Exercicis: Aproximació i arrodoniment

En una botiga de videojocs, el preu d'un pòster és de $7,82$ €. Si només portes monedes d'un euro i vols saber, aproximadament, quants euros complets costa:

A la recta de la figura, les dues marques llargues són dos nombres enters consecutius (els marcats amb «?») i cada marca petita és una dècima.

1. a) Entre quins dos nombres enters es troba el preu?
2. b) A quin dels dos nombres està més a prop? Fes l'arrodoniment a la unitat.

Per realitzar un experiment a la classe de Ciències, necessitem mesurar exactament $4,576$ grams de sal. Completa la taula següent aplicant els dos mètodes d'aproximació demanats:

Aproximació a les centèsimes	Resultat
Truncament
Arrodoniment

Un corredor de 100 metres llisos ha registrat un temps de $12,45$ segons al cronòmetre. Si volem expressar aquest temps amb una sola xifra decimal:

1. a) Fes l'arrodoniment a les dècimes.
2. b) Ha estat una aproximació per excés o per defecte? Explica per què t'has fixat en la xifra de les centèsimes.

A la recta numèrica, el temps del corredor està marcat amb un punt entre $12,4$ i $12,5$, i cada marca petita representa $0,01$ s.

Observa els nombres decimals següents i aproxima'ls a les dècimes utilitzant la tècnica de l'arrodoniment:

1. a) $3,14$
2. b) $9,68$
3. c) $0,45$
4. d) $1,03$

La capacitat de descàrrega d'una connexió a internet és de $92,578$ Mbps. El tècnic ens diu que, per simplificar, podem truncar el nombre a les centèsimes.

1. a) Quin valor obtindrem?
2. b) Dibuixa una petita recta numèrica i situa el valor original i el valor truncat.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Al supermercat, les balances de fruita solen arrodonir el pes. Si comprem una bossa de taronges que pesa $2,341$ kg, indica quin seria el pes mostrat si la balança:

1. a) Arrodoneix a les unitats.
2. b) Arrodoneix a les centèsimes.

Aproxima el nombre $\pi \approx 3,141592...$ de les maneres següents:

1. a) Per arrodoniment a les mil·lèsimes.
2. b) Per truncament a les mil·lèsimes.
3. c) En quin cas el resultat és més gran?

Imagina que vas a pagar amb un bitllet de $20$ € una compra que costa $14,23$ €. El caixer no té monedes de cèntims petits i et proposa arrodonir el preu a la dècima d'euro més propera (és a dir, a un múltiple de $10$ cèntims, amb una sola xifra decimal).

1. a) Quin seria el nou preu arrodonit?
2. b) Quants diners et tornaria el caixer després de l'arrodoniment?

Marcos ha d'aproximar el nombre $6,378$ a les centèsimes en un exercici de classe. Al seu quadern escriu: «$6,378 \approx 6,37$ perquè el $8$ de les mil·lèsimes no arriba a deu, així que no canvia la xifra anterior».

1. a) Explica quin error conceptual comet Marcos i quin mètode d'aproximació ha aplicat en realitat sense adonar-se'n.
2. b) Fes l'arrodonyiment correcte a les centèsimes i explica, utilitzant la distància entre nombres decimals, per què el teu resultat està més a prop del nombre original que el valor que va escriure Marcos.

En una papereria de barri, Sara vol comprar una llibreta que costa $2,85$ €, un paquet de retoladors per $4,15$ € i una carpeta per $1,90$ €. Porta al moneder una moneda de $5$ € i dues monedes de $2$ €.

1. a) Abans de calcular el preu exacte, estima la despesa total arrodonint el preu de cada article a la unitat d'euro més propera. Segons la teva estimació prèvia, tindrà prou diners per pagar la compra?
2. b) Calcula el cost exacte de la compra sumant els tres preus.
3. c) Comprova si la teva estimació ha estat encertada calculant la diferència entre el preu exacte i l'estimat. Consideres que l'estimació ha estat útil per prendre una decisió ràpida abans de passar per caixa? Justifica la teva resposta.

Copia i completa la taula següent a la teva llibreta, realitzant les aproximacions indicades per al nombre decimal $n = 14,3728$.

Aproximació a les...	Truncament	Arrodoniment
Dècimes
Centèsimes
Mil·lèsimes

Observa la recta numèrica següent on s'ha representat un nombre decimal $x$ amb una lupa.

Sabent que el punt taronja representa el nombre $x = 3,774$:

1. a) Entre quines dues centèsimes es troba el nombre $x$?
2. b) Si haguessis d'aproximar $x$ a les dècimes per arrodoniment, quin valor escolliries? Justifica la teva resposta observant la posició del punt en la recta respecte al punt mitjà ($3,75$).

En una botiga d'aplicacions de videojocs, el preu d'un nou paquet de textures és de $12,957 €$.

1. a) Si la botiga decideix truncar el preu a les centèsimes per mostrar-lo al catàleg, quin preu apareixerà?
2. b) Si el sistema de pagament arrodoneix a les centèsimes (cèntims d'euro) en fer el cobrament final, quant pagarà realment l'usuari?
3. c) Quina diferència de diners hi ha entre el preu truncat i el preu arrodonit?

Tres atletes han participat en una cursa de 60 metres llisos a l'institut. Els temps registrats pel cronòmetre han estat els següents:

• Lucía: $8,429$ segons.

• Marcos: $8,421$ segons.

• Adrián: $8,425$ segons.

1. a) Si els resultats es publiquen al web de l'institut arrodonits a les centèsimes, quin temps apareixerà per a cadascun?
2. b) En observar els resultats arrodonits, sembla que han trigat el mateix? És cert això segons els temps originals?

Un professor de matemàtiques calcula la nota mitjana d'un examen i obté $6,4782$.

1. a) Aproxima la nota a les dècimes per truncament.
2. b) Aproxima la nota a les dècimes per arrodoniment.
3. c) Quina de les dues aproximacions beneficia més l'alumne? Per què creus que als butlletins de notes es sol utilitzar l'arrodoniment en lloc del truncament?

Volem posar una tanca protectora al voltant d'un jardí rectangular petit. En mesurar amb una cinta mètrica digital, obtenim que els costats mesuren $4,56$ metres i $3,27$ metres.

1. a) Calcula el perímetre del jardí.
2. b) Si el propietari del jardí compra la tanca en una ferreteria que només ven per metres enters i sempre arrodoneix a l'alça (aproximació per excés a les unitats) per assegurar-se que no falta material, quants metres de tanca comprarà?

Pensa i respon a aquest enigma sobre nombres decimals:

"Sóc un nombre amb tres xifres decimals. Si em trunques a les centèsimes, sóc $7,42$. Tanmateix, si m'arrodoneixes a les centèsimes, sóc $7,43$".

Escriu tres nombres diferents que compleixin aquestes condicions. Quin és el nombre més petit que podria ser? I el més gran?

Una balança de precisió marca que una bossa de pomes pesa $2,345$ kg.

1. a) Expressa el pes en grams (recorda que $1$ kg = $1.000$ g).
2. b) Si el botiguer ens diu que el pes és, aproximadament, de $2,3$ kg, quin tipus d'aproximació ha realitzat?
3. c) Calcula l'error comès en l'aproximació del botiguer (la diferència entre el pes real i l'aproximat). Expressa el resultat en quilograms i en grams.

El club d'atletisme d'un municipi de Castella i Lleó pintarà una línia blanca contínua al voltant de la seva pista d'entrenament. La longitud total que han de pintar fa exactament $345\text{ m}$. Segons les especificacions del fabricant, amb $1\text{ litre}$ de pintura especial es poden pintar $25\text{ m}$ de línia. A la botiga local la pintura es ven exclusivament en pots tancats d'$1\text{ litre}$ (no es venen fraccions de pot).

1. a) Fes la divisió amb dues xifres decimals per saber quants litres exactes de pintura es necessiten teòricament.
2. b) Si apliques la regla matemàtica estàndard d'arrodonyiment a les unitats sobre aquest resultat decimal, quants pots compraries? Si compres aquesta quantitat, podries pintar tota la pista o et faltaria pintura? Comprova-ho calculant els metres que podries pintar amb aquests pots.
3. c) Justifica quin tipus d'aproximació intencionada s'ha d'aplicar en aquest problema de compra de material i quants pots s'han d'adquirir finalment per garantir el treball complet.

Estem buscant un nombre decimal misteriós $N$ que té tres xifres decimals. Per descobrir-lo disposem de quatre pistes:

1. La seva part sencera és el nombre $7$.

2. Si trunquem $N$ a les dècimes, s'obté $7,4$.

3. Si arrodonim $N$ a les centèsimes, s'obté $7,46$.

4. La seva xifra de les mil·lèsimes és un nombre senar més gran que $3$.

1. a) Troba tots els nombres decimals possibles que compleixen aquestes quatre condicions simultàniament.
2. b) Pren el menor dels nombres que has trobat i trunca'l a les centèsimes. Coincideix aquest truncament amb l'arrodonyiment a les centèsimes de la pista 3? Explica per què es produeix o no aquesta coincidència.

Estem investigant un nombre decimal "misteriós", al qual anomenarem $N$, que té tres xifres decimals. Sabem les pistes següents sobre ell:

1. La seva part sencera és el primer nombre primer de dues xifres.

2. Si l'arrodonim a les centèsimes, obtenim $11,38$.

3. Si el trunquem a les dècimes, obtenim $11,3$.

4. La suma de les seves tres xifres decimals és $19$.

De quin nombre es tracta? Raona la teva resposta descartant les opcions que no compleixen les condicions.

En una benzinera "Low Cost", el preu del litre de Gasolina 95 és de $1,419$ €. Un grup d'amics omple el dipòsit de la seva furgoneta per a un viatge amb $52,6$ litres.

La caixa de la benzinera està programada per calcular el total i després arrodonir el resultat final als cèntims d'euro (dues xifres decimals). Tanmateix, un dels amics insisteix que primer s'hauria de truncar el preu del litre als cèntims i després multiplicar pels litres.

Calcula la diferència de preu entre tots dos mètodes. Quin dels dos beneficia el client i quin la benzinera?

En un laboratori de biologia, s'està mesurant el creixement d'un bacteri. La longitud actual és de $0,03478$ mil·límetres.

• El científic A decideix fer servir una aproximació per arrodoniment a les mil·lèsimes.

• El científic B prefereix fer servir una aproximació per truncament a les deu-mil·lèsimes.

Indica quin dels dos valors és més gran i calcula la diferència exacta entre totes dues aproximacions. Quina de les dues creus que és "més fidel" al valor real del bacteri?

Troba un nombre decimal que compleixi simultàniament aquestes tres condicions de "frontera":

• Que sigui més gran que $7,45$ i més petit que $7,46$.

• Que en arrodonir-lo a les mil·lèsimes, el resultat sigui $7,458$.

• Que la suma de les seves quatre xifres decimals sigui igual a $25$.

És únic aquest nombre o existeixen diverses possibilitats? Justifica la teva resposta.

Un grup de 1r d'ESO està dissenyant una peça per a una impressora 3D. El programari els dona una mesura de $12,666...$ (periòdic) mil·límetres per al gruix d'un encaix. La impressora té tres modes de precisió:

• Mode Eco: Trunca a les dècimes.

• Mode Estàndard: Arrodoneix a les centèsimes.

• Mode Pro: Arrodoneix a les mil·lèsimes.

Calcula el valor que utilitzaria la impressora en cada mode. Si el forat on ha d'entrar la peça mesura exactament $12,67$ mm, en quins modes entrarà la peça i en quins no? (Considera que per entrar-hi, la peça ha de ser menor o igual que el forat).

Observa la recta numèrica següent on s'han representat dues aproximacions del nombre $X$.

Sabent que el truncament a les centèsimes és $3,14$ i l'arrodoniment a les centèsimes és $3,15$, indica si les afirmacions següents són meitat o falses, justificant cadascuna:

• a) La xifra de les mil·lèsimes de $X$ ha de ser més gran o igual a $5$.

• b) El nombre $X$ podria ser $3,1449$.

• c) Si sumem $0,001$ al nombre $X$, el seu truncament a les centèsimes continuarà sent $3,14$.

Un xef de cuina moderna necessita pesar tres ingredients amb una balança d'alta precisió que dona mil·lèsimes de gram:

• Sal: $2,341$ g

• Pebre: $1,256$ g

• Safrà: $0,897$ g

El xef vol saber el pes total de la barreja d'espècies. Compara aquests dos procediments:

1. Procediment 1: Sumar els tres pesos exactes i després arrodonir el resultat final a les dècimes.

2. Procediment 2: Arrodonir cada ingredient a les dècimes i després sumar-los.

Calcula tots dos resultats. Són iguals? Explica per què l'arrodoniment individual pot donar lloc a un error més gran que l'arrodoniment al final de l'operació.

Inventa un problema de la vida quotidiana (comptes, esports, ciència...) on es donin aquestes dues condicions simultàniament:

1. Sigui necessari fer servir un nombre amb almenys quatre xifres decimals.

2. La diferència entre truncar aquest nombre a les centèsimes i arrodonir-lo a les centèsimes sigui exactament de $0,01$.

Escriu l'enunciat complet i explica com es resoldria aplicant les regles d'aproximació.

Una petita cooperativa agrícola de Múrcia prepara l'enviament de quatre comandes de fruita a un supermercat. El pes exacte registrat per la bàscula de precisió per a cada comanda és:

• Comanda 1: $142,38\text{ kg}$

• Comanda 2: $85,36\text{ kg}$

• Comanda 3: $64,39\text{ kg}$

• Comanda 4: $107,37\text{ kg}$

Per organitzar l'albarà de transport, dues treballadores plantegen aproximar els pesos a les dècimes de quilogram:

• Mètode de Laura: Arrodonir primer cada comanda individual a les dècimes i després sumar els quatre valors arrodonits.

• Mètode de Carmen: Sumar primer els quatre pesos exactes i arrodonir únicament el resultat final a les dècimes.

1. a) Calcula pas a pas el resultat total que s'obté amb el mètode de Laura i el que s'obté amb el mètode de Carmen.
2. b) Calcula la suma exacta sense aproximar i determina l'error comès per cada mètode (la diferència positiva entre el resultat del mètode i el valor exacte).
3. c) A la vista dels resultats, quin dels dos mètodes és més fiable? Justifica per què arrodonir en cada pas intermedi sol acumular un error més gran que arrodonir només al final.

En una estació meteorològica d'AEMET, els sensors digitals mesuren la temperatura amb diverses xifres decimals, però a la pantalla pública del panell exterior es mostra la temperatura arrodonida a les dècimes. En un dia calorós, la pantalla marca exactament $38,4\text{ }^\circ\text{C}$.

1. a) Entre quins dos valors possibles es troba la temperatura real $T$ registrada pel sensor perquè es mostri aquest valor? Escriu la teva resposta en forma de desigualtat del tipus $A \le T < B$, utilitzant dues xifres decimals per a $A$ i per a $B$.
2. b) Quina és la diferència més gran possible (l'error màxim) que pot existir entre la temperatura que veiem a la pantalla ($38,4\text{ }^\circ\text{C}$) i la temperatura real del sensor?
3. c) Si el panell exterior estigués programat per truncar a les dècimes en comptes d'arrodonir, quin seria el nou interval $C \le T < D$ de la temperatura real? Explica raonadament per què l'arrodonyiment minimitza l'error màxim enfront del truncament i quin paper fonamental juga la xifra $5$ en aquest avantatge.

Repte del tema. Quant costa l'energia que consumeixes a casa? Realitza una miniauditoria energètica en un full de càlcul seguint aquestes fases:

1. Recollida de dades: Accedeix al web oficial de Red Eléctrica de España (REE, esios.ree.es) i anota el preu voluntari per al petit consumidor ($€/kWh$) d'ahir en 3 hores diferents: matinada, migdia i nit.

2. Aproximació i càlcul: Els preus oficials tenen fins a cinc xifres decimals (per exemple, $0,14823$ €). Arrodoneix cadascun a les centèsimes (cèntims). Després, calcula el cost d'utilitzar un forn de $2$ kW durant $1,25$ hores en cada tram multiplicant potència, temps i preu arrodonit.

3. Repartiment i fracció generatriu: Suma els tres costos i divideix l'import total entre $3$ persones de l'habitatge. Identifica quin tipus de nombre decimal resulta (exacte, periòdic pur o mixt) i troba la seva fracció generatriu irreductible per expressar la quota exacta sense errors d'arrodoniment.

4. Proposta: Elabora una breu proposta raonada per a la teva família amb una taula comparativa, aconsellant l'horari més econòmic per cuinar i calculant l'estalvi setmanal.

Es valorarà:

• Obtenció de dades reals de REE i precisió en l'arrodoniment a les centèsimes.

• Correcció en les operacions combinades amb nombres decimals.

• Identificació del tipus de decimal i càlcul exacte de la fracció generatriu.

• Justificació econòmica clara i coherent en la proposta final.