Exercicis: Mínim comú múltiple

Per començar a practicar, farem servir el mètode d'escriure la llista de múltiples. Escriu els $10$ primers múltiples dels nombres $4$ i $5$ (sense comptar el zero). Després, identifica quin és el mínim comú múltiple ($m.c.m.$) d'ambdós.

Busca el primer nombre que apareix repetit a les dues llistes.

Calcula de forma ràpida el $m.c.m. (3, 9)$. Fixa't bé en la relació que hi ha entre els dos nombres abans de començar a calcular. És un múltiple de l'altre? Raona si en aquest cas necessites fer moltes operacions.

A la prestatgeria d'una botiga de còmics, volen apilar volums de "Manga" que mesuren $12$ mm de gruix i volums de "Novel·la Gràfica" que mesuren $18$ mm de gruix. Quina és l'alçada mínima a la qual han d'arribar totes dues piles perquè mesurin exactament el mateix?

Tres campanes d'una església sonen amb diferents intervals: la primera sona cada $6$ minuts, la segona cada $9$ minuts i la tercera cada $12$ minuts. Si han sonat totes tres juntes a les $10:00$ del matí, a quina hora tornaran a coincidir de nou?

Dos atletes entrenen en una pista circular. Lucía triga $60$ segons a fer una volta completa i Adrián hi triga $75$ segons. Si surten junts de la línia de meta, quants segons trigaran a tornar a creuar la meta al mateix temps? Quantes voltes haurà fet cadascun en aquell moment?

Calcula el mínim comú múltiple dels parells de nombres següents utilitzant la descomposició en factors primers:

1. a) $\text{m.c.m.}(10, 15)$

1. b) $\text{m.c.m.}(8, 12)$

1. c) $\text{m.c.m.}(20, 30)$

Marta està organitzant una festa i vol comprar fràncfurts. Les salsitxes vénen en paquets de $6$ unitats i els pans en bosses de $8$ unitats. Quin és el nombre mínim de fràncfurts que pot preparar perquè no li sobri cap salsitxa ni cap pa? Quants paquets de cada producte haurà de comprar?

Per calcular el $m.c.m.(6, 18)$, la Lucía realitza la descomposició en factors primers d'ambdós nombres ($6 = 2 \cdot 3$ i $18 = 2 \cdot 3^2$) i aplica la regla general dels factors comuns i no comuns al major exponent. En canvi, en Marcos afirma que no cal fer cap descomposició perquè es veu a simple vista que el resultat és $18$.

1. a) Explica la propietat teòrica que utilitza en Marcos per donar la resposta de manera immediata sense necessitat d'operar.
2. b) Podria utilitzar en Marcos aquesta mateixa drecera mental per calcular directament el $m.c.m.(6, 15)$? Justifica per què en aquest segon cas sí que és convenient recórrer al mètode de descomposició de la Lucía.

La Nerea ha de calcular el $m.c.m.(12, 15)$ per resoldre una tasca de classe. Al seu quadern escriu:

«Pas 1: Descomponc en factors primers: $12 = 2^2 \cdot 3$ i $15 = 3 \cdot 5$.

Pas 2: Prenc els factors amb el menor exponent: l'únic factor que coincideix és el $3$.

Resultat: $m.c.m.(12, 15) = 3$».

1. a) Assenyala els dos errors conceptuals que comet la Nerea en aplicar el mètode. Quin concepte matemàtic ha calculat en realitat en el seu Pas 2?
2. b) Corregeix l'exercici al teu quadern trobant el resultat vertader i raona per què el nombre $3$ mai no podria ser un múltiple de $12$ ni de $15$.

Per desbloquejar un nivell especial en un videojoc matemàtic, necessites trobar el codi d'accés. El codi és el mínim comú múltiple dels tres nombres següents: $36$, $48$ i $60$.

Fes la descomposició en factors primers de cada nombre i calcula el codi final.

Dues llums d'un escenari de concerts parpellegen a ritmes diferents. La llum taronja s'encén cada $12$ segons i la llum blanca cada $15$ segons. Si totes dues llums s'acaben d'encendre alhora en començar una cançó:

1. a) Quants segons tardaran a tornar a coincidir enceses per primera vegada?

1. b) Quantes vegades hauran coincidit durant els primers $3$ minuts de la cançó?

La figura mostra els primers encesos de cada llum.

Una botiga d'esports rep un carregament de pilotes de futbol en caixes de $15$ unitats i pilotes de bàsquet en caixes de $20$ unitats. Si la botiga vol tenir el mateix nombre de pilotes de cada tipus per a una promoció:

1. a) Quin és el nombre mínim de pilotes de cada classe que ha de tenir?
2. b) Quantes caixes de pilotes de futbol i quantes de bàsquet necessita comprar per assolir aquesta quantitat?

Volem cobrir el terra d'un estudi d'enregistrament que té forma de quadrat perfecte amb panells insonoritzants rectangulars de $18$ cm d'amplada per $24$ cm de llargada.

Quina ha de ser la mesura mínima del costat de l'habitació perquè puguem col·locar els panells sense haver de tallar-ne cap? Quants panells necessitarem en total per cobrir tot el terra?

Tres autobusos escolars surten de la mateixa estació central a les $08:00$ del matí. L'autobús de la Ruta A passa per l'estació cada $45$ minuts, el de la Ruta B cada $60$ minuts i el de la Ruta C cada $90$ minuts.

A quina hora tornaran a coincidir tots tres autobusos a l'estació per primera vegada?

Troba un nombre comprès entre $300$ i $400$ que sigui, simultàniament, múltiple de $12$, $15$ i $18$. Explica els passos que has seguit per trobar-lo utilitzant el concepte de mínim comú múltiple.

En una parada d'autobús urbà coincideixen dues línies a les 08:00 del matí. La línia circular A passa cada $14$ minuts i la línia interurbana B cada $21$ minuts.

1. a) Abans de calcular el resultat exacte, estima i acota l'interval: és possible que tornin a coincidir abans que passin $21$ minuts? I després de $294$ minuts ($14 \cdot 21$)? Raona per què el $m.c.m.$ de dos nombres mai no pot ser menor que el major d'ells ni major que el seu producte.
2. b) Calcula el $m.c.m.(14, 21)$ mitjançant descomposició en factors primers i comprova si la teva estimació era correcta.
3. c) A quina hora exacta tornaran a coincidir a la parada per primera vegada?

A l'estació de Rodalies de Méndez Álvaro (Madrid), coincideixen a les 07:00 del matí les sortides de tres trens: un comboi de la línia C-1 (sortides cada $12$ minuts), un altre de la línia C-5 (cada $8$ minuts) i un altre de la línia C-10 (cada $20$ minuts).

1. a) Modela la situació calculant quants minuts trigaran els tres trens a tornar a sortir simultàniament d'aquesta estació.
2. b) A quina hora exacta del matí es produirà aquesta propera coincidència?
3. c) Un avís a les pantalles de l'estació afirma que els tres trens coincidiran quatre vegades més al llarg d'aquell mateix matí, abans de les 13:00. Comprova matemàticament si la informació de les pantalles és vertadera o falsa.

Un col·leccionista de figures d'acció té menys de $1.000$ peces. Sap que si les organitza en caixes de $18$, no en sobra cap. Si les organitza en caixes de $20$, tampoc no en sobra cap, i si les agrupa de $24$ en $24$, el recompte també és exacte.

1. a) Quina és la quantitat mínima de figures que pot tenir?
2. b) Si sap que el nombre total de figures està comprès entre $700$ i $800$, quantes figures té exactament?

Volem construir un cub sòlid utilitzant maons de joguina que mesuren $15$ cm de llargada, $10$ cm d'amplada i $6$ cm d'alçada.

1. a) Quina ha de ser la mesura de l'arista del cub més petit que podem formar sense tallar cap maó?
2. b) Quants maons de joguina necessitarem en total per construir aquest cub?

Tres músics d'una banda de jazz estan assajant un patró rítmic. El bateria pica el plat cada $8$ temps, el baixista toca una nota greu cada $12$ temps i el pianista fa un acord cada $15$ temps.

1. a) Si comencen el compàs alhora, en quin número de temps tornaran a sonar tots tres instruments alhora?
2. b) Si el pianista decidís tocar cada $18$ temps en lloc de $15$, trigarien més o menys a coincidir? Justifica la resposta amb càlculs.

El far d'una illa emet una llum blanca cada $12$ segons, i un far proper emet una llum vermella cada $16$ segons. Un tercer far emet una llum verda cada $20$ segons. A les $22:00$ hores s'han vist coincidir les tres llums.

1. a) Cada quants minuts i segons coincideixen les tres llums?
2. b) Quantes vegades coincidiran les tres llums en total des de les $22:00$ fins a les $23:00$ hores? (Tín en compte que la primera coincidència és a les $22:00$).

Troba tots els nombres naturals més petits que $150$ que siguin múltiples comuns de $4, 6$ i $9$ alhora. Per fer-ho:

1. a) Calcula primer el $m.c.m.(4, 6, 9)$.
2. b) Escriu la sèrie de múltiples d'aquest valor fins a arribar al límit indicat.
3. c) Quin és el múltiple més gran d'aquests tres nombres que és més petit que $500$?

El mínim comú múltiple de dos nombres naturals, $24$ i $b$, és igual a $120$. És a dir, $m.c.m.(24, b) = 120$.

1. a) Descompon en factors primers tant el nombre $24$ com el resultat, $120$.
2. b) Dedueix quin factor primer ha d'aparèixer de manera obligatòria en la descomposició de $b$ i explica per què cap nombre que no tingui aquest factor primer podria complir la condició.
3. c) Troba els tres valors més petits que pot prendre el nombre $b$, sabent que $b > 1$. Comprova en cada cas que el $m.c.m.(24, b)$ continua donant exactament $120$.
4. d) Podria ser $b = 120$? Raona si és possible basant-te en la relació de divisibilitat entre $24$ i $120$.

Un taller de ceràmica a Talavera de la Reina fabrica rajoles rectangulars de $15\text{ cm}$ d'amplada per $24\text{ cm}$ de llargada. Volen col·locar-les sobre una paret, sense tallar cap peça i orientades totes en el mateix sentit, per formar una superfície quadrada com més petita millor.

1. a) Justifica amb precisió per què la mesura del costat d'aquest quadrat ha de ser un múltiple comú de $15$ i $24$, i calcula quant mesurarà el costat del quadrat més petit que poden compondre.
2. b) Quantes rajoles rectangulars es necessitaran en total per cobrir aquest primer quadrat? Justifica la teva resposta relacionant les dimensions del quadrat amb les de la rajola.
3. c) Un client vol encarregar un mural quadrat més gran, però el taller només disposa d'una caixa amb $140$ rajoles d'aquest model. Raona si tindran prou peces per formar la següent mida de quadrat possible sense que falti ni sobri cap rajola del mural.