Exercicis: Diagrames d'arbre i taules de contingència

En un estudi sobre l'ús de xarxes socials en un institut de Madrid, s'ha observat que d'un grup de $100$ estudiants de Batxillerat, $65$ utilitzen TikTok habitualment i $45$ utilitzen Instagram. A més, se sap que $25$ alumnes utilitzen ambdues plataformes.

Representa aquestes dades en una taula de contingència (amb les files «TikTok» i «No TikTok», les columnes «Instagram» i «No Instagram», i els totals de files i columnes) i calcula la probabilitat que, en triar un estudiant a l'atzar:

1. a) No utilitzi cap de les dues xarxes socials.

1. b) Utilitzi TikTok, sabent que ja utilitza Instagram.

Una caixa de subministraments tecnològics conté $8$ ratolins inalàmbrics de color blanc i $4$ de color negre. Si s'extreuen successivament dos ratolins sense reemplaçament:

1. a) Dibuixa el diagrama d'arbre que descrigui tots els resultats possibles, indicant les probabilitats en cada branca.
2. b) Calcula la probabilitat que els dos ratolins extrets siguin del mateix color.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un estudiant de 2n de Batxillerat es presenta a un examen final de Física. Es sap que el $70\%$ dels alumnes que van estudiar amb la plataforma digital del centre van aprovar, mentre que només el $40\%$ dels que no la van utilitzar van aconseguir l'aprovat. S'estima que el $60\%$ de la classe va utilitzar aquesta plataforma.

Utilitzant un diagrama d'arbre, determina:

1. a) La probabilitat que un alumne triat a l'atzar hagi aprovat l'examen.
2. b) Si sabem que un alumne ha suspès, quina és la probabilitat que no hagi utilitzat la plataforma digital?

En una acadèmia d'idiomes, els alumnes es divideixen segons el curs que fan: el $50\%$ estudia Anglès, el $30\%$ Francès i el $20\%$ Alemany. A més, es sap que el percentatge de dones a cada curs és del $60\%$, $55\%$ i $45\%$, respectivament.

Si es tria un estudiant a l'atzar, construeix una taula de contingència (considerant un total hipotètic de 1000 estudiants) i calcula:

1. a) La probabilitat que l'alumne sigui home.
2. b) Sabent que l'alumne és home, la probabilitat que estudiï Anglès.

Tenim dues urnes preparades per a un sorteig. La Urna A conté $3$ boles verdes i $2$ vermelles. La Urna B conté $1$ bola verda i $4$ vermelles. L'experiment consisteix a llançar una moneda: si surt cara, extraiem una bola de la Urna A; si surt creu, l'extraiem de la Urna B.

1. a) Representa la situació mitjançant un diagrama en arbre.
2. b) Calcula la probabilitat que la bola extreta sigui vermella.

Un taller de reparació de mòbils rep dispositius amb dos tipus d'avaries principals: pantalla trencada o bateria defectuosa. El mes passat, dels $200$ mòbils reparats, $120$ tenien la pantalla trencada, $70$ tenien problemes de bateria i $30$ tenien tots dos defectes.

Organitza la informació en una taula de contingència i respon:

1. a) Quina és la probabilitat que un mòbil triat a l'atzar tingui només la pantalla trencada?

1. b) Si el mòbil té la bateria defectuosa, quina és la probabilitat que també tingui la pantalla trencada?

En una empresa de fabricació de components electrònics, s'utilitzen dues màquines, $M_1$ i $M_2$, per produir xips. La màquina $M_1$ produeix el $60\%$ dels xips i la resta els produeix $M_2$. El $2\%$ dels xips de $M_1$ són defectuosos, mentre que per a $M_2$ el percentatge de defectuosos és del $5\%$.

1. a) Construeix el diagrama en arbre associat a aquest procés de producció.
2. b) Si es selecciona un xip a l'atzar i resulta que és defectuós, quina és la probabilitat que hagi estat fabricat per la màquina $M_1$?

S'ha realitzat una enquesta a $80$ persones sobre els seus hàbits de lectura en format digital o paper. Els resultats mostren que $32$ persones llegeixen exclusivament en paper, $28$ persones llegeixen en tots dos formats i la resta llegeix exclusivament en digital.

1. a) Elabora una taula de contingència que resumeixi aquestes dades.
2. b) Calcula la probabilitat que una persona triada a l'atzar llegeixi en format digital.
3. c) Si sabem que la persona llegeix en paper, quina és la probabilitat que també llegeixi en digital?

En Pablo i la Clara preparen una tómbola benèfica de final de curs amb una urna que conté exactament $10$ memòries USB aparentment idèntiques: $3$ són de $64\text{ GB}$ i $7$ són de $128\text{ GB}$. El joc consisteix a extreure dues memòries consecutivament sense reemplaçament. En Pablo vol calcular la probabilitat que totes dues memòries siguin de $64\text{ GB}$ i escriu a la pissarra:

$$P(\text{totes dues de } 64\text{ GB}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{100} = 0,09$$

Quan la Clara li adverteix que el resultat està malament, en Pablo es defensa dient: «La proporció de memòries de $64\text{ GB}$ a la capsa és de $3$ de cada $10$; aquesta probabilitat és una propietat fixa de les memòries i no pot canviar pel simple fet que jo en tregui una».

1. a) Explica raonadament l'error conceptual d'en Pablo. Quina regla dels diagrames d'arbre ha vulnerat i què significa en aquest context que les branques de la segona etapa portin escrites probabilitats condicionades al que ja ha passat?
2. b) Modela l'experiment descrivint les branques que sortirien de cada node en un diagrama d'arbre correcte (amb les seves probabilitats precises).
3. c) Calcula la probabilitat real que totes dues memòries siguin de $64\text{ GB}$ i la probabilitat que almenys una de les dues sigui de $128\text{ GB}$.

En un institut d'Astúries hi ha matriculats $200$ estudiants a 2n de Batxillerat. D'aquests, $120$ cursen la modalitat de Ciències i Tecnologia, mentre que els $80$ restants cursen Humanitats i Ciències Socials. Entre els estudiants de Ciències, $30$ han triat Francès com a optativa. Per la seva banda, entre els d'Humanitats i Ciències Socials, $40$ estudien Francès.

1. a) Es plantegen dues maneres d'organitzar la informació: un diagrama d'arbre seqüencial o una taula de contingència de doble entrada ($2 \times 2$). Raona quina de les dues representacions és més directa, neta i adequada quan les dades descriuen característiques simultànies d'una població fixa en comptes d'etapes temporals successives.
2. b) Construeix una taula de contingència completant totes les seves cel·les interiors (interseccions) i els seus totals marginals per files i columnes a partir de les dades facilitades.
3. c) Utilitzant exclusivament les sumes i cel·les de la taula, calcula la probabilitat que un estudiant triat a l'atzar cursi la modalitat d'Humanitats i Ciències Socials sabent que no estudia Francès.

Una plataforma de streaming ofereix dos tipus de subscripcions: Estàndard i Premium. Se sap que el $60 \%$ dels usuaris té la subscripció Estàndard, mentre que la resta té la Premium. Dels usuaris amb subscripció Estàndard, el $25 \%$ consumeix contingut en resolució 4K, mentre que entre els usuaris Premium, aquest percentatge ascendeix al $80 \%$.

Representa la situació mitjançant un diagrama d'arbre i calcula:

1. a) La probabilitat que un usuari triat a l'atzar consumeixi contingut en 4K.

1. b) Si sabem que un usuari està veient una pel·lícula en 4K, quina és la probabilitat que tingui una subscripció Estàndard?

En un institut de Madrid s'ha fet una enquesta sobre l'ús de xarxes socials en els cursos de Batxillerat. Les dades s'han organitzat en la taula de contingència següent, tot i que alguns valors s'han perdut:

	Instagram ($I$)	TikTok ($T$)	Total
1r Batxillerat	$45$		$110$
2n Batxillerat		$60$
Total	$85$		$210$

1. a) Completa la taula de contingència al teu quadern.
2. b) Si triem un alumne a l'atzar i resulta ser de 2n de Batxillerat, quina és la probabilitat que la seva xarxa preferida sigui Instagram?
3. c) Són independents els esdeveniments "ser de 1r de Batxillerat" i "preferir TikTok"? Justifica la teva resposta matemàticament.

Una empresa tecnològica fabrica components per a drons en tres factories diferents: $F_1$, $F_2$ i $F_3$. El $40 \%$ de la producció total prové de $F_1$, el $35 \%$ de $F_2$ i la resta de $F_3$. El control de qualitat indica que el percentatge de components defectuosos és del $3 \%$ a $F_1$, del $2 \%$ a $F_2$ i del $5 \%$ a $F_3$.

1. a) Calcula la probabilitat que un component triat a l'atzar de la producció global no sigui defectuós.
2. b) Si un client compra un component i aquest resulta ser defectuós, en quina factoria és més probable que s'hagi fabricat? Justifica el resultat aplicant el Teorema de Bayes.

Un analista de dades estudia la relació entre l'ús de transport públic i la puntualitat dels empleats d'una gran oficina. Després d'observar $500$ treballadors, obté que $350$ utilitzen el transport públic i la resta ve en vehicle privat. Dels que utilitzen el transport públic, el $10 \%$ arriba tard, mentre que dels que venen en vehicle privat, el $20 \%$ arriba tard.

1. a) Organitza aquesta informació en una taula de contingència de freqüències absolutes.
2. b) Quina és la probabilitat que un treballador triat a l'atzar arribi puntual?
3. c) Si un treballador ha arribat tard, quina és la probabilitat que hagi vingut en transport públic?

En un torneig d'eSports, el comitè organitzador realitza proves de rendiment als jugadors. S'estima que un $5 \%$ dels participants utilitza algun tipus de programari prohibit (trampa). El test utilitzat per a detectar aquestes trampes té una fiabilitat del $98 \%$ (detecta el programari si el jugador fa trampes), però té un $2 \%$ de "falsos positius" (indica que hi ha trampa quan el jugador és legal).

1. a) Si es tria un jugador a l'atzar, quina és la probabilitat que el test doni un resultat positiu (indicant trampa)?
2. b) Si el test d'un jugador ha donat positiu, quina és la probabilitat real que estigui fent trampes? Interpreta el resultat obtingut.

En un cicle formatiu hi ha $10$ estudiants realitzant les pràctiques en empresa, dels quals $6$ estan en empreses tecnològiques i $4$ en empreses industrials. Es trien dos estudiants a l'atzar de forma consecutiva i sense reemplaçament.

1. a) Dibuixa el diagrama d'arbre detallant les probabilitats en cada branca.
2. b) Calcula la probabilitat que els dos estudiants triats estiguin en el mateix tipus d'empresa.
3. c) Calcula la probabilitat que almenys un estigui en una empresa tecnològica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'estudia l'hàbit de lectura de dos grups de persones: Joves (menors de 25 anys) i Adults. Es sap que el $70 \%$ dels enquestats són Adults. El $40 \%$ dels Joves llegeix almenys un llibre al mes, mentre que el $60 \%$ dels Adults ho fa.

1. a) Construeix la taula de contingència de probabilitats associades (freqüències relatives).
2. b) Calcula la probabilitat que una persona triada a l'atzar llegeixi almenys un llibre al mes.
3. c) Si una persona afirma que no llegeix cap llibre al mes, quina és la probabilitat que sigui Jove?

Una aplicació de navegació GPS estima el temps d'arribada a la destinació basant-se en el tràfic. Si el tràfic és fluid (probabilitat $0,7$), l'aplicació encerta en el temps estimat el $90 \%$ de les vegades. Si el tràfic és dens, només encerta el $40 \%$ de les vegades.

1. a) Calcula la probabilitat que l'aplicació no encerti en la seva estimació de temps.
2. b) Si avui l'aplicació ha fallat en la seva predicció, quina és la probabilitat que el tràfic fos fluid?

En el corredor ferroviari d'alta velocitat Madrid-Barcelona competeixen tres operadors de transport de viatgers: Renfe, que gestiona el $50\,\%$ dels trajectes diaris; Iryo, que opera el $30\,\%$; i Ouigo, que cobreix el $20\,\%$ restant. Segons dades de puntualitat, la probabilitat que un tren pateixi un retard superior a $15$ minuts és del $3\,\%$ per a Renfe, del $5\,\%$ per a Iryo i del $10\,\%$ per a Ouigo.

1. a) Modela l'elecció i el trajecte d'un viatger pres a l'atzar mitjançant un diagrama d'arbre en què figurin tots els esdeveniments simples, les seves probabilitats marginals i les probabilitats condicionades de demora.
2. b) Si un tren seleccionat a l'atzar arriba a la seva destinació sense patir retard (és a dir, puntual o amb menys de $15$ minuts de demora), quina és la probabilitat que el servei hagi estat operat per Ouigo?
3. c) Una associació de consumidors argumenta a les xarxes socials: «Com que Ouigo presenta la taxa de retards més alta amb diferència ($10\,\%$), davant d'un tren que arriba amb retard a l'estació de Sants el més probable és que pertanyi a Ouigo». Demostra formalment, calculant les probabilitats a posteriori de cada companyia davant d'un tren retardat, si aquesta afirmació és vertadera o falsa, i raona quin pes exerceix la quota de mercat en la conclusió.

Un sistema de seguretat informàtica d'una infraestructura crítica a Espanya consta de tres barreres de filtratge seqüencials per a detectar intents d'intrusió (atacs de força bruta).

1. La Barrera A detecta el $95 \%$ dels atacs, però deixa passar la resta.

2. La Barrera B rep el que la Barrera A no ha detectat. Aquesta barrera té una probabilitat d'encert del $80 \%$.

3. La Barrera C és l'últim recurs i detecta el $60 \%$ dels atacs remanents.

No obstant això, el sistema no és perfecte i de vegades genera falses alarmes (detecta un tràfic legítim com a atac). Es sap que la probabilitat que un paquet de dades sigui un atac real és de $0,001$. Les probabilitats de falsa alarma són del $1 \%$ per a la Barrera A, $2 \%$ per a la Barrera B i $5 \%$ per a la Barrera C.

Utilitzant un diagrama d'arbre, calcula:

1. a) La probabilitat que un paquet de dades sigui bloquejat pel sistema (és a dir, que sigui detectat per qualsevol de les tres barreres).

1. b) Si el sistema acaba de bloquejar un paquet de dades, quina és la probabilitat que es tracti realment d'un atac informàtic i no d'una falsa alarma?

En una prestigiosa acadèmia d'e-sports, els jugadors es classifiquen segons el seu rendiment en dues categories: Elit ($E$) i Promesa ($P$). S'ha realitzat un estudi sobre l'ús de teclats mecànics ($M$) i teclats de membrana ($\bar{M}$).

Es sap que el $30 \%$ dels jugadors són de categoria Elit. A més, entre els jugadors Promesa, la probabilitat que utilitzin teclat de membrana és el doble que la que utilitzin teclat mecànic. Per últim, es sap que la probabilitat que un jugador triat a l'atzar sigui Elit i utilitzi teclat mecànic és de $0,24$.

1. a) Construeix la taula de contingència completa amb les probabilitats de cada succés.

1. b) Calcula la probabilitat que un jugador utilitzi teclat mecànic.

1. c) Si seleccionem un jugador que utilitza teclat mecànic, quina és la probabilitat que pertanyi a la categoria Promesa?

1. d) Són independents els successos "ser jugador Elit" i "utilitzar teclat mecànic"? Justifica la teva resposta matemàticament.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un laboratori farmacèutic està analitzant l'eficàcia d'un nou test de detecció d'una variant de virus respiratori. Es sap que en la població actual, la prevalença de la malaltia és del $5 \%$.

El test té una particularitat: si s'aplica a una persona malalta, dona positiu en el $98 \%$ dels casos. Si s'aplica a una persona sana, dona negatiu en el $96 \%$ dels casos. Davant la sospita d'un error en una campanya de testatge massiu, es decideix que totes les persones que donin positiu en el primer test es sotmetin a un segon test idèntic i independent del primer.

1. a) Representa la situació mitjançant un diagrama d'arbre per a una persona triada a l'atzar de la població que es sotmet al procés complet si és necessari.

1. b) Quina és la probabilitat que una persona de la població doni positiu en el segon test (sabent que ja va donar positiu en el primer)?

1. c) Si una persona ha donat positiu en els dos tests, quina és la probabilitat que realment estigui malalta? Comenta el resultat comparant-lo amb la probabilitat després d'un únic test positiu.

En un taller de tecnologia, dues urnes contenen peces fabricades amb diferents materials per a un projecte.

• La Urna A conté 6 peces de bioplàstic (PLA) i 4 peces de resina.

• La Urna B conté 3 peces de PLA i 7 peces de resina.

L'experiment consisteix en el següent: s'extreu una peça a l'atzar de la Urna A i s'introdueix en la Urna B sense veure'n el material. A continuació, s'extreuen dues peces simultàniament de la Urna B.

1. a) Calcula la probabilitat que les dues peces extretes de la Urna B siguin de resina.

1. b) Si sabem que les dues peces extretes de la Urna B han estat de resina, quina és la probabilitat que la peça transferida des de la Urna A fos de PLA?

Un algorisme de recomanació d'una plataforma de streaming de música utilitza tres models diferents ($M_1, M_2, M_3$) per a suggerir cançons als usuaris. El $40 \%$ de les vegades utilitza $M_1$, el $35 \%$ utilitza $M_2$ i la resta de vegades utilitza $M_3$.

La probabilitat que un usuari li doni "like" a una cançó suggerida per $M_1$ és de $0,3$. Si la cançó és suggerida per $M_2$, la probabilitat és de $0,45$. Es sap que la probabilitat total que un usuari doni "like" a una cançó triada a l'atzar és de $0,4325$.

1. a) Calcula la probabilitat que un usuari doni "like" a una cançó suggerida pel tercer model, $M_3$.

1. b) Si un usuari ha donat "dislike" (succés contrari a "like") a una cançó, quina és la probabilitat que hagi estat suggerida pel model $M_1$?

1. c) Es seleccionen tres cançons suggerides de forma independent. Quina és la probabilitat que almenys una d'elles rebi un "like"?

En una enquesta realitzada als alumnes de 2n de Batxillerat sobre les seves preferències d'estudi després de l'institut, s'han obtingut les següents dades representades parcialment en aquesta taula de contingència. Les variables són el Gènere ($H$ per a home, $M$ per a dona) i l'Àrea d'Interès ($I$ per a Enginyeria, $S$ per a Salut, $O$ per a Altres).

Sabent que el succés "ser dona" i "tenir interès en enginyeria" són successos independents, i que hi ha el mateix nombre total d'homes que de dones en la mostra de 200 persones:

	Enginyeria ($I$)	Salut ($S$)	Altres ($O$)	Total
Home ($H$)	40
Dona ($M$)		45
Total		75		200

1. a) Completa raonadament la taula de contingència.

1. b) Calcula la probabilitat que un alumne triat a l'atzar tingui interès en Salut o sigui home.

1. c) Si triem un alumne que no té interès en Enginyeria, quina és la probabilitat que sigui dona?

Un robot d'exploració autònoma a Mart té dos sensors per a detectar la presència de dipòsits de gel sota la superfície. El Sensor Principal detecta gel amb una probabilitat de $0,9$ quan aquest existeix, però també dona un fals positiu (indica gel quan no n'hi ha) el $5 \%$ de les vegades.

Es sap que el robot explora una zona on la probabilitat a priori de trobar gel és del $15 \%$.

El robot està programat per a enviar un senyal de confirmació només si el Sensor Principal detecta gel. No obstant això, per a estalviar energia, si el Sensor Principal detecta gel, s'activa automàticament un Sensor de Suport la probabilitat d'encert del qual és del $95 \%$ (tant per a confirmar presència com per a confirmar absència).

1. a) Calcula la probabilitat que el robot enviï un senyal indicant que el Sensor Principal ha detectat gel.

1. b) Si el Sensor Principal ha detectat gel, quina és la probabilitat que el Sensor de Suport no detecti gel?

1. c) Quina és la probabilitat que hi hagi realment gel si tots dos sensors han donat positiu?

Dos amics, Lucía i Carlos, juguen a un videojoc d'estratègia per torns. Lucía és més experimentada i guanya el $60 \%$ de les partides individuals (aquesta és la probabilitat que guanyi la primera partida). Decideixen jugar un torneig al millor de tres partides (el primer que guanyi dues partides guanya el torneig).

A causa del cansament i de l'aprenentatge durant el joc, les probabilitats no són constants:

• Si Lucía guanya una partida, la probabilitat que guanyi la següent augmenta a $0,7$.

• Si Lucía perd una partida, la probabilitat que guanyi la següent baixa a $0,5$.

1. a) Dibuixa el diagrama d'arbre que representa el desenvolupament del torneig, indicant a cada branca la seva probabilitat i, al final de cada camí, qui guanya el torneig.

1. b) Calcula la probabilitat que Carlos guanyi el torneig.

1. c) Si el torneig ha durat exactament tres partides, quina és la probabilitat que l'hagi guanyat Lucía?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un judici penal celebrat en una Audiència Provincial s'analitza una mostra biològica trobada al lloc del delicte. L'informe pericial determina que el perfil genètic trobat coincideix amb el de l'acusat. El laboratori forense certifica que la prova té una sensibilitat del $100\,\%$ (si una persona és culpable, la prova sempre coincideix) i que la probabilitat que una persona innocent presenti aquest mateix perfil per pur atzar genètic és d'$1$ entre $10.000$ ($P(\text{Coincidència} \mid \text{Innocent}) = 0,0001$).

Durant el seu informe final, el fiscal exposa: «Senyories, la probabilitat que una persona innocent tingui aquest perfil genètic és de tot just el $0,01\,\%$. En conseqüència, la probabilitat que l'acusat sigui innocent és de només el $0,01\,\%$, cosa que demostra la seva culpabilitat més enllà de tot dubte raonable amb una probabilitat del $99,99\,\%$.»

Per contrastar aquesta afirmació, el tribunal delimita una població de referència de $100.000$ persones entre les quals es té la certesa que es troba l'únic autor material del delicte.

1. a) Identifica amb precisió matemàtica l'error de raonament comès pel fiscal (conegut com a «fal·làcia del fiscal»). Escriu, emprant la notació formal d'esdeveniments i probabilitat condicionada, quina probabilitat és la que realment aporta l'informe forense i quina probabilitat és la que el fiscal assegura haver demostrat.
2. b) Modela la situació dels $100.000$ sospitosos mitjançant una taula de contingència de $2 \times 2$ (Culpable / Innocent enfront de Coincidència / No coincidència d'ADN), deduint el nombre esperat d'individus que ocuparà cadascuna de les quatre cel·les interiors.
3. c) A partir dels valors de la taula de contingència, calcula la probabilitat real que l'acusat sigui culpable sabent que el seu ADN coincideix amb la mostra, és a dir, $P(\text{Culpable} \mid \text{Coincidència})$.
4. d) Interpreta la diferència radical entre el percentatge esgrimit pel fiscal i el valor obtingut en l'apartat anterior. Explica quina relació té aquest fenomen amb la mida del col·lectiu de sospitosos i per què una coincidència tècnica molt fiable no equival automàticament a culpabilitat.