Exercicis: Fonaments de termodinàmica

Explica què és un sistema termodinàmic i classifica aquests exemples com a obert, tancat o aïllat: (a) una olla destapada al foc, (b) un cilindre de gas amb èmbol, (c) un termo ideal. Indica en cada cas què intercanvia amb l'entorn (matèria, calor o treball).

Enuncia el primer principi de la termodinàmica, $\Delta U = Q - W$, explicant què representa cada terme i el conveni de signes emprat (calor absorbit pel gas, positiu; treball realitzat pel gas, positiu). Posa un exemple quotidià d'un sistema que rep calor i realitza treball alhora.

Explica per què la calor i el treball no són «propietats» del sistema sinó transferències: un gas a $300\ \text{K}$ no «té» calor, té energia interna. Raona quines magnituds depenen del camí seguit entre dos estats ($Q$ i $W$) i quina no ($\Delta U$).

Relaciona cada transformació d'un gas amb la magnitud que roman constant: (a) isòbara, (b) isòcora, (c) isotèrmica, (d) adiabàtica; amb: pressió, volum, temperatura i absència d'intercanvi de calor. Posa un exemple real aproximat de cadascuna (olla, èmbol, inflador de bicicleta).

Indica si és vertader o fals, justificant-ho amb el segon principi: «Si deixo un got d'aigua freda sobre la taula, es pot refredar encara més cedint calor a l'habitació, que està més calenta». Explica en quina direcció flueix espontàniament la calor i què caldria aportar per invertir aquest flux.

Escriu l'equació d'estat del gas ideal, $p \cdot V = n \cdot R \cdot T$, identifica cada magnitud amb les seves unitats habituals i explica per què la temperatura s'ha d'expressar en kèlvins i no en graus Celsius (què passaria en utilitzar $T = 0\ ^\circ\text{C}$ en la fórmula).

La figura mostra, partint d'un mateix estat inicial, les quatre transformacions bàsiques del gas ideal en el diagrama p-V, però una està sense anomenar. a) Indica quina corba correspon a cada transformació (isòbara, isòcora, isotèrmica i adiabàtica). b) Explica quina magnitud roman constant en cadascuna. c) Raona per què la corba de l'interrogant cau més ràpid que la isotèrmica quan el gas s'expansiona.

Explica què és una màquina tèrmica i quins són els seus tres elements energètics (focus calent, focus fred i treball produït). Posa dos exemples reals diferents del motor d'un cotxe (central tèrmica, màquina de vapor) identificant en cadascun què actua com a focus calent i què com a focus fred.

Un èmbol comprimeix $2\ \text{L}$ de gas a pressió atmosfèrica ($101\,325\ \text{Pa}$) fins a $0{,}5\ \text{L}$ sense que canviï la temperatura. a) Identifica el tipus de transformació. b) Calcula la pressió final amb la llei corresponent. c) Raona, amb el primer principi, si el gas cedeix o absorbeix calor durant el procés.

Un gas ocupa $3\ \text{L}$ a $27\ ^\circ\text{C}$ i pressió constant. S'escalfa fins a $127\ ^\circ\text{C}$. a) Converteix les temperatures a kèlvins. b) Aplica la llei de la transformació isòbara, $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$, per calcular el volum final. c) Explica el resultat en termes del moviment de les molècules.

Una ampolla d'aerosol està a $2\ \text{atm}$ i $20\ ^\circ\text{C}$. Es deixa al sol i arriba a $50\ ^\circ\text{C}$ sense que en variï el volum. a) Identifica la transformació. b) Calcula la pressió final en atmosferes. c) Raona per què els pots d'aerosol adverteixen de no exposar-los a la calor.

Calcula els mols d'aire continguts en una habitació de $30\ \text{m}^3$ a $1\ \text{atm}$ i $27\ ^\circ\text{C}$ utilitzant $p \cdot V = n \cdot R \cdot T$ amb $R = 0{,}082\ \text{atm}\cdot\text{L}/(\text{mol}\cdot\text{K})$ (atenció a les unitats del volum). Comenta si el resultat et sembla gran o petit comparant-lo amb la massa molar de l'aire ($\approx 29\ \text{g/mol}$).

Un gas s'expansiona a pressió constant de $2 \cdot 10^5\ \text{Pa}$ des de $1\ \text{L}$ fins a $3\ \text{L}$. a) Calcula el treball realitzat pel gas, $W = p \cdot \Delta V$ (recorda que $1\ \text{L} = 10^{-3}\ \text{m}^3$). b) Si durant el procés absorbeix $900\ \text{J}$ de calor, calcula la variació de la seva energia interna amb el primer principi. c) Indica si el gas s'escalfa o es refreda.

La figura mostra una expansió isotèrmica en el diagrama p-V des de l'estat 1 fins al 2, amb l'àrea sota la corba ombrejada. a) Explica què representa físicament aquesta àrea ombrejada. b) Raona per què en una transformació isòcora el treball és nul. c) Si el gas tornés de l'estat 2 a l'1 per una isòbara horitzontal, el treball net del cicle seria positiu o negatiu? Justifica-ho comparant les àrees.

Una màquina de Carnot treballa entre un focus calent a $600\ \text{K}$ i un focus fred a $300\ \text{K}$. a) Calcula el seu rendiment, $\eta = 1 - \frac{T_f}{T_c}$. b) Si en cada cicle absorbeix $1\,000\ \text{kJ}$ del focus calent, calcula el treball que produeix i la calor que cedeix al focus fred. c) Comenta cap a on va a parar l'energia no aprofitada.

Explica per què en una compressió adiabàtica (sense intercanvi de calor) el gas s'escalfa encara que no rebi calor: relaciona el treball realitzat sobre el gas amb la seva energia interna mitjançant el primer principi. Connecta la teva explicació amb l'inflador de bicicleta que s'escalfa en inflar i amb l'autoencesa de l'aire en el motor dièsel.

En el diagrama p-V adjunt es representa el cicle de Carnot teòric seguit per un gas ideal que opera entre les temperatures de $600\ \text{K}$ i $300\ \text{K}$.

1. a) Per duplicar el rendiment teòric del cicle mantenint una de les temperatures fixes, un enginyer proposa duplicar $T_c$ (fins a $1200\ \text{K}$), mentre que un altre proposa reduir a la meitat $T_f$ (fins a $150\ \text{K}$). Avalua ambdues propostes demostrant analíticament si alguna d'elles ho aconsegueix, i dedueix quin dels dos focus té major influència en l'augment de l'eficiència tèrmica.
2. b) Si durant l'expansió isoterma calenta ($A \to B$) el gas absorbeix $1200\ \text{J}$, calcula el treball net teòric del cicle i compara'l amb el d'un prototip real que, treballant entre els mateixos focus, perd per irreversibilitats i fregaments un $40\,\%$ del treball net de Carnot. Quina calor total cedeix aquest motor real al focus fred?
3. c) Justifica com es modificaria qualitativament l'àrea interior delimitada per les corbes en el diagrama p-V si s'incrementa el volum màxim assolit en el punt C mantenint fixes les pressions i temperatures extremes.

Una central termoelèctrica opera entre $550\ ^\circ\text{C}$ (vapor sobreescalfat a l'entrada de la turbina) i $35\ ^\circ\text{C}$ (aigua de refrigeració al condensador). La potència elèctrica generada és de $400\ \text{MW}$ amb un consum de combustible de $950\ \text{MW}$ tèrmics.

1. a) Calcula el rendiment tèrmic real de la central i compara'l amb el rendiment màxim teòric de Carnot. Justifica mitjançant balanços d'energia i entropia per què, encara que s'eliminessin tots els fregaments mecànics, el rendiment real mai assoliria el $100\,\%$.
2. b) Durant l'estiu, la temperatura del riu de refrigeració s'eleva i la condensació passa de $35\ ^\circ\text{C}$ a $48\ ^\circ\text{C}$. Suposant que la relació entre el rendiment real i el de Carnot es manté constant, prediu la reducció en la potència elèctrica lliurada (en $\text{MW}$) si es manté constant el consum de combustible.
3. c) Per compensar aquesta pèrdua estival, l'equip d'explotació rumia sobreescalfar el vapor fins a $600\ ^\circ\text{C}$. Analitza si aquest augment de temperatura és suficient per recuperar la potència elèctrica original i raona quines limitacions de materials i disseny impedeixen elevar indefinidament la temperatura a la caldera.

Un cilindre pneumàtic conté un gas ideal a $100\ \text{kPa}$, ocupant $2\ \text{L}$ a una temperatura de $300\ \text{K}$. Per realitzar una maniobra d'accionament mecànic, es requereix portar el gas fins a un volum de $4\ \text{L}$ i una pressió de $200\ \text{kPa}$. Es comparen dues trajectòries de control possibles:

• Camí 1: Escalfament isòcor fins a assolir $200\ \text{kPa}$ i, a continuació, expansió isòbara fins als $4\ \text{L}$.

• Camí 2: Expansió isòbara fins als $4\ \text{L}$ i, a continuació, escalfament isòcor fins a assolir els $200\ \text{kPa}$.

1. a) Representa ambdós processos en un únic diagrama p-V qualitatiu i calcula el treball mecànic desenvolupat pel gas en joules per a cadascun dels camins.
2. b) Determina la temperatura final assolida pel gas en l'estat final i raona, aplicant el primer principi de la termodinàmica, en quin dels dos camins es consumeix més calor procedent del sistema de calefacció.
3. c) Si l'èmbol retorna a l'estat inicial des de l'estat final mitjançant una transformació en línia recta sobre el diagrama p-V, completa el cicle tancat resultant amb el Camí 1 i calcula el treball net per cicle, indicant raonadament si el dispositiu opera com a motor tèrmic o com a bomba de calor.

Una empresa emergent cerca inversors per a un sistema de propulsió naval que pretén extreure energia tèrmica de l'aigua marina a $20\ ^\circ\text{C}$ ($293\ \text{K}$) i descarregar aigua a $15\ ^\circ\text{C}$, afirmant que pot propulsar el vaixell convertint íntegrament aquesta calor en treball mecànic «gràcies a l'ús de materials superconductors que eliminen les friccions i resistències».

1. a) Rebat formalment la proposta de l'inventor basant-te en els enunciats de Kelvin-Planck i Clausius del segon principi de la termodinàmica, justificant per què l'absència de fregaments no eludeix la necessitat d'un focus tèrmic a menor temperatura.
2. b) El dissenyador rectifica i proposa utilitzar l'aire atmosfèric a $20\ ^\circ\text{C}$ com a focus calent i l'aigua de mar profunda a $15\ ^\circ\text{C}$ com a focus fred. Si els propulsors del vaixell requereixen $150\ \text{kW}$ de potència i la màquina real rendeix el $35\,\%$ del límit de Carnot entre aquests focus, calcula el cabal màssic mínim d'aigua marina (en $\text{kg}/\text{s}$) que ha de circular per l'intercanviador de calor si l'aigua només es pot escalfar $1\ ^\circ\text{C}$ al seu pas ($c_e = 4180\ \text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})$).
3. c) A partir del cabal obtingut, dictamina raonadament sobre la viabilitat constructiva i operativa del vaixell comercial proposat.

Per optimitzar una màquina tèrmica reversible que opera entre un focus calent a $T_c = 600\ \text{K}$ i l'ambient a $T_{\text{amb}} = 300\ \text{K}$, un tècnic suggereix interposar una màquina frigorífica auxiliar que refrigeri activament el focus fred de la màquina tèrmica fins a mantenir-lo a $T_f = 200\ \text{K}$, abocant la calor extreta a l'ambient a $300\ \text{K}$. El seu raonament és que l'augment en el rendiment tèrmic ($\ eta = 1 - T_f/T_c$) compensarà amb escreix el treball consumit pel refrigerador.

1. a) Suposant que ambdues màquines operen segons cicles reversibles de Carnot, demostra analíticament si el treball net total del sistema acoblat (treball del motor menys treball del refrigerador) és més gran, més petit o igual que el treball que produiria el motor tèrmic treballant directament entre $600\ \text{K}$ i l'ambient a $300\ \text{K}$.
2. b) Interpreta el resultat anterior a la llum del segon principi i dedueix per què cap sistema de refrigeració activa artificial permet burlar el límit de Carnot del focus natural més fred disponible.
3. c) A partir de l'expressió del coeficient d'operació d'una màquina frigorífica de Carnot ($\text{COP} = T_f / (T_c - T_f)$), dedueix què li passa a la potència elèctrica necessària per extreure una quantitat constant de calor a mesura que el focus fred s'aproxima a $0\ \text{K}$ i relaciona aquesta conclusió amb el tercer principi de la termodinàmica.

En la fase d'avantprojecte d'una central termoelèctrica que operarà amb un focus calent a $T_c = 850\ \text{K}$ i refrigeració per circuit obert a $T_f = 290\ \text{K}$, l'enginyeria avalua dues opcions tècniques de millora energètica amb el mateix cost d'implantació:

• Opció A: Millorar la combustió per elevar $T_c$ en $40\ \text{K}$, mantenint constant $T_f$.

• Opció B: Instal·lar un sistema de refrigeració d'alt rendiment per reduir $T_f$ en $40\ \text{K}$, mantenint constant $T_c$.

1. a) Calcula l'increment del rendiment tèrmic teòric de Carnot per a cada opció i demostra analíticament quina de les dues mesures és termodinàmicament més eficaç davant de variacions tèrmiques iguals ($\Delta T$).
2. b) Interpreta com es tradueix cadascuna de les dues modificacions sobre l'àrea compresa en el diagrama p-V del cicle i calcula quin percentatge de calor residual expulsada a l'entorn s'estalvia per cada megawatt hora generat en l'opció més favorable.
3. c) Argumenta dos condicionants tècnics, geogràfics o mediambientals que impedeixen a la pràctica rebaixar la temperatura del focus fred tant com desitjarien els enginyers termodinàmics.

Una oficina de patents sotmet al teu criteri la memòria tècnica d'un climatitzador industrial que, segons el seu promotor, capta calor d'una sala industrial a $25\ ^\circ\text{C}$ a raó de $12\ \text{kW}$, lliura $4\ \text{kW}$ de potència mecànica a un compressor d'aire i retorna els $8\ \text{kW}$ tèrmics restants a una nau adjacent a $40\ ^\circ\text{C}$, tot això sense requerir cap subministrament elèctric ni combustible en règim estacionari.

1. a) Comprova si el dispositiu respecta el primer principi de la termodinàmica i demostra si viola el segon principi calculant la taxa de variació neta d'entropia generada a l'univers ($\dot{S}_{\text{univ}}$).
2. b) Classifica raonadament aquest dispositiu dins de les màquines de moviment perpetu (mòbil perpetu de primera o de segona espècie) i redacta la justificació formal amb la qual denegaries la patent.
3. c) Si la màquina fos reversible i operés absorbint $12\ \text{kW}$ del focus a $40\ ^\circ\text{C}$ ($313\ \text{K}$) i cedint calor al focus a $25\ ^\circ\text{C}$ ($298\ \text{K}$), calcula la potència mecànica màxima teòrica que podria subministrar i la calor dissipada al focus fred.

En una refineria de petroli es generen dos fluxos tèrmics residuals que s'alliberen a l'atmosfera ($T_0 = 15\ ^\circ\text{C} = 288\ \text{K}$):

• Flux 1: Fums de combustió a $420\ ^\circ\text{C}$ transportant una potència tèrmica de $600\ \text{kW}$.

• Flux 2: Corrent d'aigua de procés a $65\ ^\circ\text{C}$ transportant igualment una potència tèrmica de $600\ \text{kW}$.

1. a) Demostra quantitativament, calculant la potència mecànica màxima teòrica (exergia) recuperable de cada flux mitjançant un cicle de Carnot ideal acoblat a l'ambient, que dues formes d'energia amb la mateixa quantitat en joules poden tenir qualitats termodinàmiques radicalment diferents.
2. b) Per aprofitar el Flux 1, un enginyer proposa un intercanviador de calor sense aïllament que refreda els fums fins a $180\ ^\circ\text{C}$ preescalfant vapor a $150\ ^\circ\text{C}$. Justifica per què tota transferència de calor a través d'un salt tèrmic finit comporta una degradació irreversible de l'energia i calcula la variació d'entropia per unitat de temps associada a la transferència de $250\ \text{kW}$ entre ambdós corrents si es modelitzen a temperatures mitjanes efectives de $300\ ^\circ\text{C}$ i $150\ ^\circ\text{C}$.
3. c) Relaciona el concepte de degradació energètica i irreversibilitat amb les pèrdues reals en els cicles de potència enfront dels cicles ideals reversibles.