Exercicis: Operacions amb nombres decimals

En una botiga d'accessoris per a mòbils, en Marc vol comprar una funda que costa $12,45$ € i un protector de pantalla que val $8,90$ €. Si en Marc paga amb un bitllet de $50$ €, quants diners li retornaran a caixa?

Calcula de forma mental aquestes operacions utilitzant la unitat seguida de zeros. Recorda desplaçar la coma cap al costat correcte segons si es multiplica o es divideix:

1. a) $34,57 \cdot 10$
2. b) $0,23 \cdot 100$
3. c) $458,2 : 10$
4. d) $12,5 : 1000$

La Marta ha anat a la fruiteria i ha comprat $2,5$ kg de pomes a un preu de $1,80$ € el quilo. En arribar a casa, se n'adona que una de les pomes està en mal estat i decideix retornar-la. Si la poma pesava $0,25$ kg, quants diners li han de retornar a la Marta?

Per fer una recepta de cuina, necessitem dividir un paquet de farina de $1,5$ kg en $6$ racions exactament iguals per fer magdalenes. Quants quilograms de farina pesarà cada ració? Expressa el resultat també en grams.

Fes les operacions combinades següents respectant la jerarquia de les operacions (parèntesis, multiplicacions/divisions i finalment sumes/restes):

1. a) $4,5 + 2,1 \cdot 3$
2. b) $(12,8 - 3,4) : 2$
3. c) $5 \cdot 0,25 + 1,75$

Un grup de $4$ amics va al cinema. El total de les entrades i les crispetes ha estat de $45,80$ €. Si han decidit pagar tots la mateixa quantitat, quants diners ha de posar cadascun? Si un d'ells només té un bitllet de $10$ € i una moneda de $2$ €, tindrà prou diners?

Copia i completa les igualtats següents posant el nombre decimal que falta perquè l'operació sigui correcta:

1. a) $15,45 + \dots = 20$
2. b) $7,2 - \dots = 4,55$
3. c) $\dots \cdot 3 = 12,9$

Una atleta està entrenant en una pista circular. Cada volta a la pista té una longitud de $0,45$ km. Si avui ha completat un total de $12$ voltes, quants quilòmetres ha recorregut en total? Si el seu objectiu era recórrer $6,3$ km, quantes voltes més hauria d'haver fet?

La Sofia té un llistó de fusta de $14,2\text{ m}$ i necessita tallar un tram de $3,75\text{ m}$ per construir una prestatgeria. Per calcular quanta fusta li sobra, planteja la resta $14,2 - 3,75$ en vertical i afirma que el resultat és $11,55\text{ m}$, raonant de la manera següent: «a la columna de les centèsimes, com que a dalt no hi ha res, baixo directament el $5$; a les dècimes resto la xifra més gran menys la més petita, $7 - 2 = 5$; i a les unitats resto $14 - 3 = 11$».

1. a) Identifica i explica els dos errors conceptuals comesos per la Sofia relacionats amb el valor posicional de les xifres i l'operació de restar.
2. b) Explica per què és imprescindible afegir zeros a la dreta de la part decimal del minuend abans d'operar.
3. c) Col·loca correctament l'operació en columna i troba la longitud exacta de llistó que li queda a la Sofia.

Vas a la botiga de queviures del teu barri amb un únic bitllet de $15\text{ €}$ i poses a la cistella els articles següents:

• $1$ paquet de cafè per $3,95\text{ €}$,

• $2$ briks de llet a $1,05\text{ €}$ cadascun,

• $1$ barra de pa artesanal per $0,98\text{ €}$, i

• $3$ paquets de galetes a $1,99\text{ €}$ cadascun.

1. a) Abans de fer cap compte escrit amb decimals, fes una estimació mental arrodonint el preu de cada article a la unitat sencera d'euro més propera. Amb aquesta estimació, raona si tindràs prou diners amb el bitllet de $15\text{ €}$ per pagar la compra.
2. b) Fes ara les operacions exactes en columna pas a pas per calcular l'import total que marca la caixa registradora.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial ha estat encertada, calcula quants diners exactes et sobren o et falten i reflexiona sobre en quines situacions de la vida quotidiana resulta útil estimar abans de calcular.

Tres amics decideixen berenar junts. Compren un pack de refrescos per $4,85$ €, una bossa de patates fregides de mida familiar que costa $2,30$ € i una caixa de pastissets per $5,45$ €. Si paguen amb un bitllet de $20$ €, quants diners els sobraran per comprar llaminadures a la sortida?

Una bobina de filament per a una impressora 3D pesa exactament $1,25$ kg. Si per fabricar una peça petita s'utilitzen $0,015$ kg de plàstic, quantes peces completes es poden fabricar amb una sola bobina? Quina quantitat de filament sobrarà al final?

La Valentina vol descarregar tres fitxers de videojocs a la seva consola. El primer ocupa $4,35$ GB, el segon el doble que el primer, i el tercer $1,2$ GB menys que el segon. Si la seva connexió descarrega a una velocitat constant de $0,05$ GB per segon, quants segons trigarà a completar-se la descàrrega dels tres fitxers?

Calcula el resultat de les operacions combinades següents respectant la jerarquia de les operacions:

1. a) $12,5 + 3,8 \cdot (6,4 - 2,15)$

1. b) $(15,4 + 8,6) : 2,5 - 1,02 \cdot 4$

Un ajuntament vol tancar amb una tanca un parc rectangular que mesura $25,4$ metres de llarg i $12,75$ metres d'amplada. El preu de la tanca és de $15,20$ € per cada metre lineal. Si el pressupost total disponible és de $1.200$ €, tenen prou diners per tancar tot el parc? Justifica la teva resposta amb els càlculs necessaris.

En una oferta de "Tornada a l'Escola", un paquet de $5$ quaderns costa $8,25$ €, mentre que si els compres solts, cadascun costa $1,80$ €.

Quin és l'estalvi total si decidim comprar $15$ quaderns utilitzant l'oferta dels paquets en lloc de comprar-los per separat?

Un corredor de marató ha completat una etapa de $15,6$ km en una hora i mitja ($1,5$ hores).

1. a) Quina ha estat la seva velocitat mitjana en km/h?
2. b) Si manté la mateixa velocitat, quants quilòmetres recorrerà en $2,25$ hores?

Una empresa de missatgeria cobra una tarifa fixa de $4,50$ € per enviament, més $0,85$ € per cada quilogram de pes del paquet. Si volem enviar un paquet que pesa $3,4$ kg i apliquem un cupó de descompte de $1,25$ € sobre el preu final, quant ens costarà l'enviament? Escriu l'expressió amb operacions combinades i resol-la.

En el tiquet de compra d'una fruiteria s'ha esborrat una part a causa d'una taca d'humitat. Les úniques dades que es llegeixen amb claredat són les següents:

• Pomes: $3,5\text{ kg}$ a un preu desconegut per quilogram.

• Plàtans: $1,2\text{ kg}$ a $1,85\text{ €/kg}$.

• Pagament lliurat a caixa: un bitllet de $20\text{ €}$.

• Canvi exacte rebut: $11,48\text{ €}$.

1. a) Utilitza el mètode de les operacions inverses: calcula primer la despesa total de la compra i, restant l'import corresponent als plàtans, determina quants diners van costar en total les pomes.
2. b) A partir del cost total de les pomes, planteja i resol la divisió amb decimals necessària per esbrinar el preu exacte d'un quilogram de pomes.
3. c) Reconstrueix el compte complet en sentit directe per verificar que totes les operacions i el canvi tornat són correctes.

En una estació meteorològica de l'AEMET situada a la comarca de Cazorla (Jaén) es van registrar les dades següents de precipitació durant quatre dies consecutius:

• Dilluns: es van recollir $16,5\text{ l/m}^2$.

• Dimarts: va ploure $4,2\text{ l/m}^2$ menys que dilluns.

• Dimecres: la pluja va ser igual a $1,2$ vegades la quantitat registrada dimarts més una aportació de tempesta de $0,84\text{ l/m}^2$.

• Dijous: es va registrar exactament la mitjana aritmètica (la mitjana) del que havia plogut els tres dies anteriors.

1. a) Modela la situació expressant i calculant pas a pas la quantitat exacta de pluja recollida cadascun dels quatre dies (mostra amb claredat la col·locació de la coma decimal en cada càlcul).
2. b) Calcula la precipitació total acumulada al llarg dels quatre dies.
3. c) Si cada litre per metre quadrat registrat en aquesta conca aporta un volum directe de $10\,000\text{ m}^3$ d'aigua a un embassament proper, calcula quants metres cúbics d'aigua van entrar en total a l'embassament durant aquests quatre dies aplicant la regla per multiplicar per potències de $10$.

Calcula el resultat de la següent operació combinada, respectant estrictament la jerarquia de les operacions i treballant amb tots els decimals obtinguts:

Un cop obtingut el resultat final, aproxima'l per arrodoniment a les centèsimes i per truncament a les dècimes.

En una botiga de tecnologia, un videojoc costa $59,95 €$. Durant la setmana del "Black Friday", ofereixen un descompte de la quarta part del seu valor. Si un adolescent decideix comprar-lo i lliura un bitllet de $50 €$, calcula:

1. a) El preu final del videojoc després d'aplicar el descompte (arrodoneix als cèntims d'euro si cal).
2. b) Tindrà prou diners? Si li falten, indica quants. Si li sobren, indica el canvi exacte que rebrà.

Un agricultor té un dipòsit d'aigua amb una capacitat total de $1\,250,5$ litres. A causa d'una petita fissura, el dipòsit perd $0,75$ litres cada hora. Simultàniament, una bomba d'aigua aboca al dipòsit $12,4$ litres cada $15$ minuts. Si en aquest moment el dipòsit conté $840,25$ litres:

Quants litres hi haurà al dipòsit exactament al cap de $4$ hores i mitja? Expressa el resultat amb dues xifres decimals.

Observa el rectangle de la figura, de base $b = 12,45 \text{ cm}$ i altura $h = 8,2 \text{ cm}$.

Calcula'n l'àrea i el perímetre. Posteriorment, imagina que reduïm tant la base com l'altura a la meitat. Quina serà la nova àrea? És l'àrea resultant la meitat de l'original o ha canviat d'una altra manera? Justifica la teva resposta fent les operacions necessàries.

Tres amics volen comprar una subscripció a una plataforma de streaming que costa $17,99 €$ al mes. Decideixen repartir la despesa de la manera següent: en Juan pagarà la meitat, la Marta pagarà un terç de la resta i la Lucía pagarà el que falti.

Calcula la quantitat exacta (amb tots els decimals) que ha d'aportar cadascun. Si el banc només permet pagar amb dos decimals, qui creus que hauria d'assumir l'arrodoniment del cèntim sobrant perquè la suma sigui exactament $17,99 €$?

Un cotxe de Fórmula 1 ha trigat $1 \text{ minut}$ i $24,352 \text{ segons}$ a fer una volta al circuit. Si el seu principal rival ha trigat $84,12 \text{ segons}$ a fer el mateix recorregut:

1. a) Quin dels dos ha estat més ràpid?
2. b) Calcula la diferència de temps entre tots dos expressada en segons.
3. c) Si el primer cotxe manté el seu ritme, quant de temps trigarà a fer $15$ voltes completes? Expressa el resultat en minuts i segons.

Estem cuinant una recepta que requereix $0,250 \text{ kg}$ de farina per fer $6$ magdalenes. Si volem convidar tota la classe ($28$ alumnes) i volem que cadascú mengi $2$ magdalenes:

1. a) Quanta farina necessitarem en total? Expressa el resultat en quilograms.
2. b) Si comprem paquets de farina de $0,75 \text{ kg}$, quants paquets haurem de comprar com a mínim? Quanta farina ens sobrarà exactament?

La tarifa del mòbil de l'Alex té una quota fixa de $22,50 €$ al mes. Si es passa dels gigues inclosos, cada GB extra costa $0,50 €$, i cada minut de trucada internacional costa $0,12 €$. Aquest mes ha fet $45$ minuts de trucades internacionals i el cost dels GB extra ha estat exactament la cinquena part de la quota fixa:

1. a) Quants GB extra ha consumit?
2. b) Quin és l'import total de la factura abans d'impostos?
3. c) Si al total cal afegir-hi el $21\%$ d'IVA (multiplicar per $0,21$ i sumar al total), quin serà el preu final de la factura? (Arrodoneix el resultat final als cèntims d'euro).

Per a una instal·lació de telecomunicacions en un centre educatiu es disposa d'una bobina de cable de xarxa de $45\text{ m}$ de longitud. S'han de tallar trams idèntics de $0,75\text{ m}$ i cada tram es facturarà a un preu de $2,40\text{ €}$. Dos estudiants proposen mètodes diferents per calcular els diners totals que s'obtindran:

• Mètode de l'Alba: Treballa directament en metres i euros amb decimals. Primer divideix $45 : 0,75$ aplicant la regla de multiplicar dividend i divisor per $100$ ($4500 : 75$) perquè el divisor sigui sencer, i després multiplica el quocient per $2,40$.

• Mètode d'en Bruno: Converteix prèviament totes les quantitats a nombres sencers canviant d'unitat: passa els $45\text{ m}$ a centímetres ($4500\text{ cm}$), els $0,75\text{ m}$ a centímetres ($75\text{ cm}$) i el preu unitari a cèntims ($240\text{ cèntims}$). Resol les operacions amb sencers i al final passa el resultat a euros dividint entre $100$.

1. a) Desenvolupa completament tots dos mètodes i comprova que amb tots dos s'arriba exactament al mateix import total.
2. b) Justifica matemàticament per què la regla de «treure decimals al divisor multiplicant per potències de $10$» equival en el fons al canvi d'unitats que fa en Bruno.
3. c) Suposa ara que els trams necessaris havien de mesurar $0,7\text{ m}$. En fer la divisió sencera equivalent $450 : 7$, s'obté un quocient de $64$ i un residu de $2$. Explica raonadament quina és la longitud real de cable que sobra de la bobina ($2\text{ m}$, $0,2\text{ m}$ o $0,02\text{ m}$) i quina precaució has de tenir sempre en interpretar el residu d'una divisió amb decimals.

En la factura mensual d'electricitat d'un habitatge a Espanya es detallen els conceptes regulats següents:

• Terme fix de potència: es cobren $0,115\text{ €}$ al dia per cada quilowatt ($\text{kW}$) contractat. L'habitatge té contractats $4,6\text{ kW}$ i el període facturat és de $30\text{ dies}$.

• Terme de consum d'energia: es cobra a un preu de $0,148\text{ €}$ per cada quilowatt-hora ($\text{kWh}$) consumit.

• Impost elèctric: es calcula multiplicant el subtotal (la suma del terme de potència més el terme de consum) pel factor decimal $0,0511$.

1. a) Modela la factura calculant el cost exacte del terme fix de potència per als $30$ dies fent les multiplicacions amb tots els seus decimals.
2. b) Si el subtotal de la factura d'aquell mes (abans d'aplicar l'impost elèctric) va ser exactament de $60,27\text{ €}$, planteja i resol les operacions inverses necessàries per deduir quants $\text{kWh}$ va consumir la família en aquell període.
3. c) Calcula l'import de l'impost elèctric arrodonint el resultat final als cèntims d'euro (dues xifres decimals). A continuació, justifica per què les comercialitzadores elèctriques fixen els preus unitaris amb tres o més xifres decimals (mil·lèsimes d'euro, com ara $0,148\text{ €}$) en lloc d'arrodonir-los des del principi als cèntims ($0,15\text{ €}$).