Exercicis: Motors elèctrics de corrent altern

La figura mostra el tall transversal esquemàtic d'un motor asíncron trifàsic, amb una de les seves parts assenyalada amb l'interrogant (?). Les parts carcassa, estator i eix estan retolades.

1. a) Identifica la part assenyalada amb l'interrogant i descriu la seva construcció (de quins elements està formada i com estan units).

1. b) Explica la funció de l'estator, de l'eix i de la carcassa.

1. c) Explica com aconsegueix girar la part assenyalada per acció del camp magnètic de l'estator i raona si necessita connexió elèctrica exterior o escombretes.

La figura mostra l'estator d'un motor trifàsic amb les seves tres bobines R, S i T disposades a $120^\circ$ i alimentades per una xarxa trifàsica. Al centre hi ha una fletxa, i la fletxa corba indica el sentit de gir.

1. a) Explica quin tipus de corrent arriba a cada bobina i com estan desfasats entre si els tres corrents.

1. b) Explica què representa la fletxa central i per què gira.

1. c) Indica a quina velocitat gira aquest camp, en rpm, si la xarxa és de $50\ \text{Hz}$ i el motor té dos pols (un parell de pols).

Explica pas a pas per què gira el rotor d'un motor asíncron: quin camp travessa la gàbia d'esquirol, quins corrents s'hi indueixen i quines forces apareixen sobre les seves barres. Raona per què s'anomena «asíncron» (el rotor mai no assoleix la velocitat del camp) i què li passaria al parell si l'assolís.

Defineix el lliscament d'un motor asíncron, $s = \frac{n_s - n}{n_s}$, explicant què és cada velocitat. Indica quant val el lliscament en l'instant de l'arrencada ($n = 0$) i raona per què en aquest instant els corrents induïts en el rotor són màxims.

La velocitat de sincronisme del camp giratori és $n_s = \frac{60 \cdot f}{p}$, on $f$ és la freqüència de la xarxa i $p$ el nombre de parells de pols. Calcula la velocitat de sincronisme a $50\ \text{Hz}$ per a motors de $2$, $4$ i $6$ pols, i explica per què els fabricants ofereixen aquestes velocitats «rodones» ($3\,000$, $1\,500$, $1\,000\ \text{rpm}$).

Explica què és un motor monofàsic i on s'utilitza (rentadora, ventilador, trepant, frigorífic): per què el camp d'una sola bobina alimentada en monofàsica és polsant i no giratori, per què el motor no arrenca sol i quin element (condensador d'arrencada o espira en curtcircuit) resol el problema.

La figura mostra la placa de característiques d'un motor trifàsic amb una dada tapada. a) Indica quina dada falta i quina informació aporta. b) Explica per què la placa mostra dues tensions i dos corrents (connexió en triangle o en estrella segons la xarxa). c) Explica què representa la dada $\cos \varphi$ en un motor.

Relaciona cada aplicació amb el tipus de motor més habitual i justifica-ho: (a) la bomba d'una depuradora industrial, (b) el ventilador de sostre d'un habitatge, (c) la cinta transportadora d'una fàbrica, (d) el compressor d'un frigorífic; amb motor asíncron trifàsic o motor monofàsic. Raona per què l'asíncron trifàsic domina la indústria (robustesa, preu, absència d'escombretes i arrencada directa).

Un motor asíncron de quatre pols connectat a $50\ \text{Hz}$ gira en càrrega a $1\,440\ \text{rpm}$. a) Calcula la seva velocitat de sincronisme. b) Calcula el seu lliscament en valor unitari i en percentatge. c) Explica què li passa al lliscament si s'augmenta la càrrega mecànica de l'eix i com respon el motor (més corrent induït, més parell).

Calcula la velocitat de sincronisme de motors de $2$, $4$ i $6$ pols connectats a una xarxa de $50\ \text{Hz}$, i la d'un motor de $4$ pols connectat a una xarxa americana de $60\ \text{Hz}$. Comenta quina implicació té per a una màquina dissenyada per a $50\ \text{Hz}$ treballar en una xarxa de $60\ \text{Hz}$ (velocitat un $20\,\%$ més gran).

Un motor de dos pols a $50\ \text{Hz}$ treballa amb un lliscament del $3\,\%$. a) Calcula la seva velocitat de gir en càrrega. b) Calcula la seva velocitat angular $\omega = \frac{2 \pi \cdot n}{60}$ en $\text{rad/s}$. c) Si en buit gira a $2\,970\ \text{rpm}$, calcula el seu lliscament en buit i raona per què mai no arriba a $3\,000\ \text{rpm}$ encara que no tingui càrrega (fregaments i ventilació).

Un motor de quatre pols a $50\ \text{Hz}$ lliura una potència útil de $1{,}5\ \text{kW}$ amb un lliscament del $4\,\%$. a) Calcula la seva velocitat de gir. b) Calcula la seva velocitat angular. c) Calcula el parell que lliura a l'eix, $M = \frac{P}{\omega}$, i expressa'l en $\text{N}\cdot\text{m}$.

Un motor absorbeix de la xarxa $2{,}2\ \text{kW}$ i lliura al seu eix $1{,}9\ \text{kW}$. a) Calcula el seu rendiment. b) Calcula la potència perduda i reparteix-la qualitativament entre pèrdues en el coure de l'estàtor i del rotor, pèrdues en el ferro i pèrdues mecàniques (fregament i ventilació). c) Raona per què un motor s'escalfa més com més carregat treballa.

La placa d'un motor indica «$230/400\ \text{V}$ — $\triangle/\text{Y}$». Explica què significa aquesta doble indicació: a quina tensió de xarxa s'ha de connectar en triangle i a quina en estrella, quina tensió suporta cada bobinatge en ambdós casos ($230\ \text{V}$) i per què la potència del motor és la mateixa en les dues connexions.

Explica com s'inverteix el sentit de gir d'un motor asíncron trifàsic (intercanviant dues qualssevol de les seves tres fases) i justifica-ho amb el camp magnètic giratori: què canvia en la seqüència amb què s'alimenten les bobines. Funcionaria el mateix truc en un motor monofàsic? Raona la resposta.

En l'arrencada, un motor asíncron consumeix entre $5$ i $7$ vegades el seu corrent nominal. Explica el motiu amb el lliscament (en arrencar $s = 1$: els corrents induïts en el rotor són màxims) i descriu dues conseqüències pràctiques (caiguda de tensió en la instal·lació, tret de proteccions) i dos mètodes per reduir-la (arrencada estrella-triangle, arrencada amb variador de freqüència).

Un motor asíncron trifàsic de quatre pols ($50\ \text{Hz}$) acciona un ventilador industrial el parell resistent del qual respon a la llei quadràtica $M_r(n) = k \cdot n^2$. En el punt nominal de treball, el motor lliura la seva potència útil nominal de $3\ \text{kW}$ girant a $1\,425\ \text{rpm}$. a) Calcula el parell útil nominal i el valor de la constant $k$ de la càrrega (expressada en $\text{N}\cdot\text{m}/\text{rpm}^2$). b) Per una caiguda imprevista a la xarxa, la tensió d'alimentació disminueix un $10\,\%$ ($U' = 0{,}90 \cdot U$). Sabent que el parell motor a la zona lineal de treball estable és proporcional al lliscament i al quadrat de la tensió ($M \propto U^2 \cdot s$), prediu i justifica si el motor assolirà un nou punt d'equilibri estable o es calarà. c) Determina la nova velocitat de gir d'equilibri aproximada del conjunt motor-càrrega després de la caiguda de tensió i calcula el nou lliscament.

En una planta industrial alimentada a $400\ \text{V}$ i $50\ \text{Hz}$, un motor trifàsic acciona una bomba lliurant $4\ \text{kW}$ mecànics amb un rendiment del $88\,\%$ i treballant amb factor de potència $\cos \varphi = 0{,}72$. La línia d'alimentació trifàsica presenta una resistència per conductor de $R_L = 0{,}25\ \Omega$. a) Calcula el corrent de línia absorbit pel motor i la potència total dissipada per efecte Joule en els tres conductors de la línia. b) Per reduir pèrdues i evitar penalitzacions de la companyia elèctrica, es projecta connectar en paral·lel amb el motor una bateria de condensadors en triangle per elevar el factor de potència global a $0{,}95$. Calcula la potència reactiva total que ha d'aportar la bateria i la capacitat individual de cada condensador. c) Avalua quantitativament el percentatge de reducció en les pèrdues Joule de la línia de transport després de la compensació i justifica per què no és recomanable sobredimensionar la bateria per assolir un $\cos \varphi = 1$ en règim de càrrega variable.

En una línia de producció, un motor trifàsic de gàbia d'esquirol de $400\ \text{V}$ i $5{,}5\ \text{kW}$ acciona una cinta transportadora. De manera sobtada, el motor perd velocitat d'una manera acusada, emet un zumzeig greu anòmal i la sonda tèrmica interna activa la parada per sobreescalfament. L'equip de manteniment realitza les comprovacions següents: 1) Tensió entre fases en borns: $U_{L1-L2} = 400\ \text{V}$, $U_{L2-L3} = 400\ \text{V}$, $U_{L1-L3} = 400\ \text{V}$. 2) Intensitats de línia preses amb pinça: $I_1 = 0\ \text{A}$, $I_2 = 18{,}6\ \text{A}$, $I_3 = 18{,}5\ \text{A}$ (el corrent nominal és d'$11\ \text{A}$). 3) Amb el motor desacoblat i desenergitzat, el rotor gira lliurement a mà sense folgances ni fricció anòmala. a) Interpreta les dades mesurades i descarta raonadament les hipòtesis de fallada per bloqueig mecànic de coixinets i de tall general en l'escomesa de xarxa. b) Dedueix la causa exacta de la fallada («marxa monofàsica») i justifica per què el motor va continuar girant en lloc d'aturar-se en l'instant en què es va produir l'anomalia. c) Utilitzant la teoria dels dos camps giratoris directe i invers, explica l'origen del zumzeig i raona per què els corrents $I_2$ i $I_3$ superen àmpliament el valor nominal, predient què passaria amb el bobinatge si el relé de protecció no actués a temps.

Un informe tècnic proposa substituir en una cimentera l'accionament d'un molí de cru d'$1{,}2\ \text{MW}$ continu: «Es recomana substituir el motor síncron existent per un motor asíncron de gàbia d'esquirol estàndard, ja que el motor síncron consumeix massa energia reactiva inductiva penalitzant la factura i, a més, la seva velocitat fluctua en excés amb els cops de càrrega del mineral». a) Rebat els dos errors conceptuals continguts en l'afirmació respecte a l'estabilitat de la velocitat i al comportament del motor síncron davant de l'energia reactiva. b) Explica mitjançant les corbes en «V» de Mordey com es pot ajustar el corrent d'excitació del rotor d'una màquina síncrona perquè funcioni com un condensador síncron que millori el factor de potència de la planta. c) Dissenya i justifica l'elecció de màquina més idònia per a aquest accionament d'alta potència, explicant la dificultat d'arrencada que presenta el motor síncron connectat directament a xarxa i quina solució tècnica s'adopta habitualment per arrencar-lo.

Un sistema de bombament centrífug impulsat per un motor asíncron trifàsic de quatre pols ($400\ \text{V}$, $50\ \text{Hz}$) opera a règim nominal requerint $15\ \text{kW}$. Per necessitats del procés, es requereix reduir el cabal al $70\,\%$. La direcció compara dues opcions: 1) Mantenir el motor a $50\ \text{Hz}$ i tancar parcialment una vàlvula d'estrangulació. 2) Instal·lar un variador de freqüència (VFD) i reduir la velocitat de gir mantenint la vàlvula oberta al $100\,\%$. a) Recolzant-te en les lleis d'afinitat de les bombes (on el cabal és proporcional a la velocitat i la potència varia amb el cub de la velocitat), estima la potència mecànica requerida per la bomba en l'opció 2 i prediu l'estalvi energètic relatiu enfront de l'opció 1. b) Si el variador fixa la freqüència de sortida en $35\ \text{Hz}$, determina la tensió de línia que ha d'alimentar el motor sota una llei de control escalar $V/f$ constant. Justifica què passaria amb el flux magnètic en el ferro i amb el corrent de buit si es mantinguessin els $400\ \text{V}$ constants a $35\ \text{Hz}$. c) Prediu quines limitacions tècniques de parell útil i refrigeració apareixen si s'opera el motor per sobre de la seva freqüència nominal de $50\ \text{Hz}$ (febliment de camp) i per sota de $15\ \text{Hz}$ amb ventilació pròpia sobre l'eix.

Un motor monofàsic d'inducció d'una formigonera té el condensador d'arrencada avariat (obert). En connectar-lo a la xarxa de $230\ \text{V}$, roman bloquejat emetent un zumzeig. Tanmateix, si l'operari gira amb força la politja a mà en sentit horari, el motor arrenca i accelera fins a gairebé la seva velocitat nominal en aquest sentit; si l'impulsa cap a l'esquerra, gira en sentit antihorari. a) Demostra analíticament i conceptualment, a partir de la teoria del doble camp giratori de Ferraris, per què el parell d'arrencada pur és idènticament nul ($s = 1$) i per què sorgeix un parell motor net així que el rotor experimenta una velocitat inicial en qualsevol direcció. b) Es substitueix el condensador danyat per un altre la capacitat del qual és una quarta part de la de disseny. Prediu justificadament com es veurà alterat el desfasament temporal entre els corrents del debanament principal i auxiliar, el camp magnètic espacial resultant i la capacitat d'arrencada sota càrrega. c) Dibuixa o descriu amb precisió l'esquema elèctric funcional de connexió que ha d'incloure un commutador de dues posicions per permetre la inversió del sentit de gir d'aquest motor monofàsic en l'arrencada de manera totalment autònoma.

Has de prescriure el motor elèctric per accionar una cinta transportadora que opera a la intempèrie en una pedrera d'àrids (ambient amb molta pols en suspensió i sotmès a projeccions periòdiques d'aigua a pressió per a neteja). La cinta requereix una potència mecànica neta de $2{,}2\ \text{kW}$ a una velocitat compresa entre $1\,400$ i $1\,450\ \text{rpm}$. Disposes d'una xarxa trifàsica de $400\ \text{V}$ a $50\ \text{Hz}$. Al catàleg del fabricant trobes aquestes tres referències de $2{,}2\ \text{kW}$: Motor A (2 pols, IP54, rendiment IE1, placa $230/400\ \text{V}$); Motor B (4 pols, IP65, rendiment IE3, placa $400/690\ \text{V}$); Motor C (4 pols, IP44, rendiment IE3, placa $230/400\ \text{V}$). a) Selecciona de manera raonada l'opció idònia descartant una a una les altres dues d'acord amb la velocitat nominal requerida, la idoneïtat davant de l'entorn ambiental (interpretant el codi IP) i la normativa vigent d'eficiència energètica industrial. b) Per al motor triat, determina la connexió que has de realitzar a la seva placa de borns (estrella o triangle) per connectar-lo als $400\ \text{V}$ de la xarxa i dibuixa la disposició de les platines de coure sobre els borns $U_1, V_1, W_1, U_2, V_2, W_2$. c) Si el motor seleccionat té $\cos \varphi = 0{,}81$ i un rendiment del $86{,}5\,\%$, calcula el seu corrent nominal de línia i calcula el rang de regulació del disparador tèrmic del guardamotor per garantir-ne la protecció.

En la placa metàl·lica de característiques d'un motor asíncron trifàsic s'han esborrat diversos valors per corrosió. Només són llegibles els paràmetres següents: $P_{\text{útil}} = 2{,}2\ \text{kW} \quad | \quad 50\ \text{Hz} \quad | \quad \cos \varphi = 0{,}84 \quad | \quad \eta = 86{,}0\,\% \quad | \quad \text{Connexió } \text{Y: } 400\ \text{V}$. En assajar-lo al banc de proves a plena càrrega, un tacòmetre digital mesura una velocitat a l'eix d'$1\,430\ \text{rpm}$. a) Dedueix de manera justificada el nombre de pols de l'estàtor demostrant la impossibilitat que tingui 2 o 6 pols, i calcula amb precisió el seu lliscament nominal percentual i el parell útil transmès a l'eix. b) Determina la potència activa total que marcarà un vatímetre trifàsic connectat a l'entrada del motor i el valor de corrent eficaç que mesurarà una pinça amperimètrica en qualsevol dels tres conductors de línia. c) Un operari proposa connectar el motor en triangle ($\Delta$) a la mateixa xarxa de $400\ \text{V}$ afirmant que així el motor treballarà més folgat i lliurarà més potència sense patir danys. Rebat la seva afirmació calculant la tensió que suportaria cada bobina de fase en triangle enfront del seu valor nominal de disseny en estrella, i prediu les conseqüències tèrmiques i inductives sobre l'aïllament del motor.

Repte del tema. Dissenya una miniauditoria electromagnètica a casa teva analitzant dues màquines elèctriques quotidianes.

1. Presa de dades: Localitza un electrodomèstic amb motor de corrent altern (rentadora, ventilador o batedora) i un transformador o adaptador de corrent. Registra les seves plaques de característiques: tensions ($V_1$, $V_2$), potència ($P$) i freqüència ($f = 50\text{ Hz}$).

2. Càlculs tècnics: A LibreOffice Calc, troba la relació de transformació ($m = V_1 / V_2$) i estima el corrent secundari nominal. Per al motor asíncron, calcula la intensitat de línia ($I$) i la potència aparent ($S$) assumint un $\cos \varphi = 0,85$, així com la seva velocitat de sincronisme ($n_s = 60 \cdot f / p$) per a $p = 1$ i $p = 2$ parells de pols.

3. Proposta i context: Consulta al web de Red Eléctrica de España (REE) la corba de demanda diària peninsular i redacta un informe breu (una pàgina) justificant per què compensar l'energia reactiva dels motors evita sobrecarregar els transformadors de distribució.

Es valorarà:

• Rigor i exactitud en els càlculs de paràmetres del transformador i del motor ($m$, $I$, $S$, $n_s$).

• Correcte tractament de dades i unitats a LibreOffice Calc.

• Qualitat de l'informe i coherència tècnica en vincular el factor de potència amb l'eficiència a la xarxa de REE.