Exercicis: El transformador

Explica per què un transformador només funciona amb corrent altern: què passa amb el flux magnètic del nucli quan el corrent del primari varia, què s'indueix en el secundari (llei de Faraday) i què deixaria de passar si es connectés a corrent continu després de l'instant inicial.

Anomena les tres parts fonamentals d'un transformador (primari, secundari i nucli) i explica la funció de cadascuna. Raona per què les dues bobines no estan connectades elèctricament entre si i quin avantatge de seguretat suposa aquest aïllament galvànic.

Defineix la relació de transformació, $\frac{V_1}{V_2} = \frac{N_1}{N_2}$, explicant què representa cada símbol. Indica quina condició compleixen les espires d'un transformador reductor ($N_1 > N_2$) i les d'un d'elevador, i posa un exemple quotidià de cadascun (carregador de mòbil, sortida d'una central elèctrica).

Indica si és vertader o fals, justificant-ho: «Un transformador pot elevar la potència elèctrica». Explica quina magnitud eleva realment un transformador elevador, quina magnitud redueix en la mateixa proporció (en el cas ideal) i per què la potència mai no augmenta.

El nucli d'un transformador es fabrica amb xapes magnètiques apilades i aïllades entre si, no pas amb ferro massís. Explica què són els corrents de Foucault (o paràsits), com les xapes els redueixen i què li passaria al rendiment i a la temperatura de l'aparell amb un nucli massís.

Explica el paper dels transformadors en el transport d'energia elèctrica: per què s'eleva la tensió a centenars de quilovolts per recórrer llargues distàncies (mateixa potència amb menys corrent: menys pèrdues per efecte Joule, $P_p = R \cdot I^2$) i per què es redueix després fins a $230\ \text{V}$ abans d'arribar als habitatges (seguretat).

La figura mostra un transformador amb les dades dels seus bobinatges. a) Indica, sense calcular, si es tracta d'un transformador elevador o reductor i com ho dedueixes del dibuix. b) Calcula la tensió del secundari marcada amb l'interrogant. c) Esmenta un aparell quotidià que utilitzi un transformador amb una relació semblant.

Enumera tres aparells del teu entorn que continguin un transformador (carregador de portàtil, campana extractora de llum halògena antiga, soldador) i indica en cadascun si eleva o redueix la tensió i quina tensió aproximada lliura. Comenta per què les fonts modernes «commutades» són molt més lleugeres que els transformadors clàssics de $50\ \text{Hz}$.

Un transformador té $N_1 = 500$ espires en el primari i $N_2 = 50$ en el secundari, i s'alimenta a $230\ \text{V}$. a) Calcula la relació de transformació i la tensió del secundari. b) Indica si és elevador o reductor. c) Raona què passaria amb la tensió de sortida si es connectés «al revés» (la xarxa al bobinatge de 50 espires).

Es necessita alimentar un circuit a $12\ \text{V}$ des de la xarxa de $230\ \text{V}$, i el primari del transformador té $920$ espires. a) Calcula el nombre d'espires del secundari. b) Si la càrrega consumeix $24\ \text{W}$, calcula el corrent del secundari i, admetent un transformador ideal, el del primari. c) Comenta per què el fil del secundari és més gruixut que el del primari.

Un transformador ideal de $230/24\ \text{V}$ alimenta una càrrega de $60\ \text{W}$. a) Calcula el corrent del secundari. b) Calcula el corrent del primari aplicant la conservació de la potència ($V_1 \cdot I_1 = V_2 \cdot I_2$). c) Generalitza la relació de corrents en funció de la d'espires i enuncia-la amb una frase.

El transformador de sortida d'una central eleva de $25\ \text{kV}$ a $400\ \text{kV}$. a) Calcula la seva relació de transformació. b) Si el secundari té $8\,000$ espires, calcula les del primari. c) El corrent en la línia de $400\ \text{kV}$ és de $125\ \text{A}$: calcula el corrent en el costat de la central (transformador ideal) i comenta els valors.

Un transformador absorbeix $1\,200\ \text{W}$ de la xarxa i lliura $1\,140\ \text{W}$ a la càrrega. a) Calcula el seu rendiment, $\eta = \frac{P_2}{P_1}$. b) Calcula la potència perduda i explica a quines dues «butxaques» se'n va (pèrdues en el coure dels bobinatges per efecte Joule i pèrdues en el ferro del nucli per histèresi i corrents de Foucault). c) Raona per què un transformador comercial té rendiments del $95-99\,\%$ enfront del $85-90\,\%$ d'un motor.

La figura mostra la cadena de transport de l'energia elèctrica des de la central fins a un habitatge, amb els dos transformadors tapats. a) Indica què fa cada transformador Tapat (elevar o reduir, i entre quines tensions). b) Calcula la relació de transformació de cadascun. c) Raona per què no es transporta directament a $25\ \text{kV}$ ni a $230\ \text{V}$.

Explica què és un autotransformador: en què es diferencia el seu bobinatge del d'un transformador normal (una única bobina amb presa intermèdia), quins avantatges té (menys coure i ferro, més barat) i quin inconvenient de seguretat el fa inacceptable per alimentar, per exemple, el tren elèctric d'un infant (absència d'aïllament galvànic entre entrada i sortida).

Distingeix les pèrdues d'un transformador en buit (secundari sense càrrega: dominen les pèrdues en el ferro) i a plena càrrega (dominen les pèrdues en el coure, que creixen amb el quadrat del corrent). Raona per què el rendiment màxim s'assoleix quan totes dues s'igualen i per què les companyies desconnecten transformadors de distribució en hores vall.

Una central elèctrica ha d'evacuar $50\ \text{MW}$ mitjançant una línia de transport de $100\ \text{km}$ la resistència total de la qual és de $20\ \Omega$. La normativa tècnica exigeix que les pèrdues per efecte Joule en el transport no superin el $3\,\%$ de la potència generada. a) Calcula les pèrdues que es produirien si l'evacuació es realitzés directament a la tensió de generació de $25\ \text{kV}$, justificant numèricament per què aquest transport és inviable sense transformació. b) Determina la tensió mínima de transport necessària per complir el límit del $3\,\%$ de pèrdues i selecciona el nivell de tensió normalitzat més adequat de la xarxa de transport espanyola ($66\ \text{kV}$, $132\ \text{kV}$, $220\ \text{kV}$ o $400\ \text{kV}$). c) Amb la tensió normalitzada triada, calcula el rendiment global del transport si els transformadors elevador i reductor tenen un rendiment del $98,5\,\%$ cadascun, i justifica per què no s'eleva la tensió de manera indefinida per reduir encara més les pèrdues.

A partir de la placa de característiques del transformador monofàsic de distribució que es mostra a la figura:

1. a) Una nau industrial projecta connectar al secundari receptors amb una potència activa total de $42\ \text{kW}$ i un factor de potència mitjà $\cos\varphi = 0,70$. Demostra mitjançant el càlcul de la potència aparent demandada i dels corrents nominals si aquest transformador pot proveir aquesta instal·lació de forma continuada sense sobrecarregar-se.
2. b) Si la densitat màxima admissible de corrent en els debanaments de coure és de $3,2\ \text{A}/\text{mm}^2$, calcula la secció mínima que ha de tenir el conductor de cada bobinatge i justifica l'enorme disparitat entre ambdues a partir del principi de conservació de la potència.
3. c) Prediu què passaria si connectessis el primari d'aquest transformador a una xarxa de $20\,000\ \text{V}$ però a $60\ \text{Hz}$ en lloc dels $50\ \text{Hz}$ de disseny: analitza com afectaria el flux magnètic màxim al nucli i raona si existiria perill de saturació o sobreescalfament al ferro.

Per subministrar energia a una línia de soldadura industrial de $12\ \text{V}$ que consumeix $720\ \text{W}$ de manera contínua, es comparen dues alternatives de disseny a partir de la xarxa general de $230\ \text{V}$:

• Opció A: reutilitzar dos transformadors ja disponibles connectats en cascada ($230\ \text{V} / 24\ \text{V}$ amb $\eta_1 = 94\,\%$, i $24\ \text{V} / 12\ \text{V}$ amb $\eta_2 = 90\,\%$).

• Opció B: adquirir un nou transformador directe de $230\ \text{V} / 12\ \text{V}$ amb un rendiment del $96\,\%$ i un cost d'adquisició de $140\ \text{€}$.

1. a) Calcula la potència activa分子 absorbida de la xarxa i el rendiment global en ambdues opcions.
2. b) La instal·lació funciona $2\,500\ \text{h}$ a l'any i el preu de l'energia elèctrica és de $0,20\ \text{€}/\text{kWh}$. Avalua l'estalvi econòmic anual que reporta l'opció B i calcula el període d'amortització de la inversió.
3. c) Calcula la potència dissipada en forma de calor que ha d'evacuar l'armari elèctric en cada cas i extreu una conclusió tècnica sobre per què la proliferació d'etapes intermèdies degrada l'eficiència i la fiabilitat d'una instal·lació.

Un transformador monofàsic de laboratori ($230\ \text{V} / 12\ \text{V}$, $115\ \text{VA}$, $50\ \text{Hz}$) té una resistència òhmica interna en el seu debanament primari de $4,6\ \Omega$. Un alumne comet l'error d'alimentar el debanament primari amb una font de corrent continu regulada a $230\ \text{V}$.

1. a) Prediu quina tensió s'induirà a borns del secundari tant en l'instant inicial de tancament de l'interruptor com uns segons després en règim permanent. Justifica físicament la diferència a partir de la llei de Faraday-Lenz.
2. b) Calcula la intensitat que absorbeix el primari en corrent continu i compara-la quantitativament amb el seu corrent nominal en altern a plena càrrega. Quin efecte tèrmic destructiu es desencadena?
3. c) Justifica per què un transformador no pot operar en corrent continu i explica quina propietat electromagnètica del corrent altern permet que a $230\ \text{V}$ eficaços el corrent de buit en altern sigui de tot just uns mil·liampers.

Durant la revisió d'un transformador monofàsic de distribució ($10\ \text{kVA}$, $15\,000\ \text{V} / 400\ \text{V}$), el servei de manteniment observa un zumzeig acústic anormalment elevat i un escalfament excessiu de la cuba, fins i tot quan el transformador funciona pràcticament en buit. Es plantegen tres possibles causes: afluixament o trencament del vernís aïllant de les xapes del nucli magnètic, curtcircuit intern entre diverses espires adjacents d'un bobinatge, o ventilació exterior severament obstruïda.

1. a) Explica el mecanisme físic pel qual les dues primeres anomalies provoquen pèrdues energètiques addicionals i augment de temperatura, identificant si afecten predominantment les pèrdues en el coure o en el ferro (corrents de Foucault o efecte Joule localitzat).
2. b) Dissenya un protocol de diagnòstic elèctric per identificar la causa real: quins assajos normalitzats (assaig de buit o assaig de curtcircuit) o mesuraments realitzaries i quines magnituds hauries de registrar per discriminar entre una fallada en el ferro i una fallada en els debanats.
3. c) Si en l'assaig de buit a tensió nominal el vatímetre mesura unes pèrdues $P_0$ quatre vegades superiors a les de catàleg, però el corrent de buit $I_0$ amb prou feines puja un $10\,\%$ i la relació de tensions en buit es manté exacta, emet un dictamen tècnic justificat determinant quina de les anomalies n'és la responsable.

Dissenya la instal·lació d'alimentació per a un rètol lluminós exterior compost per tires LED de molt baixa tensió que consumeixen en total $180\ \text{W}$ a $12\ \text{V}$ amb $\cos\varphi = 0,90$, alimentades des de la xarxa monofàsica de $230\ \text{V}$ ($50\ \text{Hz}$).

1. a) Determina la potència aparent mínima que demana la càrrega i selecciona la potència normalitzada comercial del transformador més adequada (a triar entre $160\ \text{VA}$, $250\ \text{VA}$, $400\ \text{VA}$ o $500\ \text{VA}$), garantint un marge de reserva d'almenys el $20\,\%$ respecte a la potència requerida.
2. b) Amb el transformador comercial triat, calcula el corrent nominal del primari, el corrent nominal del secundari i la relació de transformació $m$.
3. c) Selecciona el calibre nominal del fusible per protegir el debanat primari davant de curtcircuits i sobrecàrregues, justificant si ha de ser de corba ràpida (gG) o lenta/retardada tenint en compte el pic transitori de magnetització (inrush current), i explica quins requisits d'aïllament galvànic ha de reunir aquest transformador segons el REBT per classificar-se com a transformador de seguretat MBTS.

En connectar el primari d'un transformador monofàsic a la xarxa de $230\ \text{V}$ amb el secundari en circuit obert (sense cap càrrega connectada), un amperímetre detecta un corrent molt petit ($I_0 = 0,15\ \text{A}$) i el debanat no pateix cap dany, malgrat que la resistència del fil de coure és de tot just $2\ \Omega$.

1. a) Demostra quantitativament quin corrent resultaria si només actués la resistència òhmica davant d'una tensió de $230\ \text{V}$, i dedueix quina magnitud elèctrica dependent de la inductància del bobinatge limita en realitat la intensitat en règim de corrent altern.
2. b) La potència activa registrada per un vatímetre en buit és de $6,5\ \text{W}$. Descompon el corrent de buit $I_0$ en la seva component activa de pèrdues en el ferro ($I_{Fe}$) i la seva component reactiva magnetitzant ($I_\mu$), i calcula el factor de potència en buit $\cos\varphi_0$.
3. c) Justifica la destinació física d'aquests $6,5\ \text{W}$ consumits contínuament pel transformador i interpreta per què les empreses elèctriques penalitzen el funcionament prolongat en buit de grans transformadors en clients industrials.

Un anunci publicitari promociona un dispositiu basat en un transformador elevador amb el següent reclam: «Augmenta deu vegades l'energia elèctrica de la teva xarxa: introdueix $230\ \text{V}$ i obtén $2\,300\ \text{V}$ mantenint la mateixa intensitat per alimentar deu vegades més maquinària sense cost addicional».

1. a) Rebat de manera rigorosa aquest reclam aplicant el primer principi de la termodinàmica i formula l'equació de balanç de potències activa i aparent que regeix en un transformador ideal.
2. b) Si el dispositiu és un transformador real amb una relació d'espires $N_2 / N_1 = 10$, projectat per subministrar $4,6\ \text{kVA}$ amb un rendiment $\eta = 95\,\%$ a plena càrrega amb factor de potència unitat: calcula el corrent que circularà realment pel secundari quan pel primari circulin els $20\ \text{A}$ nominals a $230\ \text{V}$.
3. c) Determina la potència dissipada en forma de calor a l'interior de la màquina en aquestes condicions i conclou quin paràmetre electromagnètic és l'únic que veritablement eleva el transformador i a costa de quina magnitud física ho aconsegueix obligatòriament.