Exercicis: Potència en corrent altern

Defineix les tres potències del corrent altern (activa, reactiva i aparent), indica la unitat de cadascuna ($\text{W}$, $\text{VAr}$, $\text{VA}$) i explica quina d'elles produeix treball útil i escalfa realment les resistències.

Explica amb les teves paraules què és el factor de potència, $\cos \varphi$, quins valors pot prendre entre una càrrega resistiva pura i una càrrega molt inductiva, i per què a les companyies elèctriques els interessa que sigui proper a $1$.

Un taller consumeix una potència activa $P = 3\ \text{kW}$ amb una potència aparent $S = 4\ \text{kVA}$, com es mostra al triangle de potències de la figura. Calcula el factor de potència de la instal·lació i, aplicant el teorema de Pitàgores al triangle, la potència reactiva $Q = \sqrt{S^2 - P^2}$.

Anomena dues càrregues domèstiques pràcticament resistives (que només consumeixen potència activa) i dues càrregues amb bobines importants (que també consumeixen reactiva). Què passa amb el factor de potència d'una casa quan funcionen sobretot les primeres?

Explica com emmagatzemen energia una bobina (camp magnètic) i un condensador (camp elèctric) i per què aquesta energia «va i torna» a la xarxa dues vegades per cicle sense consumir-se: aquest vaivé és la potència reactiva.

Els grups electrògens i els transformadors s'especifiquen en $\text{kVA}$ i no en $\text{kW}$. Explica'n el motiu (les seves limitacions tèrmiques depenen del corrent total, no de quant en sigui útil) i calcula la potència activa màxima que pot alimentar un grup de $20\ \text{kVA}$ amb càrregues de $\cos \varphi = 0{,}8$.

En una factura industrial apareixen energia activa ($\text{kWh}$) i energia reactiva ($\text{kVArh}$). Explica què ha registrat cada terme, per què només l'activa «treballa» i a partir de quina proporció de reactiva se solen aplicar penalitzacions.

El vell comptador electromecànic de disc només registrava energia activa. Explica per què (el disc es mou amb la component útil del corrent) i quina diferència hi ha amb els comptadors electrònics actuals, que registren també reactiva i discriminació horària.

Un motor monofàsic de $230\ \text{V}$ consumeix $10\ \text{A}$ amb un factor de potència de $0{,}8$. a) Calcula la potència aparent, l'activa ($P = V \cdot I \cdot \cos \varphi$) i la reactiva (amb $\sen \varphi$ deduït del triangle). b) Explica quina part del corrent mesurat per l'amperímetre no produeix treball útil.

Un motor monofàsic de $230\ \text{V}$ consumeix $10\ \text{A}$ amb un factor de potència de $0{,}8$. Mantenint la mateixa potència activa, calcula el corrent que consumiria si el seu factor de potència fos $1$, i raona quines conseqüències pràctiques té la reducció de corrent (secció de cable, escalfament, caiguda de tensió).

Explica com compensen els condensadors l'energia reactiva de les bobines: quin intercanvi d'energia es produeix entre tots dos en cada semicicle i per què la bateria de condensadors es col·loca en paral·lel amb la instal·lació i no en sèrie.

Una instal·lació consumeix $P = 12\ \text{kW}$ amb $\cos \varphi = 0{,}6$. a) Calcula la potència aparent $S$ i la reactiva $Q$ (utilitza $\sen \varphi = 0{,}8$ per a aquest angle). b) Calcula el corrent a $400\ \text{V}$ (monofàsica equivalent, $I = \frac{S}{V}$) i compara'l amb el que circularia amb $\cos \varphi = 1$.

Un taller presenta $S = 25\ \text{kVA}$ i $Q = 15\ \text{kVAr}$. a) Calcula la potència activa aplicant el teorema de Pitàgores al triangle de potències. b) Calcula el factor de potència. c) Raona si la instal·lació pagaria penalització amb un límit de $\cos \varphi = 0{,}95$.

Duas càrregues de $2\ \text{kW}$ a $230\ \text{V}$ funcionen una amb $\cos \varphi = 1$ i una altra amb $\cos \varphi = 0{,}5$. a) Calcula el corrent de cadascuna. b) Calcula la secció econòmica justificada per a cada cas, tenint en compte una densitat de corrent admissible de $4\ \text{A/mm}^2$, i comenta per què la distribuïdora repercuteix el cost de la reactiva.

Els tubs fluorescents antics amb balast electromagnètic tenien $\cos \varphi \approx 0{,}5$ si no portaven condensador de compensació. Explica per què el balast (una bobina) introdueix reactiva, què fa el condensador en paral·lel i per què els LED amb controlador electrònic plantegen problemes diferents (harmònics, no desfasament clàssic).

Una nau té $P = 40\ \text{kW}$ i $\cos \varphi = 0{,}8$, i vol pujar a $0{,}98$. a) Calcula la reactiva actual (amb $\sen \varphi = 0{,}6$) i l'admesa després de la millora (amb $\sen \varphi \approx 0{,}2$). b) Obtén per diferència la potència de la bateria de condensadors necessària. c) Comenta per què la bateria s'instal·la amb esglaons automàtics.

Una fàbrica té un factor de potència de $0{,}7$ i consumeix $50\ \text{kW}$ de potència activa. La companyia penalitza els consums amb $\cos \varphi < 0{,}95$. a) Calcula la potència aparent i la reactiva actuals. b) Calcula la reactiva que quedaria amb $\cos \varphi = 0{,}95$ (pots fer servir que $\sen \varphi \approx 0{,}31$) i, per diferència, la reactiva capacitiva que ha d'aportar la bateria de condensadors. c) Comenta per què la compensació no redueix la factura d'energia activa però sí altres càrrecs.

En la factura elèctrica mensual d'una indústria metal·lúrgica apareixen els registres de consum següents en horari d'activitat: energia activa $E_p = 40\,000\ \text{kWh}$ i energia reactiva inductiva $E_q = 28\,000\ \text{kVArh}$. La normativa estableix que no hi ha penalització si el $\cos \varphi \ge 0{,}95$ (cosa que equival a que la reactiva no superi el $33\,\%$ de l'activa); si la reactiva supera aquest límit però no el $75\,\%$, l'excés es factura a $0{,}0415\ \text{€/kVArh}$; i el tram que superi el $75\,\%$ es penalitza a $0{,}0623\ \text{€/kVArh}$. a) Determina el factor de potència mitjà mensual de la indústria i interpreta si incorre en penalització. b) Calcula l'import total del recàrrec per energia reactiva facturable en aquest mes aplicant els trams oficials. c) Un instal·lador pressuposta una bateria automàtica de condensadors per $4\,200\ \text{€}$. Suposant que el règim productiu és similar tot l'any, calcula el període de retorn simple de la inversió (en mesos) i justifica raonadament la decisió de compra.

Dos tallers consumeixen la mateixa potència activa de $20\ \text{kW}$ a $400\ \text{V}$ (monofàsica equivalent), però l'un treballa amb $\cos \varphi = 1$ i l'altre amb $\cos \varphi = 0{,}6$. a) Calcula el corrent de cadascun i el quocient entre tots dos. b) Calcula les pèrdues per efecte Joule en una línia de $1\ \Omega$ per a cada cas ($P_p = R \cdot I^2$) i expressa-les en percentatge de la potència útil. c) Extreu una conclusió sobre l'eficiència del transport amb baix factor de potència.

Una factura penalitza la reactiva que supera el $33\,\%$ de l'activa consumida ($\cos \varphi \approx 0{,}95$ d'equivalència). Una fàbrica consumeix $30\,000\ \text{kWh}$ i $16\,000\ \text{kVArh}$ al mes. a) Comprova si supera el límit. b) Calcula l'excés de $\text{kVArh}$ facturable. c) Amb un recàrrec de $0{,}04\ \text{€/kVArh}$, calcula la penalització anual i compara-la amb el cost d'una bateria de condensadors de $50\ \text{kVAr}$ ($3\,000\ \text{€}$): en quant de temps s'amortitza?

Una fàbrica que opera només de dilluns a divendres instal·la una bateria fixa de condensadors de $60\ \text{kVAr}$ connectada permanentment al quadre general. Durant el cap de setmana, amb la maquinària apagada, la nau registra únicament un consum actiu residual de $4\ \text{kW}$ a causa de sistemes de seguretat i servidors. a) Dibuixa de forma qualitativa el triangle de potències durant el cap de setmana, calcula el factor de potència resultant i classifica'l (inductiu o capacitiu). b) Dilluns al matí els tècnics detecten que diversos equips electrònics s'han avariat per sobretensió i la distribuïdora notifica una sanció econòmica per injecció capacitiva a la xarxa en període vall. Justifica físicament la causa de l'elevació de tensió en borns (efecte Ferranti local) i per què les distribuïdores penalitzen aquest abocament. c) Dissenya una modificació en el sistema de compensació (tipus de bateria i lògica de regulació) que resolgui ambdós problemes garantint la compensació adequada entre setmana.

Una nau industrial s'alimenta des d'un quadre general. A $120\ \text{m}$ de distància, una línia interna de coure alimenta un taller amb quatre grans bombes d'aigua de $18{,}4\ \text{kW}$ cadascuna, amb $\cos \varphi = 0{,}75$ a una tensió trifàsica de $400\ \text{V}$ (pren $\sqrt{3} \approx 1{,}732$). La secció dels conductors interiors treballa al límit d'escalfament admissible. Es plantegen dues opcions: instal·lar una bateria automàtica al quadre general de capçalera o instal·lar condensadors individuals als borns de cada bomba. a) Calcula el corrent per la línia interior de $120\ \text{m}$ quan funcionen les quatre bombes amb i sense compensació individual a $\cos \varphi = 0{,}98$, i determina en quin percentatge es redueixen les pèrdues per efecte Joule ($R \cdot I^2$) en aquesta línia amb cadascuna de les dues alternatives. b) Prediu què passaria si s'instal·lés un únic condensador fix dimensionat per a les quatre bombes al costat del taller, però per baixa demanda només n'estigués funcionant una. c) Justifica quina és la solució tècnica òptima considerant cost, flexibilitat i descàrrega tèrmica de les línies.

En una planta embotelladora se substitueixen motors tradicionals per motors amb variador de freqüència (càrregues no lineals que injecten harmònics, destacant el $5.^{\circ}$ harmònic a $f_5 = 250\ \text{Hz}$). Després de connectar una bateria de condensadors de compensació estàndard de $C = 120\ \mu\text{F}$ per fase associada a un transformador amb una inductància equivalent de xarxa de $L = 3{,}38\ \text{mH}$ per fase, els fusibles de la bateria es fonen per sobreescalfament continu i la distorsió de tensió es dispara. a) Calcula la freqüència de ressonància paral·lela del sistema, $f_r = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{L \cdot C}}$, i interpreta la causa física de l'avaria en interactuar amb els corrents generats pels variadors. b) Un operari proposa substituir els condensadors per uns altres de més capacitat ($C' = 250\ \mu\text{F}$) al·legant que «així aguantaran més corrent». Rebat tècnicament la seva proposta calculant la nova freqüència de ressonància i deduint amb quin altre harmònic típic ($3.^{\circ}$ a $150\ \text{Hz}$) entraria en ressonància. c) Justifica la solució tècnica correcta: demostra analíticament quina condició ha de complir la reactància equivalent d'una branca sèrie formada per condensador i inductància de rebuig ($X_{\text{serie}} = 2\pi f L_d - \dfrac{1}{2\pi f C}$) a $50\ \text{Hz}$ i a $250\ \text{Hz}$ per evitar aquest fenomen.

Un analitzador de xarxes registra els següents règims de funcionament en una fusteria industrial trifàsica ($400\ \text{V}$, $50\ \text{Hz}$) al llarg d'una jornada: règim A (producció intensiva, $8\ \text{h}$): $P = 40\ \text{kW}$, $\cos \varphi = 0{,}70$ inductiu ($\tan \varphi \approx 1{,}02$); règim B (tall auxiliar i muntatge, $6\ \text{h}$): $P = 20\ \text{kW}$, $\cos \varphi = 0{,}60$ inductiu ($\tan \varphi \approx 1{,}33$); règim C (stand-by i descans, $10\ \text{h}$): $P = 2\ \text{kW}$, $\cos \varphi = 0{,}50$ inductiu ($\tan \varphi \approx 1{,}73$). L'objectiu és mantenir en tot moment el $\cos \varphi \ge 0{,}95$ sense sobrecompensar mai (evitant $\cos \varphi$ capacitiu). a) Calcula la potència reactiva de compensació $Q_c$ estrictament requerida per assolir $\cos \varphi = 0{,}98$ ($\tan \varphi \approx 0{,}20$) en el règim A i en el règim B. b) Dissenya la composició d'una bateria automàtica per graons (nombre de passos i potència de cada graó en $\text{kVAr}$) que cobreixi adequadament els règims de càrrega analitzats. Justifica per què s'han d'evitar graons d'excessiva potència. c) Justifica per què sobredimensionar la bateria prenent el pic d'arrencada dels motors o instal·lar una bateria fixa calculada per al règim A provocaria greus problemes tècnics i tarifaris en el règim C.