Exercicis: Concepte

En una botiga d'esports, els preus de tres articles s'han escrit amb lletres. Escriu al teu quadern el nombre decimal que correspon a cadascun utilitzant xifres:

1. a) Unes ulleres de natació que costen vuit euros amb quinze cèntims.
2. b) Una pilota de tennis que costa dos euros amb vuit cèntims.
3. c) Uns pantalons curts de corredor que costen dotze euros amb cinquanta cèntims.

Indica quin valor de posició (unitats, dècimes, centèsimes o mil·lèsimes) té la xifra $7$ en cadascun dels nombres següents:

1. a) $15,72$
2. b) $0,007$
3. c) $7,431$
4. d) $2,075$

Descompon els nombres decimals següents segons els seus ordres d'unitats, com a l'exemple:

Exemple: $4,25 = 4$ unitats + $2$ dècimes + $5$ centèsimes.

1. a) $8,39$
2. b) $12,045$
3. c) $0,614$

Observa la recta numèrica següent i escriu quin nombre decimal correspon a cadascuna de les lletres marcades amb un punt taronja:

Copia al teu quadern i utilitza els signes $<$ o $>$ per comparar aquestes parelles de nombres decimals:

1. a) $5,4$ ____ $5,39$
2. b) $0,25$ ____ $0,3$
3. c) $12,07$ ____ $12,071$
4. d) $6,1$ ____ $6,099$

Relaciona cada nombre decimal amb la seva fracció decimal corresponent:

• Nombres: $0,7$ | $0,07$ | $7,7$ | $0,77$

• Fraccions: $\frac{77}{100}$ | $\frac{7}{10}$ | $\frac{7}{100}$ | $\frac{77}{10}$

Si dividim un quadrat en $100$ parts iguals, cada part és una centèsima ($0,01$). Observa la imatge següent i escriu quin nombre decimal representa la zona ombrejada en taronja:

Completa aquestes equivalències entre ordres d'unitats:

1. a) $4$ unitats = ____ dècimes.
2. b) $70$ centèsimes = ____ dècimes.
3. c) $5$ dècimes = ____ mil·lèsimes.
4. d) $300$ mil·lèsimes = ____ centèsimes.

Lucía està ordenant mesures per a una pràctica del laboratori escolar i afirma amb seguretat: «El nombre $3,125$ és més gran que $3,8$ perquè $125$ és molt més gran que $8$».

1. a) Explica quin és l'error conceptual que comet Lucía respecte al valor posicional de les xifres decimals després de la coma.
2. b) Mostra com es comparen correctament tots dos nombres igualant la seva quantitat de xifres decimals mitjançant zeros.
3. c) Escriu la relació d'ordre correcta entre tots dos utilitzant el símbol adequat ($<$ o $>$).

En una prova del Campionat d'Espanya d'Atletisme Sub-14, el sistema de cronometratge digital va registrar els temps de tres atletes a la final dels $80\text{ m}$ llisos: Darío va trigar $10,18\text{ s}$, Lucas va marcar $10,2\text{ s}$ i Mateo va aturar el rellotge en $10,105\text{ s}$.

1. a) Escriu els tres temps amb la mateixa precisió (en mil·lèsimes de segon) afegint els zeros necessaris perquè tinguin el mateix nombre de xifres decimals.
2. b) Ordena els atletes de menor a major temps (del més ràpid al més lent) per determinar les posicions de podi.
3. c) Quantes centèsimes de segon van separar el guanyador de la prova del segon classificat? Raona la teva resposta a partir del valor de posició de cada xifra.

En un laboratori de ciències, un grup d'estudiants ha mesurat la massa d'una mostra de mineral amb una balança de precisió. El resultat obtingut és de $42,308$ grams.

Indica quin valor representa cada xifra en aquest nombre:

• La xifra $4$ representa les ............................

• La xifra $2$ representa les ............................

• La xifra $3$ representa les ............................

• La xifra $0$ representa les ............................

• La xifra $8$ representa les ............................

Escriu a més la seva descomposició polinòmica utilitzant unitats i fraccions decimals.

En les olimpíades escolars, els temps registrats a la final dels $100$ metres llisos han estat molt ajustats. Els jutges han anotat els resultats següents en segons:

$12,45$ — $12,408$ — $12,5$ — $12,099$ — $12,41$

Ordena els corredors des del més ràpid (menys temps) al més lent (més temps) utilitzant el símbol $<$ i escriu com es llegeix el nombre decimal que correspon al guanyador de la medalla d'or.

Observa la recta numèrica següent on s'han representat diversos punts. Identifica quin nombre decimal exacte correspon a cadascuna de les lletres marcades ($A$, $B$ i $C$).

Classifica els nombres decimals següents indicant si són decimals exactes, periòdics purs o periòdics mixtos. Per als periòdics, assenyala clarament quin és el període i, si n'hi ha, l'anteperíode:

1. a) $5,08$
2. b) $2,333...$
3. c) $14,252525...$
4. d) $0,1666...$
5. e) $3,141592...$ (és aquest últim un nombre decimal periòdic?)

De vegades les fraccions ens ajuden a entendre millor el tipus de nombre decimal que tenim. Sense fer la divisió llarga, classifica l'expressió decimal de les fraccions següents com a exacta o periòdica:

1. a) $\frac{7}{20}$
2. b) $\frac{4}{9}$
3. c) $\frac{13}{6}$
4. d) $\frac{1}{25}$

La Lucía està organitzant la seva motxilla per a una excursió. Ha comprat una ampolla d'aigua per $1,25$ €, una bossa de fruits secs per $3,050$ € i una gorra per $9,9$ €.

1. a) Escriu tots els preus de manera que tinguin el mateix nombre de xifres decimals (afegint zeros si cal).
2. b) Transforma el preu de la gorra en una fracció irreductible.
3. c) Quants cèntims d'euro costa la bossa de fruits secs?

Una de les propietats més curioses dels nombres decimals és que sempre podem trobar un altre nombre entre dos de donats, per molt a prop que estiguin.

Representa gràficament en una recta l'interval entre $0,56$ i $0,57$ i situa-hi tres nombres decimals que es trobin entre tots dos.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Per esbrinar si la fracció $\frac{18}{150}$ dona lloc a un nombre decimal exacte, periòdic pur o periòdic mixt, dos estudiants proposen camins diferents:

• Mètode A (Marcos): Fer directament la divisió $18 : 150$ amb l'algorisme tradicional en paper fins a comprovar si el residu és zero o si les xifres comencen a repetir-se.

• Mètode B (Sara): Simplificar primer la fracció a la seva forma irreductible i descompondre després el nou denominador en factors primers per aplicar el criteri dels dosos i cincs.

1. a) Aplica tots dos mètodes pas a pas i classifica el decimal resultant.
2. b) Si en lloc d'aquesta fracció et demanessin classificar $\frac{21}{8.750}$, quin dels dos mètodes triaries i per què? Justifica la teva decisió explicant la relació entre els factors primers del denominador i les potències de $10$.

Et proposem estudiar el valor decimal de la fracció $\frac{13}{32}$ combinant estimació i anàlisi teòrica:

1. a) Estima: Sense fer la divisió, raona entre quines dues dècimes consecutives ($0,1$; $0,2$; $0,3$; $0,4$; $0,5$...) s'ha de trobar aquest nombre. Per orientar-te, compara-la amb fraccions de referència més senzilles amb aquest mateix denominador, com $\frac{8}{32}$ i $\frac{16}{32}$.
2. b) Comprova: Fes la divisió fins a obtenir les tres primeres xifres decimals i comprova si la teva estimació ha estat encertada.
3. c) Raona: Observant la descomposició factorial del denominador de $\frac{13}{32}$, justifica si el desenvolupament decimal complet acabarà tenint un nombre finit de xifres (exacte) o infinites xifres periòdiques. Si és exacte, dedueix quantes xifres decimals tindrà en total sense necessitat de continuar dividint.

Un nombre decimal està compost per $4$ unitats, $15$ dècimes, $27$ centèsimes i $105$ mil·lèsimes. Fes les agrupacions necessàries (per exemple, $10$ mil·lèsimes formen $1$ centèsima, $10$ centèsimes formen $1$ dècima i $10$ dècimes formen $1$ unitat) per escriure el nombre correctament en la seva forma decimal estàndard i, després, indica quantes mil·lèsimes totals conté aquest nombre.

Troba un nombre decimal $x$ que es trobi exactament a la mateixa distància de $3,14$ i $3,15$. Expressa'l tant en forma decimal com en forma de fracció irreductible. Quin tipus de nombre decimal és el resultat?

Classifica les fraccions següents segons el tipus d'expressió decimal que generen (Exacta, Periòdica Pura o Periòdica Mixta) sense fer la divisió, basant-te únicament en la descomposició en factors primers dels seus denominadors:

1. a) $\frac{7}{40}$
2. b) $\frac{5}{18}$
3. c) $\frac{11}{21}$
4. d) $\frac{9}{250}$

Escriu la fracció generatriu irreductible dels nombres decimals periòdics següents, mostrant el procés pas a pas:

1. a) $2,1\widehat{36}$
2. b) $0,00\widehat{5}$

Ordena de menor a major els nombres decimals següents barrejats amb fraccions. Per comparar-los, transforma tots els elements a la seva expressió decimal amb almenys quatre xifres decimals:

$1,2\widehat{5}$ ; $\frac{5}{4}$ ; $1,2525...$ ; $1,25$ ; $\frac{11}{9}$

Esbrina de quin nombre es tracta sabent que compleix les condicions següents:

1. La seva part sencera és el menor nombre primer parell.

2. Té quatre xifres decimals.

3. La xifra de les mil·lèsimes és el triple que la de les dècimes.

4. La suma de totes les seves xifres és $15$.

5. La xifra de les deumil·lèsimes és la meitat que la de les centèsimes.

Un nanòmetre ($nm$) equival a $0,000000001$ metres. Si el gruix d'un cabell humà és d'aproximadament $0,08$ mil·límetres, expressa aquest gruix en metres fent servir potències de $10$ i determina quants nanòmetres mesura el cabell.

Representa en una recta numèrica l'interval comprès entre $5,67$ i $5,68$. Divideix aquest interval en deu parts iguals (cada part mesura $0,001$) i marca la posició exacta dels nombres $5,674$ i $5,679$.

1. a) Dibuixa la recta amb l'interval dividit en deu parts iguals i escriu sota les marques els nombres corresponents.

1. b) Marca a la teva recta els nombres $5,674$ i $5,679$.

1. c) Troba un nombre decimal que tingui exactament cinc xifres decimals (l'última xifra diferent de $0$) i que estigui situat entre $5,674$ i $5,679$.

Se't planteja el repte invers de construir dues fraccions irreductibles diferents, $\frac{A}{B}$ i $\frac{C}{D}$, que compleixin simultàniament aquestes tres condicions:

1. El valor decimal de totes dues fraccions ha d'estar comprès estrictament entre $0,65$ i $0,75$.

2. Els denominadors $B$ i $D$ han de ser nombres enters de dues xifres menors que $30$.

3. La fracció $\frac{A}{B}$ ha de ser un decimal exacte, mentre que la fracció $\frac{C}{D}$ ha de ser un decimal periòdic mixt.

1. a) Dedueix quins factors primers poden (i quins no) formar els denominadors $B$ i $D$ per garantir el tipus de decimal demanat en cada cas.
2. b) Troba una parella de fraccions $\frac{A}{B}$ i $\frac{C}{D}$ que compleixi totes les condicions.
3. c) Comprova la teva resposta trobant l'expressió decimal de totes dues i identificant, en el cas del periòdic mixt, el seu anteperíode i el seu període.

En un debat sobre nombres decimals, Hugo defensa la regla següent: «Per saber si una fracció irreductible dona un decimal exacte només cal mirar l'última xifra del denominador: si acaba en $5$ o en $0$, sempre és exacta perquè els nombres que acaben en $5$ o en $0$ són divisibles per $5$ o per $10$. En canvi, si acaba en qualsevol altra xifra, mai no pot ser exacta».

1. a) Demostra que l'afirmació d'Hugo és falsa trobant:

• Un contraexemple de fracció irreductible el denominador de la qual acabi en $5$ i NO sigui exacta.

• Un contraexemple de fracció irreductible el denominador de la qual acabi en $0$ i NO sigui exacta.

• Un contraexemple de fracció irreductible el denominador de la qual NO acabi ni en $5$ ni en $0$ i SÍ que sigui exacta.

1. b) Classifica el tipus de decimal que genera cadascun dels teus tres contraexamples.
2. c) Explica l'error conceptual d'Hugo: per què no n'hi ha prou amb mirar l'última xifra i quina relació tenen els factors primers del denominador simplificat amb la possibilitat d'amplificar la fracció fins a una potència de $10$ ($10$, $100$, $1.000$...)?.