Exercicis: El llenguatge algebraic

En el món dels videojocs, a vegades fem servir fórmules per calcular puntuacions. Tradueix al llenguatge algebraic les frases següents, anomenant $x$ el nombre de gemmes que ha aconseguit un jugador:

• a) El doble del nombre de gemmes.

• b) El triple de gemmes més $50$ punts extra.

• c) El nombre de gemmes que tindria si en perdés $5$.

• d) La meitat de les gemmes que té.

Copia al teu quadern la taula següent i completa la informació sobre aquests monomis (recorda que si no hi ha cap nombre davant de la lletra, el coeficient és $1$):

Monomi	Coeficient	Part literal	Grau
$7a^2$
$-5x$
$x^3y$
$\frac{1}{2}b$

Volem tancar un recinte per a un festival de música que té forma de quadrat. Encara no sabem quant fa el costat, així que l'anomenarem $x$.

• a) Escriu una expressió algebraica per al perímetre del recinte (la suma de tots els seus costats).

• b) Escriu una expressió algebraica per a l'àrea del recinte.

Calcula el valor numèric de les expressions següents per al valor que s'indica (recorda que entre un nombre i una lletra sempre hi ha una multiplicació invisible):

• a) $3x + 5$ quan $x = 2$

• b) $10 - 2n$ quan $n = 3$

• c) $a^2 + 1$ quan $a = 5$

• d) $\frac{x}{2} + 7$ quan $x = 10$

Observa la sèrie següent de figures formades per punts taronges. Si anomenem $n$ la posició de la figura (Figura 1, Figura 2...):

• a) Quants punts tindrà la Figura 4?

• b) Escriu una expressió algebraica que ens digui quants punts hi ha a la Figura $n$.

En una botiga de roba, una dessuadora costa $s$ euros. Si uns pantalons costen $12$ euros menys que la dessuadora, expressa en llenguatge algebraic:

• a) El preu dels pantalons.

• b) El preu total de comprar dues dessuadores.

• c) El preu total de comprar una dessuadora i uns pantalons.

Anomenem $x$ l'edat actual de la Ioana. Expressa algebraicament les edats de la seva família:

• a) L'edat que tindrà la Ioana d'aquí a $8$ anys.

• b) L'edat que tenia la Ioana fa $3$ anys.

• c) El seu germà té el doble de l'edat de la Ioana. Quina edat té el germà?

• d) La seva mare té el triple de l'edat que tindrà la Ioana d'aquí a $1$ any.

Si $n$ representa un nombre enter qualsevol, escriu l'expressió algebraica per a:

• a) El nombre següent a $n$.

• b) El nombre anterior a $n$.

• c) El triple del següent de $n$.

• d) La suma d'un nombre i el seu anterior.

En Mateo ha de traduir al llenguatge algebraic la indicació següent donada per la seva professora: «El triple de la suma d'un nombre més quatre». Al seu quadern ha escrit l'expressió:

$$3 \cdot x + 4$$

1. a) Localitza l'error comès per en Mateo i explica raonadament quina frase en llenguatge quotidià correspon en realitat al que ell ha escrit.
2. b) Escriu la traducció algebraica correcta utilitzant els signes de puntuació matemàtica necessaris.
3. c) Comprova numèricament l'error substituint $x = 2$ tant en l'expressió errònia d'en Mateo com en la teva correcta. Per què donen valors diferents i què demostra això sobre la necessitat d'utilitzar parèntesis?

En una classe de Matemàtiques es planteja el problema invers següent: a partir de l'expressió algebraica ja construïda $2 \cdot (x - 5)$, has de reconstruir el problema original.

1. a) Tradueix aquesta expressió a una frase en llenguatge ordinari utilitzant de manera rigorosa les paraules «doble», «diferència» i «nombre».
2. b) Modela una situació quotidiana versemblant (per exemple, sobre compres amb descompte o punts aconseguits en un joc) que s'ajusti amb exactitud a aquesta expressió, indicant clarament què representa la variable $x$.
3. c) Si sabem que el valor numèric final de l'expressió després de fer els càlculs és $16$, dedueix fent marxa enrere a les operacions (en ordre invers) quin era el valor inicial de $x$.

En un videojoc d'aventures popular, els jugadors obtenen diferents puntuacions segons les seves accions. Si anomenem $x$ el nombre de cofres d'or trobats i $y$ el nombre de missions secundàries completades, expressa en llenguatge algebraic les situacions següents:

• El triple de cofres d'or trobats.

• El nombre de missions secundàries més cinc missions extra de bonificació.

• El doble de la suma dels cofres d'or i les missions secundàries.

• La meitat dels cofres trobats després de perdre'n tres en una batalla.

• El total de punts si cada cofre val 100 punts i cada missió val 50 punts.

Calcula el perímetre de la pista de pàdel següent, les dimensions de la qual vénen donades en metres mitjançant expressions algebraiques. Una vegada obtinguda l'expressió simplificada, calcula el seu valor numèric per a $x = 4$ metres.

Un creador de contingut de TikTok analitza els seus ingressos mensuals. Si $v$ representa el nombre de vídeos publicats en un mes, el seu guany en euros ve definit per l'expressió algebraica: $G = 0,5 \cdot v + 12$.

• Què representen els nombres $0,5$ i $12$ en aquest context?

• Quin serà el seu guany si aquest mes ha aconseguit publicar un total de $v = 40$ vídeos?

• Si el mes que ve decideix publicar el doble de vídeos que aquest mes, escriu la nova expressió per al seu guany.

Observa la sèrie següent de taules hexagonals col·locades en línia per a una celebració a l'institut. Cada hexàgon representa una taula on s'asseuen els alumnes.

Si en una taula ($n=1$) hi caben 6 persones, en dues taules ($n=2$) hi caben 10 persones i en tres taules ($n=3$) hi caben 14 persones:

• Crea una expressió algebraica que permeti calcular el nombre de persones que poden asseure's en funció del nombre de taules $n$.

• Calcula quantes persones es podran asseure si s'uneixen 15 taules.

En una botiga d'esports, una samarreta de futbol costa $x$ euros i uns pantalons costen $y$ euros. Tradueix del llenguatge algebraic al llenguatge ordinari (català) què signifiquen les expressions següents:

• $x + y$

• $2x + 3y$

• $x - 10$

• $0,85 \cdot x$

• $3(x + y)$

Copia i completa la taula següent sobre monomis al teu quadern. Recorda que si el coeficient no apareix, s'entén que és la unitat.

Monomi	Coeficient	Part literal	Grau
$-5x^2$
$ab^3c$
$\frac{3}{4}x^4y$
$-z$
$12$

L'Amina, el Borja i la Clara estan comparant quants seguidors tenen a les seves xarxes socials. El Borja té el doble de seguidors que l'Amina. La Clara té 500 seguidors menys que el Borja. Si anomenem $s$ el nombre de seguidors que té l'Amina:

• Expressa en llenguatge algebraic els seguidors que té el Borja.

• Expressa en llenguatge algebraic els seguidors que té la Clara.

• Escriu una expressió que meurèrica/representi la suma dels seguidors dels tres amics.

• Si l'Amina té $s = 1200$ seguidors, quants seguidors tenen entre tots tres?

La Valentina li proposa un truc de màgia al seu germà utilitzant el llenguatge algebraic. Segueix els passos i després explica algebraicament per què sempre s'obté el mateix resultat:

1. Pensa un nombre qualsevol ($n$).

2. Suma-li 5.

3. Multiplica el resultat per 2.

4. Resta-li 10 al valor obtingut.

5. Divideix el resultat entre 2.

6. Quin nombre obtens respecte al nombre inicial? Escriu l'expressió simplificada del procés.

En el servei públic de taxis d'una ciutat espanyola, les tarifes diürnes oficials es calculen combinant diversos conceptes:

• Una baixada de bandera (cost fix per iniciar la carrera) de $2,50$ €.

• Un cost d'$1,30$ € per cada quilòmetre recorregut.

• Un suplement fix addicional de $3,20$ € si el trajecte té com a destinació l'estació central de trens.

1. a) Escriu l'expressió algebraica que permet calcular el cost total d'un trajecte ordinari de $k$ quilòmetres (sense suplement d'estació).
2. b) Escriu l'expressió algebraica per a un trajecte de $k$ quilòmetres que finalitza a l'estació de trens i redueix-la sumant els dos imports fixos en un únic terme.
3. c) Dues companyes de feina comparteixen el taxi fins a l'estació i acorden pagar l'import total exactament a parts iguals. Escriu l'expressió algebraica del preu que ha d'abonar cadascuna en funció de $k$ i calcula quant pagarà cadascuna si el recorregut total és de $10$ km.

Per renovar la tanca d'una passarel·la de vianants al Parc Nacional de les Tablas de Daimiel, els operaris col·loquen pals verticals units per travessers de fusta formant mòduls continus:

• Per a $1$ metre de passarel·la es necessiten $6$ fustes.

• Per a $2$ metres de passarel·la es necessiten $10$ fustes.

• Per a $3$ metres de passarel·la es necessiten $14$ fustes.

• Per a $4$ metres de passarel·la es necessiten $18$ fustes.

1. a) Estima i comprova: abans de deduir cap fórmula, si els operaris han de construir un tram de $25$ metres, fes una estimació mental ràpida: creus que necessitaran més o menys de $100$ fustes? Justifica la teva estimació sense fer el càlcul pas a pas.
2. b) Observa el patró: quantes fustes s'afegeixen per cada metre addicional? Dedueix raonadament l'expressió algebraica que dóna el nombre total de fustes necessàries per a un tram de $n$ metres de passarel·la.
3. c) Utilitza la teva expressió per calcular el nombre exacte de fustes que es gastaran en els $25$ metres. Compara el resultat obtingut amb la teva estimació de l'apartat a) i valora si ha estat encertada i raonable.

En una empresa de disseny de jardins, s'utilitzen rajoles hexagonals per envoltar parterres de flors. Si col·loquem els parterres en línia, cada parterre addicional comparteix algunes rajoles amb l'anterior per estalviar material. Observa la seqüència de disseny següent:

Si anomenem $n$ al nombre de parterres que volem posar en fila:

1. a) Troba una expressió algebraica que permeta calcular el nombre de rajoles necessàries per a $n$ parterres.
2. b) Utilitza aquesta expressió per calcular quantes rajoles es necessitaran per a una filera de $25$ parterres.

Expressa en llenguatge algebraic les frases complexes següents, utilitzant una sola variable $x$ per al nombre desconegut:

1. a) El triple de la diferència entre el quadrat d'un nombre i la seva meitat.
2. b) La suma de tres nombres naturals consecutius, sabent que el primer és $x-2$.
3. c) El preu final d'una dessuadora que costava $x$ euros, si primer se li aplica un augment del $10\%$ per despeses d'enviament i després un descompte de $5$ euros per un cupó.
4. d) La diferència entre el cub del següent d'un nombre i el doble del seu anterior.

Un grup d'amics vol regalar una consola de videojocs a un company. La consola costa $C$ euros. Decideixen que dos dels amics, que són germans, pagaran només la meitat del que pagui la resta cadascun.

1. a) Si $x$ és la quantitat de diners que aporta cadascun dels amics que no són germans, i hi ha un total de $6$ amics (incloent-hi els dos germans), expressa algebraicament el cost total $C$ de la consola.
2. b) Si el cost de la consola és de $300$ euros, calcula quants diners ha d'aportar cadascun dels germans.

En el disseny d'una piscina moderna, es vol envoltar una zona rectangular d'aigua de llargada $l$ i amplada $a$ amb una vora de fusta de $2$ metres d'amplada per tot el seu voltant.

1. a) Escriu l'expressió algebraica que representa l'àrea total ocupada per la fusta (la vora).
2. b) Simplifica l'expressió obtinguda en l'apartat anterior.
3. c) Quin seria el valor numèric d'aquesta àrea si la piscina fa $10$ metres de llargada i $5$ metres d'amplada?

Considera l'expressió algebraica $P(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$.

1. a) Calcula el valor numèric de $P(x)$ per a $x = 0, x = 2$ i $x = 10$.
2. b) Observant els resultats, podries proposar una expressió molt més senzilla que sigui equivalent a $P(x)$ per a qualsevol valor de $x$ (excepte per a $x = -2$)?
3. c) Per què creus que no es pot calcular el valor numèric de $P(x)$ per a $x = -2$? Raona la teva resposta basant-te en el que saps de les fraccions.

En una competició de triatló, un atleta corre a una velocitat constant de $v$ km/h.

1. a) Expressa algebraicament la distància que recorre en un temps de $t$ hores i $15$ minuts. (Recorda expressar el temps en una única unitat).
2. b) Si l'atleta decideix augmentar la seva velocitat en $2$ km/h durant la segona meitat del temps, escriu l'expressió de la distància total recorreguda en un temps total de $t$ hores.
3. c) Calcula la distància total de l'apartat b) si $v = 12$ km/h i $t = 2$ hores.

Un mag demana a un espectador que faci les instruccions següents:

1. Pensa un nombre natural qualsevol $n$.

2. Multiplica'l per $6$.

3. Suma $12$ al resultat anterior.

4. Divideix-ho tot entre $3$.

5. Resta el doble del nombre que has pensat al principi.

1. a) Tradueix a llenguatge algebraic cada pas del truc i escriu l'expressió final simplificada.
2. b) Quin és el resultat final del truc? Depèn del nombre que hagi pensat l'espectador? Justifica la teva resposta fent servir el llenguatge algebraic.

En un magatzem de logística, les caixes s'apilen formant estructures piramidals de base quadrada. Al nivell més alt (nivell 1) hi ha $1$ caixa. Al nivell 2 (sota del primer) hi ha $4$ caixes formant un quadrat de $2 \times 2$. Al nivell 3 hi ha $9$ caixes formant un quadrat de $3 \times 3$.

1. a) Escriu l'expressió algebraica que representa el nombre de caixes que hi ha al nivell $n$.
2. b) Escriu una expressió algebraica que representi el nombre total de caixes si la piràmide té només $3$ nivells.
3. c) Si una piràmide té $n$ nivells, se sap que el nombre total de caixes ve donat per la fórmula $T = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Calcula quantes caixes hi haurà en total en una estructura de $10$ nivells.

En un taller de matemàtiques recreatives es proposa el següent truc de màgia numèrica:

1. Pensa un nombre enter qualsevol.

2. Suma-li $5$.

3. Multiplica el resultat obtingut per $2$.

4. Resta-li $6$.

5. Divideix el resultat entre $2$.

6. Resta-li el nombre que havies pensat al principi.

El resultat final sempre és $2$, sense importar el nombre triat!

Per convèncer la classe que no és casualitat, es debaten dos camins:

• Mètode A (Comprovació empírica): Provar el truc amb cinc nombres molt diferents entre si (un nombre d'una xifra, un de tres xifres, el zero, un nombre negatiu i una fracció).

• Mètode B (Demostració algebraica): Anomenar $n$ al nombre inicial, encadenar algebraicament totes les operacions en una sola expressió i simplificar-la pas a pas.

1. a) Desenvolupa completament el Mètode B: escriu l'expressió algebraica resultant després de cadascuna de les 6 instruccions i simplifica-la fins a demostrar que el resultat final és $2$.
2. b) Tria el mètode i justifica: compara tots dos camins explicant per què el Mètode A, tot i provar molts casos, no demostra que el truc funcioni sempre, i quin avantatge definitiu aporta el llenguatge algebraic del Mètode B.

Durant una activitat de repàs, el professor demana traduir al llenguatge algebraic la frase següent: «El triple de l'anterior d'un nombre $x$, augmentat en el doble del següent d'aquest nombre $x$».

Doi estudiants lliuren propostes diferents:

• En Marcos escriu: $3 \cdot x - 1 + 2 \cdot x + 1$

• La Lucía escriu: $3 \cdot (x - 1) + 2 \cdot (x + 1)$

1. a) Analitza la proposta d'en Marcos: localitza els dos errors comesos per no fer servir parèntesis i explica quina frase quotidiana correspondria textualment a l'expressió que ell ha escrit.
2. b) Desenvolupa i simplifica l'expressió de la Lucía aplicant la propietat distributiva i agrupant els termes semblants per obtenir una expressió reduïda de la forma $a \cdot x + b$.
3. c) Raona i justifica: seria possible que, sent $x$ un nombre enter, el valor final de l'expressió de la Lucía fos igual a $40$? Iguala l'expressió reduïda a $40$, aïlla el valor de $x$ i justifica la teva conclusió analitzant si el resultat pertany al conjunt dels nombres enters.