Exercicis: Integració de funcions trigonomètriques

Per començar a practicar amb el càlcul d'antiderivades, troba la primitiva general de la funció següent que inclou un ajust lineal en l'argument del cosinus:

$f(x) = \cos(4x - 1)$

Calcula la integral indefinida de la funció següent, observant que es tracta d'una funció composta on apareix la derivada de l'argument:

$\int x \cdot \sin(x^2 + 3) \, dx$

En moltes ocasions, les identitats trigonomètriques ens permeten transformar una expressió difícil en una d'immediata. Utilitza la relació $\tan^2(x) + 1 = \sec^2(x)$ per calcular la primitiva següent:

$\int \tan^2(x) \, dx$

Determina la família de funcions primitives de l'expressió donada. Tingues en compte que la derivada del sinus és el cosinus:

$f(x) = \sin^4(x) \cdot \cos(x)$

Troba la primitiva de la funció $f(x) = \sec^2(3x)$ sabent que la seva gràfica passa pel punt $P(0, 2)$. Recorda que has de calcular la constant d'integració $C$.

Un oscil·lador harmònic simple es mou de tal manera que la seva velocitat en funció del temps $t$ (en segons) ve donada per $v(t) = 3 \cdot \cos(t)$. Si en l'instant inicial $t=0$ l'objecte es troba en la posició $s=0$, obtén l'expressió de la seva posició $s(t)$ calculant la primitiva corresponent.

Calcula la integral indefinida següent utilitzant el logaritme neperià com a resultat, reconeixent que el numerador és (gairebé) la derivada del denominador:

$\int \frac{\sin(x)}{5 + \cos(x)} \, dx$

Obtén el conjunt de totes les primitives de la funció composta següent, que combina una arrel quadrada amb una funció trigonomètrica:

$f(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}$

L'Elena està calculant la primitiva de la funció $f(x) = \sin^2(x)$ i escriu al seu examen:

argumentant que ha aplicat la regla de les potències $\int u^n\, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ prenent $u = \sin(x)$ i $n = 2$.

1. a) Explica amb precisió l'error conceptual comès per l'Elena. Quin factor fonamental li falta a l'integrand perquè la seva deducció a partir de la regla de la cadena fos matemàticament vàlida?
2. b) Corregeix l'exercici trobant la família de primitives correcta mitjançant la identitat trigonomètrica de l'angle doble.

Se sap que una funció contínua $f(x)$ admet com a primitiva general una funció de la forma:

on $a$ és una constant real no nul·la.

1. a) Sabent que en el punt $x = \frac{\pi}{4}$ la funció original pren el valor $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 8$, dedueix el valor exacte del paràmetre $a$ aplicant la regla de la cadena sobre $F(x)$.
2. b) Un cop trobat el valor d'$a$, escriu l'expressió algebraica de $f(x)$ expressada únicament en termes de potències de $\tan(x)$ i $\cos(x)$.

Calcula la primitiva de la funció trigonomètrica següent utilitzant identitats fonamentals per simplificar l'expressió abans d'integrar:

Troba la integral indefinida de la funció $f(x) = \tan^3(x) \cdot \sec^2(x)$. Recorda observar si l'expressió s'ajusta a una integral de tipus potencial on una funció està elevada a un exponent i multiplicada per la seva derivada.

Un estudi d'arquitectura està dissenyant el perfil d'una rampa per a un parc d'esports extrems. El pendent de la rampa a cada punt $x$ ve donat per la funció $g(x) = \sin^2(x)$. Si la rampa comença al punt $(0, 0)$, determina la funció $G(x)$ que descriu l'altura de la rampa en qualsevol punt.

Calcula la primitiva de la funció $f(x) = \frac{\sin^3(x)}{\cos^2(x)}$.

Suggeriment: En ser una funció senar en $\sin(x)$, fes el canvi de variable $t = \cos(x)$.

Determina la integral indefinida de la funció $f(x) = \frac{1}{\sin^2(x) \cdot \cos^2(x)}$.

Ajuda: Pots intentar substituir el nombre $1$ del numerador per la identitat fonamental $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ per separar la integral en dos summands més senzills.

Troba la primitiva de la funció $h(x) = x^2 \cdot \cos(x)$ utilitzant el mètode d'integració per parts. Hauràs d'aplicar el mètode dues vegades per reduir el grau del polinomi fins a obtenir una integral immediata.

En un experiment de física, s'analitza l'oscil·lació amortida d'una molla de la qual la velocitat de vibració en funció del temps $t$ es comporta segons la funció $v(t) = e^{-t} \cdot \sin(2t)$. Determina la funció de posició $s(t)$ sabent que aquesta integral és de tipus cíclica.

Calcula la primitiva $F(x)$ de la funció $f(x) = \frac{\sin(x)}{\cos^3(x)}$ que compleix la condició de passar per l'origen de coordenades, és a dir, $F(0) = 0$.

Per resoldre la integral indefinida $\int \sin(x) \cdot \cos(x)\, dx$, tres estudiants de 2n de Batxillerat proposen camins diferents:

• La Lucía efectua el canvi directe prenent $u = \sin(x)$ i obté $F_1(x) = \frac{1}{2}\sin^2(x) + C_1$.

• En Marcos pren $u = \cos(x)$ i obté $F_2(x) = -\frac{1}{2}\cos^2(x) + C_2$.

• En Sergio aplica primer la identitat de l'angle doble $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ i obté $F_3(x) = -\frac{1}{4}\cos(2x) + C_3$.

1. a) Demostra algebraicament que les tres respostes són correctes i que descriuen exactament la mateixa família de funcions primitives, determinant la relació numèrica exacta que hi ha entre les constants $C_1$, $C_2$ i $C_3$.
2. b) Si ara haguessis de resoldre $\int \sin^5(x) \cdot \cos(x)\, dx$, compara els tres mètodes anteriors i justifica quin d'ells és l'únic que resulta immediat i generalitzable sense recórrer a càlculs feixucs. Obtén el resultat final amb aquest mètode.

Durant una jornada d'estiu en una central termosolar d'Andalusia, la potència elèctrica instantània injectada a la xarxa (en megawatts, MW) entre les 10:00 ($t = 0$) i les 16:00 ($t = 6$ hores) es modelitza segons la funció:

L'energia acumulada $E(t)$ (en MW·h) des de les 10:00 és una primitiva de $P(t)$ que satisfà la condició inicial $E(0) = 0$.

1. a) Utilitza la fórmula de l'angle doble per transformar l'expressió de $P(t)$ i integra pas a pas per obtenir la funció $E(t)$, parant atenció a la constant que introdueix la derivada interior de l'argument lineal.
2. b) Troba l'energia total acumulada en finalitzar el període, $E(6)$, deixant el resultat en funció de $\pi$ i calculant el seu valor aproximat amb dues xifres decimals. A partir d'aquesta dada, determina i interpreta la potència mitjana subministrada per la planta durant aquest interval de 6 hores.

En el disseny de circuits de corrent altern, la potència instantània acostuma a venir donada pel producte de funcions exponencials i trigonomètriques. Calcula la família de funcions primitives de l'expressió següent, que representa la taxa de variació d'energia en un component específic:

Consell: Utilitza primer una identitat trigonomètrica per reduir l'exponent del cosinus abans d'aplicar el mètode d'integració per parts.

Calcula la integral indefinida de la funció racional trigonomètrica següent. Aquest tipus d'integrals apareixen freqüentment en el càlcul de camps gravitatoris en astrofísica:

Nota: Considera un canvi de variable que relacioni les funcions trigonomètriques presents i recorda la identitat fonamental de la trigonometria.

Determina la primitiva de la funció $f(x)$ sabent que la seva gràfica passa pel punt $P\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ i la seva derivada és:

$f'(x) = \frac{1}{\sin^4(x) \cdot \cos^2(x)}$

Suggeriment: Intenta expressar el numerador utilitzant la identitat fonamental $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ de manera iterativa o cerca un canvi de variable basat en la tangent.

El «canvi de variable universal» és una eina potent per resoldre integrals de funcions racionals de sinus i cosinus. Utilitza el canvi $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$ per trobar la primitiva següent:

Troba la primitiva de la funció $f(x)$ que es descriu a continuació, emprant transformacions de productes en sumes:

Un cop obtinguda la família de primitives, determina aquella la gràfica de la qual té un punt d'inflexió amb tangent horitzontal en el punt d'abscissa $x = \frac{\pi}{2}$ amb un valor d'ordenada $y = 2$.

En l'estudi de les oscil·lacions d'un pont penjant, l'acceleració d'un punt de l'estructura ve donada per la funció $a(t)$. Troba la funció velocitat $v(t)$ sabent que la velocitat inicial és $v(0) = 0$ i l'acceleració és:

$a(t) = \frac{\sec^2(t)}{\sqrt{4 - \tan^2(t)}}$

Ajuda: Vinga amb compte amb els dominis de les funcions resultants.

Calcula la integral indefinida de la funció $f(x)$, que combina potències de funcions trigonomètriques inverses i funcions directes:

Troba la família de primitives de la funció següent utilitzant un canvi de variable adequat per a funcions trigonomètriques parelles en sinus i cosinus:

Suggeriment: Divideix numerador i denominador per $\cos^2(x)$ per expressar la funció en termes de $\tan(x)$ i la seva derivada $\sec^2(x)$.

Es considera la funció $f(x) = \frac{\cos^3(x)}{\sqrt{\sin(x)}}$, definida a l'interval obert $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.

1. a) Abans de calcular cap primitiva, fes una estimació raonada del comportament de qualsevol primitiva $F(x) = \int f(x)\, dx$ quan $x \to 0^+$. Per a això, tingues en compte que per a valors molt propers a zero es verifiquen les aproximacions $\cos(x) \approx 1$ i $\sin(x) \approx x$; a partir d'això, dedueix si cal esperar que $F(x)$ tendeixi a un valor finit o divergeixi cap a infinit en aproximar-se a l'origen.
2. b) Utilitza la identitat fonamental $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$ per descompondre la integral en una suma d'integrals immediates de tipus potencial $u^n \cdot u'$, i calcula l'expressió algebraica de la família general de primitives $F(x)$.
3. c) Calcula el límit $\lim_{x \to 0^+} F(x)$ a partir de l'expressió obtinguda i comprova si la teva estimació qualitativa inicial era correcta, raonant la coherència entre l'anàlisi local de l'integrand i el resultat de la integració.

Es busca determinar una funció $f(x)$ derivable a l'interval $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ la gràfica de la qual passi per l'origen de coordenades, $f(0) = 0$, i la funció derivada de la qual respongui a l'expressió:

1. a) Un alumne intenta integrar per separat cada sumand buscant fórmules per a potències quartes, i troba serioses dificultats. Demostra que, aplicant la factorització d'una diferència de quadrats i la identitat fonamental $\sec^2(x) - \tan^2(x) = 1$, la derivada es redueix de manera immediata a $f'(x) = 2\sec^2(x) - 1$. Justifica per què transformar l'integrand abans d'operar simplifica radicalment el problema.
2. b) Integra l'expressió simplificada i troba la fórmula explícita de la funció $f(x)$ que compleix la condició $f(0) = 0$.
3. c) Sense calcular la segona derivada $f''(x)$, dedueix els intervals de concavitat i convexitat de $f(x)$ a $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, així com l'existència de punts d'inflexió, analitzant exclusivament el creixement i els extrems relatius de $f'(x)$ a partir de les propietats de la funció cosinus.

Repte del tema. Com modelitzaries el flux diari d'energia al nostre país?

1. Captura de dades: Entra al web de Red Eléctrica de España (REE - ESIOS) i descarrega les dades de demanda elèctrica peninsular per hores d'un dia recent.

2. Modelització: A GeoGebra o en un full de càlcul, representa la sèrie temporal $t \in [0, 24]$. Dissenya un model continu $f(t) = k \left( \sin\left(\frac{\pi t}{12}\right) + \frac{1}{t^2 + 4} + 1,1 \right)$ i troba la constant $k$ perquè compleixi les condicions de funció de densitat d'una variable aleatòria contínua.

3. Integració analítica: Obtén la funció de distribució $F(t) = \int_{0}^{t} f(u)\,du$ aplicant descomposició elemental, primitives trigonomètriques i de funcions racionals. A partir d'$F(t)$, calcula la probabilitat que el consum diari es concentri en les hores punta, entre les $19,0$ i les $22,0$ hores.

4. Informe final: Redacta un informe breu amb les gràfiques d'$f(t)$ i $F(t)$, el desenvolupament algebraic de les integrals i una reflexió raonada sobre l'ajust a les dades reals.

Es valorarà:

• Domini analític en el càlcul d'integrals immediates, racionals i trigonomètriques.

• Rigor en determinar els paràmetres i validar les propietats de la variable aleatòria contínua ($f$ i $F$).

• Destresa tècnica a GeoGebra o full de càlcul i contrast crític enfront de la sèrie real de REE.