Exercicis: Expressions algebraiques

En el món dels videojocs, és molt comú traduir situacions a llenguatge matemàtic. Si anomenem $x$ al nombre de gemmes que tens en un cofre, expressa en llenguatge algebraic les situacions següents:

• El triple de les gemmes que tens.

• El nombre de gemmes que tindràs si en trobes 15 més.

• El nombre de gemmes que et queden després de gastar-ne la meitat en una skin.

• El doble de les teves gemmes menys 5 que li deus a un amic.

Observa la sèrie de figures següent formades amb escuradents de fusta. Volem saber quants escuradents necessitarem per construir una fila de $n$ quadrats.

Si per a 1 quadrat uses 4 escuradents, per a 2 quadrats uses 7 escuradents i per a 3 quadrats uses 10 escuradents:

1. a) Quants escuradents afegiries per cada nou quadrat?

1. b) Escriu la fórmula o expressió algebraica que permet calcular el nombre total d'escuradents per a $n$ quadrats.

Identificar les parts d'un monomi és fonamental per "parlar" àlgebra. Completa mentalment o al teu quadern la informació per als monomis següents:

• $5x^3 \rightarrow$ Coeficient: ___ , Part literal: ___ , Grau: ___

• $-ab^2 \rightarrow$ Coeficient: ___ , Part literal: ___ , Grau: ___

• $\frac{1}{2}y \rightarrow$ Coeficient: ___ , Part literal: ___ , Grau: ___

• $-7 \rightarrow$ Coeficient: ___ , Part literal: ___ , Grau: ___

El valor numèric és el resultat de substituir la lletra per un nombre. Imagina que el cost d'organitzar una festa d'aniversari ve donat per l'expressió $15n + 50$, on $n$ és el nombre de convidats.

Calcula quant costarà la festa si decideixes convidar:

• $n = 10$ amics.

• $n = 20$ amics.

• $n = 25$ amics.

A les classes d'Educació Física, el professor ens demana fer la volta a un camp rectangular d'entrenament. No en coneixem les meures exactes, però sabem que la llargada fa $L$ metres i l'amplada fa $a$ metres.

• Escriu l'expressió algebraica del perímetre del camp.

• Si el professor ens diu que la llargada és el doble que l'amplada ($L = 2a$), torna a escriure l'expressió del perímetre utilitzant només la lletra $a$.

Per simplificar expressions, només podem sumar o restar monomis semblants (aquells que tenen la mateixa part literal). Redueix al màxim les expressions següents:

• $3x + 5x - x$

• $2a + 7b - a + 3b$

• $4x^2 + 2x^2 - 5x$

• $m + m + m + n + n$

Kenia i el seu germà Adrián estan comparant els diners que han estalviat per al proper festival. Kenia té $x$ euros. Expressa en llenguatge algebraic els diners que té Adrián en cadascun d'aquests casos independents:

• Adrián té 12 € més que Kenia.

• Adrián té el doble que Kenia.

• Adrián té 5 € menys que el triple del que té Kenia.

• Si ajunten els diners de tots dos i l'ajuntament els regala 20 € extra, tenen en total 100 €.

Calcula el valor numèric de les expressions següents per als valors indicats. Vés amb molt de compte amb els signes negatius i recorda l'ordre de les operacions:

• $2x + 7$ per a $x = -3$

• $x^2 - 5$ per a $x = 4$

• $3(a + b)$ per a $a = 2, b = 5$

• $\frac{x}{2} + 10$ per a $x = 8$

En un control de classe, en Marcos havia de calcular el valor numèric de l'expressió algebraica $8 - 2x$ per a $x = -3$. Al seu full va escriure el següent:

$$8 - 2 \cdot -3 = 6 \cdot -3 = -18$$

1. a) Identifica i explica els dos errors matemàtics comesos per en Marcos en la seva resolució.
2. b) Explica per què és fonamental escriure parèntesis quan substituïm una variable per un número negatiu.
3. c) Corregeix el procediment i calcula el valor numèric correcte.

El servei públic de bicicletes compartides d'una ciutat espanyola cobra als usuaris sense abonament anual una tarifa fixa de desbloqueig d'$1,20$ € per trajecte, més $0,15$ € per cada minut d'ús.

1. a) Escriu una expressió algebraica que permeti calcular el cost total d'un trajecte realitzat per un usuari que pedala durant $m$ minuts.
2. b) Si utilitzes una bicicleta durant $18$ minuts per anar des de casa teva a la biblioteca, calcula l'import exacte que et cobraran aplicant la teva expressió.
3. c) Què representa la variable $m$ en aquest context real? Raona si tindria sentit pràctic calcular el valor numèric de l'expressió per a $m = -4$ o per a $m = 25,5$.

En una plataforma de videojocs en línia, la subscripció mensual costa $12$ euros fixos, però cada vegada que compres un "aspecte" o skin per al teu personatge, et cobren $3$ euros addicionals.

• a) Escriu una expressió algebraica que permeti calcular el cost total mensual si compres un nombre $x$ de skins.

• b) Si un mes decideixes comprar $4$ skins, utilitza l'expressió anterior per calcular quant pagaràs en total.

• c) Tradueix a llenguatge ordinari què significaria l'expressió $12 + 3(x + 1)$.

Observa el disseny d'aquesta nova zona de skate que l'ajuntament vol construir. Les dimensions estan expressades en metres utilitzant la variable $x$.

• a) Escriu una expressió algebraica simplificada que representi el perímetre total de la zona de skate.

• b) Calcula el perímetre si el valor de la incògnita és $x = 4$ metres.

En l'estudi dels monomis, és fonamental identificar les seves parts per poder operar amb ells. Completa la informació del llistat de monomis següent:

• Monomi A: $-5ax^3$

• Monomi B: $\frac{2}{3}y^2z$

• Monomi C: $-x^2y^2$

• Monomi D: $12$

Per a cadascun, indica:

1. El coeficient.

2. La part literal.

3. El grau del monomi.

4. Escriu un monomi que sigui semblant al Monomi A.

Un influencer està analitzant el creixement dels seus seguidors. Ha creat una fórmula per estimar els "punts d'impacte" ($I$) de les seves publicacions:

$I = 10a + 5b - 2c$

On:

• $a$ és el nombre de "m'agrada" (en milers).

• $b$ és el nombre de vegades que es comparteix la publicació.

• $c$ és el nombre de comentaris negatius.

Calcula el valor numèric de l'impacte ($I$) per a les dades següents:

• $a = 5$

• $b = 20$

• $c = 15$

Estem construint una sèrie de figures amb rajoles quadrades seguint un patró determinat. Observa les tres primeres figures de la sèrie:

• a) Si $n$ representa el nombre de la figura, escriu una expressió algebraica que indiqui quantes rajoles quadrades tindrà la figura $n$.

• b) Quantes rajoles tindrà la figura nombre $25$?

• c) Quin nombre de figura tindrà exactament $40$ rajoles?

Redueix les expressions algebraiques següents agrupant els termes que siguin semblants. Recorda aplicar correctament la regla dels signes:

• a) $5x^2 - 3x + 2x^2 + x - 8$

• b) $3ab + 5a - 2ab + 7b - 4a$

• c) $-(2x + 5) + 3(x - 1)$

• d) $4y^2 - (2y^2 - 5y) + 3y$

Tradueix aquestes situacions reals al llenguatge algebraic utilitzant una sola variable (la $x$):

• a) El preu d'una entrada de cinema ($x$) augmentat en un $10\%$ per despeses de gestió.

• b) L'edat de la Lucía, sabent que és tres anys menor que el doble de l'edat del seu germà petit ($x$).

• c) La suma de tres nombres enters consecutius.

• d) Els estalvis que em queden si tenia $x$ euros i m'he gastat la quarta part en un llibre i després $10$ euros en un regal.

Realitza les operacions següents amb monomis i simplifica el resultat sempre que sigui possible. Si el resultat és un nombre, indica'ho:

• a) $(3x^2) \cdot (4x^3)$

• b) $(-15a^4b^2) : (3a^2b)$

• c) $2 \cdot (5xy) \cdot (-x^2)$

• d) $\frac{10x^3y}{2x^3y}$

Volem descobrir una expressió algebraica desconeguda que compleixi totes les condicions següents:

1. Utilitza una única variable, $x$, i el seu grau és $2$.

2. És un binomi format per un terme amb $x^2$ i un terme independent (un número sense lletra).

3. Per a $x = 0$, el seu valor numèric és $-5$.

4. Per a $x = 3$, el seu valor numèric és $13$.

1. a) Dedueix pas a pas quin ha de ser el terme independent utilitzant la condició donada per a $x = 0$.
2. b) Esbrina quin coeficient ha de multiplicar $x^2$ perquè es compleixi el valor numèric demanat quan $x = 3$, i escriu l'expressió algebraica completa.
3. c) Sense necessitat de fer operacions llargues, quin serà el valor numèric de la teva expressió per a $x = -3$? Justifica la teva resposta fixant-te en el signe i en l'exponent.

Segons registres meteorològics habituals a la península Ibèrica, en ascendir per una muntanya la temperatura disminueix aproximadament $1\text{ }^\circ\text{C}$ per cada $150\text{ m}$ d'altitud. En un dia de primavera, la temperatura $T$ (en graus Celsius) al vessant de la Sierra de Guadarrama segons l'altitud $a$ (en metres) es pot modelitzar mitjançant l'expressió:

$$T = 20 - \frac{a}{150}$$

1. a) Al poble situat a la base ($a = 600\text{ m}$) el termòmetre marca $16\text{ }^\circ\text{C}$. Abans de fer el càlcul exacte, estima de manera raonada si al cim del pic Peñalara ($a = 2400\text{ m}$) la temperatura estarà per sobre o per sota de $5\text{ }^\circ\text{C}$. Explica en què et bases per fer la teva estimació.
2. b) Comprova la teva estimació calculant el valor numèric exacte de la temperatura per a l'altitud del cim ($a = 2400\text{ m}$).
3. c) Un excursionista afirma que a $3300\text{ m}$ la temperatura seria de $-2\text{ }^\circ\text{C}$. Comprova si la fórmula matemàtica dóna aquest resultat i valora críticament si té sentit aplicar aquest model a aquesta altitud a la Sierra de Guadarrama, sabent que el seu punt més alt no arriba als $2500\text{ m}$.

En una reserva natural, s'està estudiant el creixement d'una espècie de falguera que s'expandeix seguint un patró geomètric. La primera setmana (setmana $n=1$), la falguera té una fulla central. La segona setmana, li creixen tres fulles noves al voltant. La tercera, en creixen cinc més.

Observa el patró de les etapes i realitza les tasques següents:

• Troba una expressió algebraica que determini el nombre total de fulles de la falguera la setmana $n$.

• Si una falguera té 121 fulles, en quina setmana es troba?

• Calcula el valor numèric per a la setmana $n = 15$.

Una empresa de missatgeria utilitza drons per repartir paquets. El cost total d'un enviament en euros depèn de tres factors: un cost fix de manteniment ($F$), el pes del paquet en kg ($p$) i la distància recorreguda en km ($d$).

La fórmula que apliquen és: $C = 1,5F + \frac{p \cdot d}{10} - 0,5p$.

• Si el cost fix és de $F = 4$ euros, simplifica l'expressió reduint els monomis que siguin semblants.

• Calcula el valor numèric (cost de l'enviament) per a un paquet de $2$ kg que ha de viatjar $35$ km.

• Quin factor influeix més en el preu final si augmentem una unitat: el pes o la distància? Raona la teva resposta basant-te en l'estructura de l'expressió.

El plànol d'un nou centre recreatiu per a adolescents té una forma irregular composta per un rectangle central i dues àrees triangulars idèntiques als laterals. Les dimensions estan donades en funció d'una variable $x$ que representa l'amplada bàsica de les sales.

• Escriu l'expressió algebraica simplificada del perímetre total de la figura.

• Escriu l'expressió algebraica simplificada de l'àrea total del centre recreatiu.

• Si per complir la normativa de seguretat l'àrea total ha de ser d'almenys $150 \, m^2$, comprova si el disseny és vàlid quan $x = 5 \, m$.

En un videojoc de rol, el dany que infligeix un encanteri de foc es calcula amb l'expressió: $D = \frac{3(x + 2y)^2 - 6xy}{2}$, on $x$ és el nivell de màgia del personatge i $y$ és la potència del bàcul.

• Calcula el dany si el personatge té nivell de màgia $x = 4$ i potència de bàcul $y = 1$.

• Un programador afirma que si el personatge no té bàcul ($y = 0$), el dany es simplifica a una expressió proporcional al quadrat del nivell de màgia. Demostra si això és cert fent la substitució i simplificant.

• Si doblem el nivell de màgia ($2x$) i mantenim el bàcul en $y = 0$, quantes vegades augmenta el dany total?

Considera els tres monomis següents: $A = 12x^2y$, $B = -4x^2y$ i $C = 5xy^2$.

Realitza les operacions combinades següents i simplifica el resultat al màxim:

• $A + B - \frac{1}{2}A$

• $(A \cdot C) : (2xy)$

• Explica raonadament per què no pots sumar el monomi $A$ amb el monomi $C$. Quina condició hauria de canviar en la seva part literal perquè fos possible?

Un grup d'amics vol llogar una pista de pàdel durant diverses hores ($h$). El preu del lloguer és de $12$ euros per hora. A més, necessiten llogar pales per a tothom. El lloguer de cada pala costa $3$ euros per a tota la sessió. Si el grup està format per $n$ persones:

• Escriu l'expressió algebraica del cost total del lloguer ($C$) en funció del nombre d'hores ($h$) i el nombre de persones ($n$).

• Si decideixen pagar el cost total a parts iguals, escriu l'expressió del que ha de pagar cada persona.

• Simplifica l'expressió anterior. Depèn la part corresponent a les pales del nombre de persones que hi vagin? Justifica la teva resposta.

La Marta està dissenyant una estanteria modular. Cada mòdul quadrat requereix $4$ taules llargues i $4$ connectors a les cantonades. Tanmateix, quan s'uneixen mòduls un al costat de l'altre, comparteixen una taula vertical i els dos connectors dels seus extrems.

• Escriu una expressió algebraica que ens doni el nombre de taules necessàries per muntar una fila de $x$ mòduls.

• Si cada taula costa $a$ euros i cada connector costa $b$ euros, escriu l'expressió del cost total d'una fila de $x$ mòduls.

• Simplifica l'expressió del cost total si sabem que el connector costa la quarta part que una taula ($b = a/4$).

Per calcular el valor numèric de l'expressió algebraica:

$$E = 5(2x - 3) - 3(4x - 7) + 4x$$

per al valor $x = 15$, dos estudiants proposen camins diferents:

• Estratègia de la Laura: Substitueix directament el valor $x = 15$ en l'expressió tal com està i calcula les operacions respectant la jerarquia.

• Estratègia d'en David: Primer simplifica l'expressió algebraica aplicant la propietat distributiva i agrupant monomis semblants; després, substitueix $x = 15$ en l'expressió resultant.

1. a) Resol l'exercici seguint pas a pas l'estratègia de la Laura.
2. b) Resol l'exercici seguint pas a pas l'estratègia d'en David.
3. c) Comprova si s'obté el mateix resultat numèric amb ambdós mètodes i explica per què.
4. d) Avalua tots dos camins: quin requereix operacions aritmètiques més senzilles? Si haguessis de calcular el valor numèric d'aquesta mateixa expressió per a cinc valors diferents de $x$ ($x = -2$, $x = 0$, $x = 1$, $x = 10$ i $x = 100$), justifica raonadament quina estratègia triaries.

En el projecte de remodelació d'un passeig de vianants es dissenyen zones verdes quadrades envoltades per rajoles protectores en el seu perímetre. Si s'instal·la una única jardinera quadrada, calen $8$ rajoles per envoltar-la. Si es col·loquen diverses jardineres enganxades en fila formant una filera contínua, les jardineres interiors comparteixen rajoles perimetrals.

Tres tècniques d'urbanisme han plantejat tres fórmules diferents per calcular quantes rajoles $B$ es necessiten per a una fila de $n$ jardineres:

• Fórmula de la Lucía: $B = 2(n + 2) + 2$

• Fórmula de la Sara: $B = 8 + 2(n - 1)$

• Fórmula de la Nerea: $B = 2n + 6$

1. a) Interpreta el significat geomètric de les fórmules: explica raonadament com ha comptat les rajoles la Lucía i com les ha comptat la Sara per arribar a les seves expressions.
2. b) Utilitza les operacions algebraiques (propietat distributiva i reducció de termes semblants) per demostrar si les tres fórmules són equivalents entre si.
3. c) L'ajuntament disposa d'un palet amb $75$ rajoles per a una avinguda. Planteja una estratègia a partir de les expressions anteriors per calcular quantes jardineres completes en fila es poden envoltar com a màxim i quantes rajoles sobraran exactament.