Exercicis: Fracció generatriu d'un nombre decimal

Per començar a treballar amb les fraccions generatrius, és fonamental saber quin tipus de nombre tenim davant. Classifica els nombres decimals següents en decimal exacte, periòdic pur o periòdic mixt:

1. a) $3,15$
2. b) $0,666...$
3. c) $12,4777...$
4. d) $5,232323...$
5. e) $8,02333...$

Al laboratori de Ciències Naturals, has pesat una mostra de sorra i la balança marca $0,75$ grams. Escriu aquest nombre en forma de fracció decimal (amb potència de 10 al denominador) i després simplifica-la fins a obtenir la seva fracció generatriu irreductible.

Identifica els elements dels nombres decimals periòdics següents. Per a cadascun, indica quina és la seva part entera, quin és el seu anteperíode (si en té) i quin és el seu període:

1. a) $5,888...$

1. b) $0,1232323...$

1. c) $14,5262626...$

Calcula la fracció generatriu dels nombres decimals exactes següents. Recorda simplificar el resultat sempre que sigui possible:

1. a) $0,5$
2. b) $1,2$
3. c) $0,25$
4. d) $0,08$

Un videojoc indica que has completat el $0,\overline{6}$ d'una missió. Per saber la part exacta del mapa que has recorregut, converteix aquest nombre decimal periòdic pur en la seva fracció generatriu.

Associa cada nombre decimal amb la seva fracció corresponent. No cal fer càlculs llargs, utilitza la lògica dels decimals exactes:

Troba la fracció generatriu dels nombres decimals periòdics purs següents d'una sola xifra al període. Simplifica si pots:

1. a) $0,\overline{3}$
2. b) $0,\overline{7}$
3. c) $1,\overline{1}$
4. d) $0,\overline{5}$

En una oferta d'una botiga de música, un àlbum digital costa $9,90$ €. Expressa el preu de l'àlbum com una fracció de nombres naturals i simplifica-la fins que no es pugui reduir més.

Per expressar el nombre decimal periòdic pur $0,\widehat{4}$ en forma de fracció, en Carlos ha escrit a la pissarra:

1. a) Sense fer cap divisió encara, explica quina confusió ha tingut en Carlos entre els decimals exactes i els periòdics a l'hora de triar el denominador.
2. b) Comprova l'error d'en Carlos fent a mà la divisió decimal de $2$ entre $5$ i raona per què el seu resultat no coincideix amb el nombre de partida.
3. c) Aplica la regla de la fracció generatriu per obtenir la fracció irreductible que representa de manera exacta $0,\widehat{4}$.

Volem esbrinar la fracció generatriu del nombre decimal periòdic pur $0,\widehat{7}$.

1. a) Estima: Recorda que $0,5 = \frac{1}{2}$ i que $0,75 = \frac{3}{4}$. Raona si el valor de $0,\widehat{7}$ ha de ser més gran o més petit que $\frac{3}{4}$.
2. b) Calcula: Obtén la fracció generatriu de $0,\widehat{7}$ aplicant la regla dels decimals periòdics purs. És una fracció irreductible o es pot simplificar?
3. c) Comprova: Redueix a comú denominador la fracció $\frac{3}{4}$ i la fracció obtinguda a l'apartat anterior per comparar-ne els numeradors. Confirmen els càlculs la teva estimació inicial?

Classifica els nombres decimals següents en exactes, periòdics purs o periòdics mixtos. Un cop classificats, calcula la fracció generatriu de cadascun d'ells i simplifica el resultat fins a obtenir la fracció irreductible:

1. a) $3,15$
2. b) $0,\widehat{12}$
3. c) $2,1\widehat{6}$

En un videojoc d'estratègia, una barra de càrrega indica que s'ha completat el $0,85$ d'una missió especial. Quina fracció irreductible de la missió ja s'ha completat? Calcula la fracció generatriu d'aquest nombre decimal i simplifica-la.

En una etapa contrarellotge de La Vuelta Ciclista a España, el cronòmetre oficial registra que el guanyador ha trigat exactament $1,1\widehat{6}$ hores a completar el recorregut.

1. a) Classifica aquest nombre decimal (exacte, periòdic pur o periòdic mixt) i indica'n la part sencera, l'anteperíode i el període.
2. b) Troba la fracció generatriu irreductible d'aquest temps en hores, calculant la fracció corresponent a la part decimal i sumant-li després la part sencera.
3. c) Un comentarista de televisió arrodoneix la dada a $1,16$ hores i afirma: «El ciclista ha trigat exactament $1$ hora i $16$ minuts». Multiplica la fracció generatriu irreductible de l'apartat anterior pels $60$ minuts que té una hora per trobar el temps real exacte i explica els dos errors comesos pel comentarista.

Per calcular la fracció generatriu del nombre decimal periòdic pur $2,\widehat{54}$, dues alumnes segueixen estratègies diferents:

• Estratègia de la Irene (nombre mixt): Separa la part sencera i escriu $2 + \frac{54}{99}$. Després simplifica la fracció periòdica i finalment suma la part sencera.

• Estratègia de la Sofia (fracció directa): Posa al numerador la resta de tot el nombre sense coma menys la part sencera: $\frac{254 - 2}{99}$, i després simplifica la fracció resultant.

1. a) Desenvolupa pas a pas tots dos mètodes i comprova que amb tots dos s'arriba a la mateixa fracció irreductible.
2. b) Compara els dos camins: quin consideres més avantatjós si has de treballar amb un nombre amb una part sencera molt gran, com ara $340,\widehat{6}$? Justifica la teva resposta valorant la dificultat dels càlculs en cada cas.

Busquem un nombre decimal més gran que $1$ la fracció generatriu irreductible del qual tingui obligatòriament com a denominador el nombre $33$. Sabem que la seva part sencera és $1$ i que el seu període té dues xifres que comencen per $4$; és a dir, el nombre és de la forma $1,\widehat{4a}$, on $a$ és una xifra desconeguda.

1. a) Raona per què aquest decimal ha de ser necessàriament periòdic pur i no pot ser exacte ni periòdic mixt, analitzant de quin denominador sense simplificar procedeix el $33$.
2. b) Escriu la fracció amb denominador $99$ equivalent a la fracció irreductible de denominador $33$. Per quin factor s'ha hagut de simplificar?
3. c) Esbrina quins possibles valors pot prendre la xifra $a$ perquè, després de simplificar entre aquest factor, la fracció resultant sigui irreductible i conservi el denominador $33$ (recorda que el numerador simplificat no pot compartir divisors amb $33$). Escriu els nombres decimals trobats i les seves respectives fraccions irreductibles.

En una estació de vigilància sísmica de l'Instituto Geográfico Nacional (IGN) a Andalusia, dos sensors registren el moviment d'una falla:

• El sensor A detecta un desplaçament de $0,2\widehat{6}$ mil·límetres.

• El sensor B detecta un desplaçament de $0,\widehat{4}$ mil·límetres.

Un tècnic novell afirma: «Sumem les xifres directament: $0,2\widehat{6} + 0,\widehat{4} = 0,6\widehat{10}$, la qual cosa equival exactament a un desplaçament total de $0,7$ mil·límetres».

1. a) Justifica detalladament per què el procediment del tècnic és matemàticament incorrecte i explica quin problema sorgeix en intentar sumar directament xifres que es repeteixen fins a l'infinit.
2. b) Modela la situació calculant la fracció generatriu irreductible del registre de cada sensor.
3. c) Suma les dues fraccions per obtenir la fracció generatriu irreductible del desplaçament total. Passa-la una altra vegada a forma decimal, classifica el decimal resultant i calcula la diferència exacta entre el valor real i els $0,7$ mil·límetres que havia estimat el tècnic.