Exercicis: Magnituds del corrent altern

Explica la diferència entre corrent continu i corrent altern, i raona per què el transport d'energia elèctrica a llarga distància es fa en altern (transformadors, elevació de tensió i reducció de pèrdues).

Defineix amb una frase cada magnitud d'una ona sinusoïdal: valor màxim, valor eficaç, període i freqüència. Indica les seves unitats en el Sistema Internacional i la relació matemàtica entre període i freqüència.

La figura mostra la tensió de la xarxa elèctrica, amb el seu valor màxim i el seu període assenyalats. Sabent que el valor eficaç de la xarxa és de $230\ \text{V}$, calcula el valor màxim $V_{max} = V_{ef} \cdot \sqrt{2}$ i explica què significa físicament el valor eficaç d'una tensió alterna.

Explica què és la fase inicial d'una ona sinusoïdal i què significa que dues ones de la mateixa freqüència estiguin «en fase» o «en contrafase». Què passa en sumar dues ones idèntiques en contrafase?

La xarxa de gran part d'Amèrica treballa a $120\ \text{V}$ i $60\ \text{Hz}$, i l'europea a $230\ \text{V}$ i $50\ \text{Hz}$. Calcula el període de cada xarxa i explica quina precaució cal prendre en connectar un aparell americà a Europa (tensió i freqüència).

La freqüència de la xarxa és de $50\ \text{Hz}$ perquè les primeres centrals es van construir amb aquesta velocitat de gir i tota la xarxa sincronitzada va heretar el valor. Explica per què tota una xarxa interconnectada ha de funcionar exactament a la mateixa freqüència i què passa si una central s'avança o s'endarrereix en fase.

D'una gràfica de tensió enfront del temps, indica com es mesuren directament el valor màxim i el període, i com se'n dedueixen el valor eficaç i la freqüència. Quines dades no es poden saber mirant només un valor instantani?

Distingeix entre valor mitjà i valor eficaç d'una ona sinusoïdal: quant val el valor mitjà d'un cicle complet i per què s'utilitza el valor mitjà de mig cicle (o de l'ona rectificada) per caracteritzar-la. Quin valor mesura un polímetre bàsic de corrent altern?

Una ona sinusoïdal té un valor màxim de $10\ \text{A}$ i una freqüència de $50\ \text{Hz}$. a) Calcula el seu valor eficaç i el seu període. b) Escriu la seva expressió matemàtica $i(t) = I_{max} \cdot \sen(\omega t)$ calculant abans la pulsació $\omega = 2 \pi f$. c) Indica el valor de la intensitat en $t = 0$ i raona quan assoleix per primera vegada el seu màxim.

Un resistor de $100\ \Omega$ es connecta a la xarxa de $230\ \text{V}$ eficaços. a) Calcula el corrent eficaç que el travessa i la potència mitjana dissipada ($P = V_{ef} \cdot I_{ef}$ en corrent altern amb càrrega resistiva). b) Calcula la tensió màxima que suporta el resistor i explica per què és important conèixer-la a l'hora de triar les seves característiques d'aïllament.

Explica què és la impedància d'un circuit de corrent altern i en què es diferencia d'una resistència pura: quins elements (bobines i condensadors) introdueixen desfasament entre tensió i corrent i amb quina unitat es mesura la impedància.

Un senyal sinusoïdal té una freqüència de $60\ \text{Hz}$ i un valor eficaç de $120\ \text{V}$. a) Calcula el període, la pulsació $\omega$ i el valor màxim. b) Escriu l'expressió completa $v(t)$. c) Calcula el valor instantani a $t = 1\ \text{ms}$ (atenció: $\omega t$ en radians).

Un calefactor de $2\,000\ \text{W}$ es connecta a la xarxa de $230\ \text{V}$ eficaços. a) Calcula el corrent eficaç i la resistència del calefactor en funcionament. b) Calcula el corrent màxim que suporta el cable en cada semicicle. c) Explica per què el magnetotèrmic de $10\ \text{A}$ és adequat per a aquest circuit.

Una corda de guitarra emet un «la» de $440\ \text{Hz}$. a) Calcula el seu període. b) El micròfon el converteix en un senyal elèctric de la mateixa freqüència i $100\ \text{mV}$ de valor màxim: escriu la seva expressió $v(t)$. c) Quina freqüència té el «la» una vuitena per sobre i quina relació té el seu període amb l'original?

Dues ones de la mateixa freqüència, ona 1 i ona 2, estan desfasades un quart de període, de manera que l'ona 1 arriba al seu valor màxim abans que l'ona 2. a) Determina quina va avançada i quants graus i mil·lisegons d'avanç hi ha entre totes dues (la freqüència és $50\text{ Hz}$). b) Raona quin tipus de càrrega (inductiva o capacitiva) podria produir un desfasament així entre tensió i corrent.

Un pont rectificador d'ona completa converteix la sinusoide en una successió de «crestes» d'un sol signe. Explica què fa el pont de díodes, quin valor mitjà té l'ona rectificada ($\frac{2}{\pi}$ del valor màxim) i per què després s'afegeix un condensador de filtre per obtenir corrent continu gairebé pla.

En una pràctica de laboratori connectes una sonda d'oscil·loscopi amb atenuació $10\text{X}$ per mesurar la tensió secundària d'un transformador connectat a la xarxa elèctrica. Un company afirma que el transformador està avariat perquè a la pantalla observa una ona sinusoïdal de $6$ divisions verticals pic a pic en l'escala de $2\ \text{V/div}$, i cada cicle abasta exactament $4$ divisions horitzontals amb la base de temps a $5\ \text{ms/div}$. A més, constates que va oblidar activar el factor $\times 10$ al menú de l'oscil·loscopi.

1. a) Determina els valors reals de tensió de pic, tensió eficaç i freqüència del senyal secundari, justificant l'efecte de l'atenuació de la sonda.
2. b) Rebat amb càlculs l'afirmació del teu company sobre la freqüència del senyal i calcula la relació de transformació $m = V_1 / V_2$ sabent que la tensió eficaç primària de xarxa és de $230\ \text{V}$.
3. c) Si modifiques la base de temps a $2\ \text{ms/div}$, prediu quantes divisions horitzontals ocuparà ara un semiperíode i dedueix quin ajust d'escala horitzontal hauries de seleccionar per visualitzar un mínim de $4$ períodes complets en una pantalla de $10$ divisions horitzontals.

En un circuit de corrent altern a $50\ \text{Hz}$, es mesuren amb un oscil·loscopi de dos canals la tensió d'excitació $v_1(t)$ al canal 1 i la caiguda de tensió $v_2(t)$ en un dipol passiu al canal 2. Ambdós senyals són sinusoïdals purs d'igual amplitud ($V_{\text{max}} = 12\ \text{V}$), però s'observa que $v_2(t)$ arriba al seu valor màxim positiu $5\ \text{ms}$ després que $v_1(t)$.

1. a) Calcula el desfasament temporal i angular (en graus i radians) de $v_2(t)$ respecte de $v_1(t)$. Justifica si es tracta d'un avanç o d'un retard i dedueix raonadament quin tipus de component ideal (resistència, bobina pura o condensador pur) constitueix el dipol si $v_1(t)$ representa la caiguda de tensió en una resistència prèvia en sèrie amb aquest component.
2. b) Si commutes l'oscil·loscopi al mode X-Y assignant $v_1(t)$ a l'eix horitzontal i $v_2(t)$ a l'eix vertical, prediu i justifica la trajectòria geomètrica que es dibuixarà a la pantalla, calculant les seves dimensions característiques.
3. c) Un operari afirma que si la freqüència de la xarxa s'eleva a $100\ \text{Hz}$ mantenint constants l'amplitud i els components del circuit, el desfasament angular entre ambdós senyals es duplicarà. Rebat formalment la seva afirmació distingint entre desfasament angular i retard temporal.

Una instal·lació fotovoltaica d'autoconsum genera una potència activa de $5\ \text{kW}$ que evacua cap al quadre general a través d'una línia monofàsica de coure (resistivitat $\rho = 0{,}018\ \Omega \cdot \text{mm}^2/\text{m}$) de $60\ \text{m}$ de longitud ($120\ \text{m}$ de fil conductor en total) a una tensió de xarxa de $230\ \text{V}$ eficaços.

1. a) Suposant que l'inversor injecta en fase amb la tensió ($\cos \varphi = 1$), determina la secció comercial normalitzada mínima dels conductors (a triar entre $4$, $6$, $10$ o $16\ \text{mm}^2$) perquè la caiguda de tensió relativa a la línia no superi el límit de l'$1{,}5\ \%$ exigit pel REBT.
2. b) Per a la secció comercial triada en l'apartat anterior, calcula la potència dissipada per efecte Joule a la línia d'evacuació i el rendiment de la transmissió.
3. c) La distribuïdora exigeix a l'inversor operar amb un factor de potència $\cos \varphi = 0{,}85$ inductiu mantenint els $5\ \text{kW}$ injectats. Prediu quantitativament com canvien el corrent pel cable, la nova caiguda de tensió percentual i la potència perduda per efecte Joule. Justifica si la secció triada continua complint el criteri reglamentari de l'$1{,}5\ \%$.

Un voltímetre digital econòmic de corrent altern mesura internament el valor mitjà rectificat del senyal ($V_{\text{med}}$) i el multiplica per una constant fixa $k = 1{,}11$ (factor de forma d'una ona sinusoïdal) per mostrar a la pantalla una lectura calibrada com a valor eficaç.

1. a) Demostra analíticament que per a un senyal sinusoïdal pur $v(t) = V_0 \operatorname{sen}(\omega t)$, el factor d'escala que relaciona el valor eficaç ($V_{\text{ef}} = V_0 / \sqrt{2}$) amb el valor mitjà rectificat ($V_{\text{med}} = \frac{2}{\pi} V_0$) és efectivament $k = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \approx 1{,}11$.
2. b) S'utilitza aquest instrument per mesurar una tensió alterna en ona quadrada simètrica d'amplitud $\pm 10\ \text{V}$. Calcula el veritable valor eficaç ($V_{\text{RMS}}$), el valor que mostrarà el voltímetre a la seva pantalla i l'error relatiu percentual que comet la lectura.
3. c) Si es mesura a continuació la tensió de sortida d'un rectificador de mitja ona sense filtrar alimentat amb $230\ \text{V}$ eficaços sinusoïdals, dedueix si el voltímetre econòmic sobreestimarà o subestimarà el veritable valor eficaç tèrmic que dissiparia una resistència connectada a aquesta sortida, calculant numèricament l'error relatiu.

Un analitzador de xarxes mesura el corrent consumit per un conjunt d'ordinadors i lluminàries LED alimentats a $230\ \text{V}$ eficaços ($50\ \text{Hz}$ sinusoïdals). L'anàlisi espectral de Fourier del corrent de fase dona els valors següents:

• Component fonamental ($50\ \text{Hz}$): $I_{1,\text{ef}} = 20\ \text{A}$ amb un desfasament de tensió-corrent $\varphi_1 = 30^\circ$ en retard.

• Tercer harmònic ($150\ \text{Hz}$): $I_{3,\text{ef}} = 8\ \text{A}$.

• Cinquè harmònic ($250\ \text{Hz}$): $I_{5,\text{ef}} = 4\ \text{A}$.

(Es menyspreen els harmònics d'ordre superior).

1. a) Calcula el valor eficaç total del corrent ($I_{\text{ef}}$) i la taxa de distorsió harmònica total de corrent ($\text{THD}_I$).
2. b) Calcula la potència activa real consumida i determina el factor de potència total de la instal·lació ($FP = P / S$), comparant-lo quantitativament amb el factor de desplaçament ($\cos \varphi_1$). Justifica a què es deu la diferència.
3. c) En una distribució trifàsica equilibrada amb aquestes mateixes càrregues, justifica físicament per què el corrent pel conductor neutre no s'anul·la i calcula el corrent eficaç que circularia pel neutre degut exclusivament al tercer harmònic.

Un transformador monofàsic ideal de $230\ \text{V} / 24\ \text{V}$ a $50\ \text{Hz}$ té $N_1 = 1150$ espires en l'enrotllament primari i una resistència òhmica interna del fil conductor de coure de $R_1 = 2\ \Omega$. En règim altern sinusoïdal, la seva reactància magnetitzant en buit és de $X_m = 460\ \Omega$.

1. a) A partir de la llei d'inducció de Faraday-Lenz ($e = -N \frac{d\Phi}{dt}$), dedueix la relació entre la tensió eficaç aplicada i el flux magnètic màxim $\Phi_{\text{max}}$ en el nucli, i calcula el valor de $\Phi_{\text{max}}$ per a la tensió nominal alterna.
2. b) Un operari connecta per error l'enrotllament primari a una font de corrent continu de $24\ \text{V}$. Prediu raonadament el valor de la tensió en borns del secundari un cop assolit el règim permanent continu i calcula la intensitat que circularà pel primari.
3. c) Justifica mitjançant el càlcul comparatiu de la potència dissipada per efecte Joule en el primari per què el transformador es cremaria en corrent continu amb només $24\ \text{V}$, mentre que suporta $230\ \text{V}$ en corrent altern funcionant en buit.

En un taller industrial es vol verificar el consum d'una màquina monofàsica connectada a una línia de $230\ \text{V}$ eficaços i $50\ \text{Hz}$.

1. a) Un operari abraça amb la pinça amperimètrica la mànega exterior que conté els dos fils conductors (fase i neutre) i la pinça marca $0{,}00\ \text{A}$, malgrat que la màquina està operant. Justifica analíticament mitjançant la llei d'Ampère per què passa això i explica com s'ha de col·locar la pinça per mesurar el corrent de càrrega.
2. b) Després de separar els conductors i col·locar la pinça al fil de fase, s'obté una lectura de $16\ \text{A}$. Mitjançant la sortida de tensió analògica de la pinça ($100\ \text{mV/A}$) i una sonda de tensió connectades a un oscil·loscopi, s'observa que el pic de tensió avança el pic de corrent en $3{,}33\ \text{ms}$. Calcula el desfasament angular $\varphi$, el factor de potència i la potència activa consumida per la màquina.
3. c) A causa d'un defecte d'aïllament, es deriva cap a terra un corrent de fuga de $400\ \text{mA}$. Si es torna a abraçar la mànega que inclou únicament la fase i el neutre (sense el cable de terra), prediu raonadament el valor que registrarà ara la pinça i explica com aprofita aquest principi físic un interruptor diferencial per protegir els usuaris.

En el control de qualitat d'una font d'alimentació lineal regulada de $12\ \text{V}$ de corrent continu ($230\ \text{V}$ a $50\ \text{Hz}$ a l'entrada), es connecta a la sortida una càrrega resistiva pura de $4\ \Omega$. El banc de proves dona les lectures següents:

• Entrada: tensió eficaç de $230\ \text{V}$, corrent eficaç de $0{,}35\ \text{A}$ i potència activa absorbida de $48\ \text{W}$.

• Sortida: tensió contínua mitjana de $11{,}8\ \text{V}$. En observar la sortida amb l'oscil·loscopi en acoblament CA ($20\ \text{mV/div}$), s'aprecia un arrissament triangular simètric de $3$ divisions de pic a pic amb un període de $10\ \text{ms}$. En buit (sense càrrega), la tensió contínua és de $12{,}1\ \text{V}$.

1. a) Calcula la freqüència de l'arrissament i identifica el tipus de rectificador emprat. Determina la tensió d'arrissament eficaç ($V_{\text{riz,ef}} = \frac{V_{\text{riz,pp}}}{2\sqrt{3}}$), el factor d'arrissament percentual a plena càrrega ($r = \frac{V_{\text{riz,ef}}}{V_{\text{CC}}} \cdot 100$) i el percentatge de regulació de tensió càrrega-buit ($\frac{V_{\text{buit}} - V_{\text{càrrega}}}{V_{\text{càrrega}}} \cdot 100$).
2. b) Calcula el rendiment energètic global de la font ($\eta$) i el seu factor de potència a l'entrada ($FP$).
3. c) Les especificacions de disseny exigeixen: factor d'arrissament $r \le 0{,}3\ \%$, regulació de càrrega $\le 3\ \%$ i rendiment $\eta \ge 70\ \%$. Determina quins criteris es compleixen i quins no, i justifica tècnicament dues modificacions en el disseny (en el filtre o en el regulador) per corregir les deficiències detectades.