Exercicis: Funció derivada

Un patinador es desplaça per una pista seguint una trajectòria la posició de la qual (en metres) ve donada per la funció $s(t) = t^2 + 3t$, on $t$ és el temps en segons. Calcula, utilitzant la definició de derivada com un límit, la velocitat instantània del patinador en l'instant $t = 2$ segons.

Calcula la funció derivada de les següents funcions elementals utilitzant les regles de derivació:

1. a) $f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 7x - 1$

1. b) $g(x) = \frac{1}{x^3} + \sqrt{x}$

1. c) $h(x) = 3e^x - 2\cos(x)$

Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 4x + 1$ en el punt d'abscissa $x = 3$.

Donada la funció $f(x) = x \cdot \ln(x)$, calcula la seva derivada $f'(x)$ aplicant la regla del producte i determina el valor del pendent de la corba en el punt on $x = e$.

S'està dissenyant una rampa d'accés per a un skatepark. El perfil lateral de la primera secció segueix la funció $f(x) = \frac{x^2+4}{x+1}$. Calcula la funció derivada $f'(x)$ per conèixer com varia la inclinació de la rampa en qualsevol punt d'aquest tram.

Aplica la regla de la cadena per trobar la derivada de les següents funcions compostes:

1. a) $f(x) = (3x^2 - 5)^4$

1. b) $g(x) = \sin(5x + 2)$

1. c) $h(x) = e^{x^2}$

Estudia la derivabilitat de la següent funció en el punt $x = 2$, comprovant primer si és contínua en aquest punt:

Calcula la derivada de segon ordre (derivada segona) de la funció $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$. Per a quin valor de $x$ s'anul·la aquesta derivada segona? (Aquest punt és important per a l'estudi de la curvatura que veuràs més endavant).

L'Elena està calculant la derivada de la funció $f(x) = x^{2x+1}$ per a $x > 0$. Al seu examen escriu la resolució següent:

1. a) Explica detalladament quin és l'error conceptual que comet l'Elena i per què les regles usuals de derivació de funcions potencials ($x^k$) o exponencials ($a^x$) no es poden aplicar a aquesta funció.
2. b) Corregeix l'exercici aplicant pas a pas el mètode de derivació logarítmica per obtenir l'expressió correcta de $f'(x)$, deixant-la simplificada i expressada exclusivament en funció de $x$.

Es vol calcular la funció derivada de $f(x) = \ln\left(\frac{e^{4x} \cdot (x^2 + 3)^5}{\sqrt{2x + 1}}\right)$ en el domini $x > -\frac{1}{2}$. Per resoldre-ho es plantegen dos camins:

• Mètode A: Aplicar directament la regla de la cadena per a la funció logaritme, $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$, calculant $u'(x)$ mitjançant la regla del quocient combinada amb la regla del producte i potències.

• Mètode B: Aplicar les propietats dels logaritmes (logaritme d'un producte, d'un quocient i d'una potència) per transformar $f(x)$ en una combinació lineal de termes senzills abans de derivar.

1. a) Compara de manera justificada tots dos mètodes valorant la dificultat del càlcul algebraic i la probabilitat de cometre errors amb la regla de la cadena.
2. b) Deriva la funció utilitzant el mètode que hagis justificat com a més eficient i simplifica el resultat final.

Calcula la funció derivada de la següent funció composta, simplificant el resultat tant com sigui possible:

$f(x) = \ln\left(\frac{1 + \sin(x)}{1 - \sin(x)}\right)$

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la següent funció sigui derivable en tot el seu domini, prestant especial atenció al punt d'unió $x = 0$:

$f(x) = \begin{cases} e^{ax} & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 + bx + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Donada la funció $f(x) = \ln(2x - 3)$, troba l'expressió general per a la seva derivada enèsima $f^{(n)}(x)$ i utilitza-la per calcular el valor de la quarta derivada en el punt $x = 2$.

Troba l'equació de la recta tangent a la corba $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 2}$ en el punt on la funció talla l'eix d'ordenades ($OY$).

Un dron de vigilància segueix una trajectòria l'altura de la qual en metres ve donada per la funció $h(t) = \frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 11t + 5$, on $t$ és el temps en segons ($0 \leq t \leq 10$).

• a) Calcula la funció velocitat $v(t)$ i la funció acceleració $a(t)$.

• b) En quins instants de temps el dron es troba momentàniament aturat (velocitat igual a zero)?

Utilitza la tècnica de la derivació logarítmica per trobar la derivada de la següent funció potencial exponencial:

$f(x) = (x^2 + 1)^{\cos(x)}$

Estudia la derivabilitat de la funció $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$ en els punts $x = 1$ i $x = 3$.

1. a) Estudia si $f$ és contínua en $x = 1$ i en $x = 3$.

1. b) Calcula, si existeixen, les derivades laterals de $f$ en $x = 1$ i en $x = 3$.

1. c) Indica si $f$ és derivable en aquests punts.

Donada l'equació de la corba definida de forma implícita $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ (coneguda com el Foli de Descartes), calcula el valor del pendent de la recta tangent a la corba en el punt $( \frac{3}{2}, \frac{3}{2} )$.

Segons dades de Red Eléctrica de España (REE), en una jornada hivernal la demanda peninsular de potència elèctrica $P(t)$, expressada en gigawatts (GW), es pot aproximar entre les $06:00$ i les $14:00$ hores ($t \in [6, 14]$, on $t$ és l'hora del dia) mitjançant la funció cúbica:

1. a) Obtén l'expressió algebraica de $P'(t)$, que representa el ritme de variació instantani de la demanda elèctrica, i indica raonadament les seves unitats de mesura.
2. b) Determina els intervals de temps en els quals el consum peninsular està creixent i aquells en els quals està disminuint en aquesta franja horària.
3. c) Esbrina a quina hora exacta del matí s'assoleix el pic màxim de demanda i quina és la potència consumida en aquest instant. Justifica analíticament, mitjançant el criteri de la primera o de la segona derivada, per què aquest valor és un màxim relatiu i no un punt d'inflexió.

Considera la funció amb base i exponent variables $f(x) = x^{\sin(x)}$, definida per a tot $x > 0$.

1. a) Estima: Sense fer derivades algebraiques, analitza qualitativament el comportament de la base $u(x) = x$ i de l'exponent $v(x) = \sin(x)$ als voltants de $x = \frac{\pi}{2}$. Tenint en compte que la funció sinus assoleix un màxim relatiu a $\frac{\pi}{2}$ (per la qual cosa la seva variació instantània és nul·la en aquest punt), estima raonadament si $f(x)$ serà creixent o decreixent a $x = \frac{\pi}{2}$ i dedueix quin signe esperes per a $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$.
2. b) Calcula: Troba la funció derivada $f'(x)$ mitjançant derivació logarítmica i calcula el valor numèric exacte de $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)$.
3. c) Comprova: Valora si el valor obtingut confirma la teva estimació qualitativa prèvia i interpreta geomètricament el pendent de la recta tangent en aquest punt.

Es considera la funció definida a trossos $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mitjançant la següent expressió:

Determina els valors dels paràmetres $a, b \in \mathbb{R}$ perquè la funció sigui derivable en tot el seu domini. Un cop trobats, discuteix si la funció derivada $f'(x)$ és, al seu torn, contínua en $x = 2$.

Fent servir exclusivament la definició de derivada com a límit (quocient incremental), calcula la funció derivada de $f(x) = \sqrt{2x^2 + 1}$. Posteriorment, utilitza el resultat obtingut per trobar l'equació de la recta tangent a la corba en el punt $P$ d'abscissa $x = 2$.

A la figura es mostra la gràfica de $f$ i la posició del punt $P$.

Donada la corba definida per l'equació implícita $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ (coneguda com el Foli de Descartes), es demana:

1. a) Obtenir l'expressió de la derivada $y'$ en funció de $x$ i $y$ mitjançant derivació implícita.
2. b) Trobar els punts de la corba en els quals la recta tangent és horitzontal.
3. c) Determinar l'equació de la recta normal a la corba en el punt $( \frac{3}{2}, \frac{3}{2} )$.

Utilitza la tècnica de la derivació logarítmica per calcular la funció derivada de:

Indica raonadament el domini de definició de la funció $f(x)$ i el de la seva funció derivada $f'(x)$. Existeix algun punt en l'interval $(0, \pi/2)$ on el pendent de la recta tangent sigui nul?

Sigui la funció $f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$.

1. a) Descompon la funció en fraccions simples.
2. b) Utilitzant la descomposició anterior, troba una fórmula general per a la derivada $n$-èsima, $f^{(n)}(x)$, per a qualsevol $n \in \mathbb{N}$.
3. c) Demostra la validesa de la teva fórmula per a tot $n \in \mathbb{N}$ mitjançant el mètode d'inducció matemàtica, comprovant explícitament els tres primers ordres de derivació.

Un dron de vigilància segueix una trajectòria de vol sobre un eix rectilini. La seva posició (en decàmetres) respecte al centre de control ve donada per la funció $s(t) = t^2 \cdot e^{-t/4}$, on $t$ és el temps en minuts des de l'enlairament ($t \ge 0$). La figura mostra la gràfica de $s(t)$.

1. a) Determina la funció velocitat $v(t)$ i la funció acceleració $a(t)$ del dron.

1. b) En quin instant el dron canvia de sentit en el seu moviment?

1. c) Calcula els instants exactes en què l'acceleració és nul·la. Quina interpretació física tenen aquests punts respecte a la velocitat del dron?

Es considera la funció $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Determina els coeficients $a, b, c$ i $d$ sabent que es compleixen simultàniament les condicions següents:

1. La gràfica de $f(x)$ passa per l'origen de coordenades.

2. La funció té un punt d'inflexió a $x = 1$.

3. La recta tangent a la corba en el punt d'abscissa $x = 0$ és paral·lela a la recta $y = -2x + 5$.

4. El valor de la derivada segona a $x = 0$ és $f''(0) = 6$.

La gràfica següent correspon a la funció derivada, $f'(x)$, d'una funció $f(x)$ que és contínua en tot el seu domini $\mathbb{R}$. La gràfica de $f'(x)$ és una paràbola que talla l'eix $X$ en $x=-2$ i $x=2$, i el vèrtex de la qual és el punt $(0,2)$.

A partir de la gràfica de $f'(x)$, raona les qüestions següents sobre la funció original $f(x)$:

1. a) Indica els intervals de creixement i decreixement de $f(x)$.

1. b) Determina les abscisses dels extrems relatius de $f(x)$ i classifica'ls en màxims o mínims.

1. c) En quin valor de $x$ presenta $f(x)$ un punt d'inflexió? Justifica la teva resposta basant-te en la relació entre $f''(x)$ i el pendent de $f'(x)$.

Es volen determinar els paràmetres reals $a$ i $b$ d'una funció racional de la forma $f(x) = \frac{a x + b}{x - 2}$ (amb $x \ne 2$) perquè compleixi simultàniament dues condicions:

1. La seva derivada $n$-èsima satisfà per a qualsevol nombre natural $n \ge 1$ l'expressió general:

1. La recta tangent a la gràfica de $f$ en el seu punt de tall amb l'eix d'abscisses forma un angle de $135^\circ$ amb el sentit positiu de l'eix $OX$.

1. a) Dedueix per regularitat o recurrència la fórmula de la derivada d'ordre $n$ de la funció elemental $g(x) = \frac{1}{x - 2}$.
2. b) Descompon $f(x)$ en la forma $f(x) = A + \frac{B}{x - 2}$ i utilitza la condició 1 per fixar el valor de $B$, obtenint una primera relació entre $a$ i $b$.
3. c) Tradueix analíticament la condició geomètrica 2 sobre la recta tangent per trobar totes les parelles de valors $(a, b)$ que verifiquen l'enunciat, comprovant la coherència del resultat en cada cas.

Per estudiar la corba implícita donada per l'equació $x^3 + y^3 - 3xy = 0$, en Carlos intenta localitzar els punts que tenen recta tangent horitzontal i escriu a la pissarra:

«Pas 1: Derivo implícitament respecte de $x$ tractant $y$ com a $y(x)$:

Pas 2: Com que busco tangents horitzontals, el pendent s'ha d'anul·lar, així que igualo a zero el numerador: $y - x^2 = 0 \implies y = x^2$.

Pas 3: Substitueixo $y = x^2$ a la corba: $x^3 + (x^2)^3 - 3x(x^2) = 0 \implies x^6 - 2x^3 = 0 \implies x^3(x^3 - 2) = 0$.

Pas 4: Obtinc dues solucions: $x = 0$ (que dóna el punt $(0, 0)$) i $x = \sqrt[3]{2}$ (que dóna el punt $(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4})$). Concloc que en tots dos punts la corba té recta tangent horitzontal $y'=0$ i, en particular, $(0,0)$ és un extrem relatiu suau.»

1. a) Identifica l'error conceptual comès per en Carlos al Pas 4 en analitzar el punt $(0, 0)$. Què passa en avaluar l'expressió de $y'$ en aquest punt?
2. b) Justifica per què la condició $y' = 0$ en derivació implícita és només una condició necessària i quina comprovació addicional sobre el denominador és imprescindible fer.
3. c) Determina raonadament si en el punt $P(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4})$ existeix efectivament recta tangent horitzontal i escriu la seva equació.