombre en funció de $A$ i troba tots els valors possibles que pot prendre la xifra $A$ perquè el nombre sigui múltiple de $3$.
2. b) Dels valors que has obtingut, descarta raonadament aquells que facin que el nombre sigui divisible per $9$. Quins nombres de quatre xifres vàlids queden?
3. c) Comprova si algun dels nombres vàlids resultants és també divisible per $4$ aplicant el criteri de les dues últimes xifres, sense fer la divisió completa.

Un dissenyador gràfic està organitzant una galeria de $30$ icones quadrades idèntiques per a una pàgina web. Vol disposar-les formant un rectangle complet (sense que sobrin icones).

1. a) Troba totes les formes possibles d'organitzar les icones (per exemple: $1$ fila de $30$).
2. b) Quina relació matemàtica tenen les dimensions d'aquests rectangles amb el nombre $30$?
3. c) Si el disseny només permet que el costat més curt del rectangle tingui almenys $3$ icones, quantes opcions té ara?

Observa l'esquema següent de «salt de nombres» i completa les frases utilitzant les paraules múltiple, divisor o divisible:

1. a) $60$ és .................... de $12$.
2. b) $12$ és .................... de $180$.
3. c) $180$ és .................... per $60$.
4. d) Si afegim el nombre $5$ a l'esquema, quina relació tindria amb el $60$?

En un refugi d'animals han rebut una donació de $48$ llaunes de menjar per a gats. Volen emmagatzemar-les en caixes petites, de manera que totes les caixes tinguin el mateix nombre de llaunes i no en sobri cap.

1. a) Escriu tots els divisors de $48$.
2. b) Si l'encarregat vol que a cada caixa hi hagi més de $5$ llaunes però menys de $15$, quines opcions d'empaquetament té? Indica el nombre de llaunes per caixa i quantes caixes necessitaria en cada cas.

A classe de Plàstica estem creant patrons amb teselАles quadrades. Per fer un "supercamp quadrat", necessitem que el nombre total de tessel·les sigui un quadrat perfecte.

1. a) Si tenim un pot amb $80$ tessel·les, quantes tessel·les sobren si volem formar el quadrat més gran possible?

1. b) Quantes tessel·les ens faltarien, com a mínim, per poder formar el següent quadrat de mida superior?

Raona si les afirmacions següents són verdaderes o falses, posant un exemple o un contraexemple en cada cas:

1. a) Si un nombre és divisor de $10$, també és divisor de tots els múltiples de $10$ (com ara $20, 30, 40...$).
2. b) El conjunt dels divisors d'un nombre és infinit.
3. c) Si un nombre $a$ és múltiple de $b$, aleshores $b$ és divisor de $a$.
4. d) Qualsevol nombre natural és, com a mínim, divisible per si mateix i per la unitat.

Troba el valor de la xifra desapareguda, representada per la lletra $A$, en cadascun d'aquests nombres perquè es compleixi la condició indicada:

1. a) $24A$ és divisible per $4$ i per $3$ alhora.
2. b) $51A$ és divisible per $11$.
3. c) $A72$ és divisible per $9$ però no per $10$.

Un pastisser ha enfornat una safata de galetes. Sap que té més de $70$ galetes però menys de $85$. Si les reparteix en caixes de $6$ unitats, no li en sobra cap. Si les reparteix en caixes de $9$, tampoc no li en sobra cap.

1. a) Quantes galetes ha enfornat exactament?
2. b) Justifica la teva resposta utilitzant els criteris de divisibilitat del $2$ i del $3$ per explicar per què el nombre és divisible per $6$.

Aplica el criteri de divisibilitat del $11$ per determinar quins dels nombres següents són múltiples de $11$. Per a aquells que no ho siguin, indica quant hauries de sumar-los perquè ho fossin:

1. a) $1.232$
2. b) $5.049$
3. c) $8.175$

El departament d'Educació Física d'un institut organitza una jornada de senderisme per als $198$ estudiants de 1r d'ESO. Volen distribuir-los en grups iguals, amb un mínim de $10$ i un màxim de $25$ alumnes per grup, de manera que cap alumne es quedi sense grup i tots els grups tinguin exactament la mateixa mida.

1. a) Estima: Abans de buscar divisors, arrodoneix $198$ a $200$ i calcula mentalment quants grups sortirien aproximadament si es fessin grups de $10$, $15$ o $20$ alumnes. A partir d'aquesta estimació i fent servir els criteris de divisibilitat, raona per què és impossible que els grups siguin exactament de $10$ o de $20$ alumnes.
2. b) Calcula: Utilitzant els criteris de divisibilitat (del $2$, del $3$, del $5$, del $9$ i de l'$11$) i la descomposició en factors primers de $198$ que se'n dedueix, analitza quins nombres compresos entre $10$ i $25$ són divisors exactes de $198$. Dedueix totes les maneres possibles d'organitzar l'activitat (indicant quants grups es formen i quants alumnes van a cadascun).
3. c) Comprova: Reflexiona sobre els teus resultats: per què no és possible formar grups de $15$ alumnes tot i que $198$ és divisible per $3$?

Una almàssera cooperativa de Jaén envasa una partida especial de $2\text{.}772\text{ litres}$ d'oli d'oliva verge extra. Desitgen comercialitzar tot el lot en garrafes idèntiques de capacitat sencera (sense decimals), sense que sobri ni falti gens d'oli. La cooperativa disposa d'envasos comercials estàndard de les capacitats següents: $2\text{ L}$, $3\text{ L}$, $4\text{ L}$, $5\text{ L}$, $9\text{ L}$, $10\text{ L}$ i $11\text{ L}$.

1. a) Aplica amb detall els criteris de divisibilitat de la unitat per determinar quins d'aquests envasos es poden utilitzar per envasar exactament els $2\text{.}772\text{ litres}$ sense fer divisions amb llapis i paper.
2. b) Si la cooperativa decideix fer servir les garrafes més grans possibles d'entre les vàlides del llistat anterior per estalviar envasos, quina ha de triar? Quantes garrafes omplirà en total?
3. c) Un distribuïdor sol·licita envasar part del lot en garrafes de $6\text{ litres}$. Sense fer la divisió $2\text{.}772 : 6$, justifica si és possible fer-ho a partir de les propietats de divisibilitat que ja has verificat a l'apartat (a).

Una empresa d'esdeveniments vol organitzar un concert en una sala rectangular. Han comprat un total de $150$ cadires. L'organitzador vol disposar-les de manera que totes les files tinguin el mateix nombre de cadires, però amb les restriccions següents:

• Hi ha d'haver més de $5$ files.

• A cada fila hi ha d'haver més de $10$ cadires.

• El nombre de cadires per fila ha de ser un divisor de $450$ però no pot ser múltiple de $4$.

Troba totes les formes possibles d'organitzar les cadires (files i cadires per fila) que compleixin aquestes condicions.

Considera un nombre natural $n$ que compleix les dues propietats següents:

1. $n$ és un múltiple comú de $12$ i $15$.

2. $n$ és un divisor de $360$.

Escriu tots els valors possibles de $n$. Per a cada valor trobat, indica quin és el divisor més petit (diferent de $1$) i el múltiple de $n$ més petit que sigui més gran que $1\,000$.

Esbrina el valor de les xifres desconegudes $A$ i $B$ en el nombre $5A1B$ sabent que:

• El nombre és divisible per $2$ i per $3$ simultàniament.

• El nombre és un múltiple d'$11$.

• La xifra $A$ és un divisor de $16$ i la xifra $B$ és un múltiple de $4$ (diferent de zero).

Raona pas a pas com descartes les opcions fins a trobar el nombre correcte.

Un pirata informàtic ha deixat una pista per desxifrar la contrasenya d'un servidor. La contrasenya és el nombre més petit de quatre xifres, $2A3B$, que compleix simultàniament aquestes tres condicions:

• És divisible per $2$ però no per $4$.

• És divisible per $9$.

• És divisible per $5$.

Quina és la contrasenya del servidor? Raona la teva resposta aplicant els criteris pas a pas.

En una convenció de videojocs, el nombre d'assistents és un valor comprès entre $700$ i $750$. Si sabem que aquest nombre és divisible per $3$, per $11$ i per $2$ alhora, quantes persones van assistir exactament a la convenció? Explica com has descartat les altres possibilitats.

Cerca tots els valors possibles per a les xifres $X$ i $Y$ de manera que el nombre de cinc xifres $4X12Y$ sigui divisible per $4$ i per $9$ al mateix temps. Tingues en compte que hi pot haver més d'una combinació guanyadora.

Un nombre capicua de tres xifres és aquell que es llegeix igual d'esquerra a dreta que de dreta a esquerra (per exemple, $525$). Troba un nombre capicua de tres xifres que sigui divisible per $11$ i que, en sumar les seves xifres, el resultat sigui un múltiple de $3$. És l'única solució possible?

Determina, sense fer la divisió llarga, si el nombre $N = 10^5 + 8$ és divisible per $2, 3, 4, 9$ i $11$. Justifica cada resposta enunciant la propietat o el criteri de divisibilitat corresponent. (Pista: escriu primer el nombre amb totes les seves xifres).

Per comprovar si el nombre $43\text{.}956$ és divisible per $4$, per $9$ i per $11$, tres estudiants de 1r d'ESO proposen camins diferents:

• Beatriz (Mètode 1 - Divisió tradicional): Prefereix fer les tres divisions amb llapis i paper ($43\text{.}956 : 4$, $43\text{.}956 : 9$ i $43\text{.}956 : 11$) i comprovar si el residu és $0$.

• Clara (Mètode 2 - Criteris de divisibilitat): Aplica les regles teòriques de la unitat: observa les dues últimes xifres per al $4$, suma les xifres per al $9$, i resta la suma de posicions imparelles i parelles per a l'$11$.

• Diana (Mètode 3 - Descomposició intel·ligent): Observa que $43\text{.}956 = 44\text{.}000 - 44$. Com que $44\text{.}000$ i $44$ són múltiples evidents de $4$ i d'$11$, dedueix que la seva diferència també ho ha de ser.

La teva tasca:

1. a) Aplica el mètode de la Clara pas a pas per verificar la divisibilitat de $43\text{.}956$ entre $4$, $9$ i $11$.
2. b) Desenvolupa el mètode de la Diana per analitzar la divisibilitat entre $4$ i entre $11$. A continuació, intenta fer servir la seva descomposició per decidir si és divisible entre $9$: són $44\text{.}000$ o $44$ múltiples de $9$? Què passa en aquest cas?
3. c) Compara els tres mètodes: quin és el més ràpid per a aquest nombre concret? Si haguessis d'analitzar el nombre $43\text{.}951$, continuaria sent avantatjós el mètode de la Diana respecte al de la Clara? Justifica quin triaries com a regla general.

Una entitat bancària espanyola genera codis de seguretat de quatre dígits de la forma $C = A\text{.}32B$ (on $A$ representa la xifra dels milers i $B$ la de les unitats). Perquè el sistema accepti el codi, s'han de complir simultàniament tres condicions:

1. El nombre és divisible per $4$ i per $5$ alhora.

2. El nombre és divisible per $11$.

3. El nombre és divisible per $3$, però no és divisible per $9$.

1. a) Dedueix de manera ordenada, aplicant els criteris de divisibilitat, el valor obligatori que ha de prendre la xifra $B$. A continuació, demostra que només hi ha un valor possible per a la xifra $A$. Quin és el codi $C$ definitiu?
2. b) L'informàtic del banc afirma: «Qualsevol nombre de quatre xifres que acabi en les dues mateixes xifres que $C$ serà divisible per $4$, sense importar quines xifres posem en els milers i en les centenes». Recolzant-te en l'explicació teòrica dels apunts sobre el nombre $100$ ($100 = 4 \cdot 25$), justifica si aquesta afirmació és园 vertadera o falsa.
3. c) Sense fer divisions llargues, justifica raonadament si el codi obtingut $C$ és divisible entre $33$ i si és divisible entre $60$ utilitzant les propietats dels múltiples i divisors.