Exercicis: Les interaccions fonamentals i els acceleradors

La física actual reconeix quatre interaccions fonamentals: la gravitatòria, l'electromagnètica, la nuclear feble i la nuclear forta.

1. a) Ordena-les de més intensa a menys intensa a escala del nucli atòmic.
2. b) Quina és, amb una diferència enorme, la més feble?
3. c) Quines de les quatre poden mantenir dos cossos lligats formant un sistema estable? Posa un exemple de cada cas.

Les quatre interaccions fonamentals difereixen molt en el seu abast, és a dir, en la distància a la qual són apreciables.

1. a) Quines dues interaccions tenen abast infinit, decreixent amb la distància però sense anul·lar-se mai del tot?
2. b) Quina actua només a distàncies de l'ordre de la mida d'un nucli atòmic, uns $10^{-15}\ \text{m}$?
3. c) Quina té l'abast més curt de totes, de l'ordre de $10^{-18}\ \text{m}$?

Cada fenomen de la naturalesa està governat per alguna de les quatre interaccions fonamentals. Identifica-la en cada cas:

1. a) Els protons i els neutrons romanen units dins del nucli malgrat la intensa repulsió elèctrica entre els protons.
2. b) Els electrons d'un àtom es mantenen lligats al nucli.
3. c) Un nucli inestable emet un electró en una desintegració beta.
4. d) La Terra descriu la seva òrbita al voltant del Sol i els objectes cauen a terra.

En el model estàndard, cada interacció es transmet mitjançant l'intercanvi de partícules mediadores anomenades bosons.

1. a) Quin bosó media la interacció electromagnètica?
2. b) Quins bosons medien la interacció nuclear feble?
3. c) Quins bosons transmeten la interacció forta entre els quarks?
4. d) Quina partícula hipotètica, encara no detectada, es postula com a mediadora de la interacció gravitatòria?

La interacció gravitatòria i l'electromagnètica comparteixen el seu abast infinit, però difereixen en aspectes essencials.

1. a) Quina de les dues pot ser atractiva o repulsiva i quina és sempre atractiva?
2. b) Sobre quina propietat dels cossos actua cadascuna?
3. c) Si l'electromagnètica és moltíssim més intensa que la gravitatòria, per què notem el pes que exerceix la Terra sobre nosaltres però cap força elèctrica per part seva? Raona la resposta pensant en les càrregues i en les masses dels cossos macroscòpics.

La interacció nuclear forta és la més intensa de les quatre interaccions fonamentals i, tanmateix, mai no la percebem directament en la vida diària.

1. a) Quin és el seu abast aproximat?
2. b) Explica, a partir d'aquesta dada, per què els seus efectes queden confinats a l'interior dels nuclis atòmics.
3. c) Què els passaria als nuclis amb més d'un protó si de sobte deixés d'existir la interacció forta? Quins elements químics podrien existir?

Per estudiar les partícules elementals, els físics construeixen acceleradors cada vegada més grans i potents.

1. a) Explica, usant l'equivalència $E = m \cdot c^2$, per què produir partícules molt massives al laboratori exigeix energies de col·lisió enormes.
2. b) Explica, usant la relació de De Broglie $\lambda = \frac{h}{p}$, per què «veure» estructures cada vegada més petites requereix partícules projectil cada vegada més ràpides.
3. c) Quin avantatge energètic té fer xocar frontalment dos feixos que circulen en sentits oposats enfront de llançar un sol feix contra un blanc fix?

El LHC (Gran Col·lisionador d'Hadrons) del CERN, a prop de Ginebra, és un anell de $27\ \text{km}$ de circumferència excavat a uns $100\ \text{m}$ sota terra, entre Suïssa i França. Observa l'esquema de l'anell:

1. a) Quines partícules col·lisiona principalment el LHC i de quin element químic s'obtenen?
2. b) Per a què serveixen els milers d'imants superconductors que recobreixen l'anell?
3. c) Anomena la fita científica més coneguda del LHC i l'any en què es va anunciar.

Compararem les forces elèctrica i gravitatòria entre dos protons separats una distància $r$ qualsevol. Dades: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ i $m_p = 1,673\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Escriu les expressions de la força elèctrica $F_e = K\,\frac{e^2}{r^2}$ i de la força gravitatòria $F_g = G\,\frac{m_p^2}{r^2}$, i comprova que el seu quocient no depèn de la distància $r$.
2. b) Calcula el valor numèric del quocient $\frac{F_e}{F_g}$ i expressa'l en notació científica.
3. c) Explica quina conclusió s'extreu d'aquest resultat sobre el paper de la gravetat en la física de partícules.

Tot i que és la més feble de les quatre, la interacció gravitatòria domina completament el comportament de l'univers a gran escala.

1. a) Explica per què la interacció electromagnètica, moltíssim més intensa, gairebé no influeix en el moviment de planetes i estrelles. Pensa en la càrrega elèctrica neta dels cossos astronòmics.
2. b) Per què la massa, a diferència de la càrrega, no es «compensa» mai en sumar la de molts cossos?
3. c) Ordena les quatre interaccions segons la seva importància en la dinàmica del sistema solar i justifica breument l'ordre triat.

Al LHC cada protó arriba a una energia de $6,5\ \text{TeV}$ ($1\ \text{TeV} = 10^{12}\ \text{eV}$). Dades: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$; l'energia cinètica d'un mosquit en vol és d'uns $10^{-6}\ \text{J}$.

1. a) Expressa l'energia d'un protó del LHC en joules.
2. b) Compara-la amb l'energia cinètica del mosquit i comenta com és possible que una única partícula subatòmica concentri una energia d'aquest ordre.
3. c) En cada col·lisió frontal se sumen les energies dels dos protons, $13\ \text{TeV}$ en total. Si tota aquesta energia es convertís en massa en repòs de protons nous ($E_0 = 938\ \text{MeV}$ cadascun), quants protons es podrien crear com a màxim? Expressa el resultat en notació científica.

La resolució amb la qual un feix de partícules pot explorar una estructura ve limitada per la seva longitud d'ona de De Broglie: només es «veuen» detalls més grans que $\lambda$. Per a partícules ultrarelativistes es compleix $\lambda \approx \frac{h \cdot c}{E}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ i $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula $\lambda$ per a un protó del LHC amb energia $6,5\ \text{TeV}$.
2. b) La mida d'un protó és d'uns $10^{-15}\ \text{m}$: compara amb el teu resultat i raona si el feix pot resoldre l'estructura interna del protó.
3. c) Estima, amb la mateixa fórmula, la $\lambda$ dels electrons d'un microscopi electrònic accelerats amb $100\ \text{kV}$ (energia de $100\ \text{keV}$) i explica per què aquest instrument no pot servir per estudiar quarks.

Els neutrins només participen en la interacció nuclear feble (i en la gravitatòria, totalment menyspreable a la seva escala). L'abast de la interacció feble és de tot just $10^{-18}\ \text{m}$.

1. a) Explica quina conseqüència té un abast tan curt per a la probabilitat que un neutrí interactuï amb un àtom en travessar la matèria.
2. b) Un reactor nuclear emet de l'ordre de $10^{20}$ antineutrins cada segon, però en un detector proper només se'n registren uns quants al dia: relaciona aquest fet amb les propietats de la interacció feble.
3. c) Precisament per aquesta mateixa raó es diu que els neutrins són «missatgers ideals» de l'interior del Sol o d'una supernova llunyana: explica a què es refereix aquesta expressió.

En un accelerador circular, una partícula carregada obligada a corbar la seva trajectòria emet radiació (radiació de sincrotró) i perd energia. Per a una mateixa energia, aquestes pèrdues són enormement més grans com menor és la massa de la partícula. Dades: $m_e = 0,511\ \text{MeV}/c^2$ i $m_p = 938\ \text{MeV}/c^2$.

1. a) Calcula quantes vegades és més massiu el protó que l'electró i raona per què el LHC accelera protons i no electrons per assolir les energies més altes.
2. b) Quin avantatge tindria, tanmateix, un col·lisionador d'electrons? Pensa en l'estructura interna de cada partícula.
3. c) Els acceleradors lineals redueixen molt el problema de la radiació de sincrotró: explica per què, pensant en la trajectòria de les partícules.

Al LHC els feixos es creuen unes $4\cdot10^{7}$ vegades per segon, però només una fracció minúscula de les col·lisions conté processos realment interessants. El bosó de Higgs, per exemple, es produeix aproximadament en una de cada $10^{10}$ col·lisions.

1. a) Estima quants bosons de Higgs es produeixen per segon i quant de temps es triga, de mitjana, a produir-ne un.
2. b) Raona per què van caldre mesos de presa de dades per acumular una mostra suficient de Higgs i anunciar el descobriment.
3. c) Els detectors no poden guardar tots els esdeveniments i els han de filtrar en temps real, descartant-ne la quasi totalitat: explica quin problema pràctic (volum de dades) hi obliga.

La imatge de l'intercanvi de bosons explica qualitativament l'abast de cada interacció: com més massiu és el bosó mediador, més curt és l'abast, ja que la partícula virtual només pot «existir» un temps brevíssim segons el principi d'incertesa.

1. a) El fotó no té massa: quin abast prediu aquesta idea per a la interacció electromagnètica?
2. b) Els bosons $\text{W}$ i $\text{Z}$ tenen masses enormes, de $80\ \text{GeV}/c^2$ i $91\ \text{GeV}/c^2$: què implica això sobre l'abast de la interacció feble?
3. c) Els gluons no tenen massa i, tanmateix, la interacció forta té un abast curt ($10^{-15}\ \text{m}$): explica a quin fenomen, estudiat en el tema, es deu aquest cas especial.

En els anys 1920, els experiments de desintegració beta van mostrar un resultat desconcertant: els electrons emesos no sortien tots amb la mateixa energia, com exigiria un procés de dos cossos, sinó amb un espectre continu d'energies. Observa la gràfica:

1. a) Explica quins principis de conservació (energia i quantitat de moviment) semblaven violar-se si en la desintegració només s'emetés l'electró.
2. b) Quina hipòtesi va formular Wolfgang Pauli el 1930 per salvar aquests principis i quines propietats (càrrega, massa, interacció amb la matèria) havia de tenir la partícula proposada?
3. c) Aquesta partícula, el neutrí, no es va detectar experimentalment fins al 1956: relaciona aquesta tardança de 26 anys amb l'abast de la interacció feble i amb les propietats que Pauli li va atribuir.

En els anys 1960, Glashow, Weinberg i Salam van demostrar que les interaccions electromagnètica i feble són dues manifestacions d'una única interacció, l'electrodèbil, fet que els va valer el premi Nobel.

1. a) Explica què significa «unificar» dues interaccions i en quin règim d'energies (molt altes o quotidianes) es manifestarien com una de sola.
2. b) Si els bosons $\text{W}$ i $\text{Z}$ tenen massa i el fotó no en té, explica per què a les energies de la vida quotidiana les dues interaccions semblen completament diferents en abast i intensitat.
3. c) La interacció gravitatòria encara no s'ha pogut unificar amb les altres: comenta quina dificultat fonamental la separa de les altres tres (pensa en l'existència o no d'una teoria quàntica de la gravetat i en la detecció del gravitó).

Per mantenir els protons del LHC en la seva òrbita circular s'empren imants dipolars superconductors. El radi magnètic efectiu de l'anell és $r = 2,8\ \text{km}$. Per a una partícula carregada ultrarelativista es compleix $p \approx \frac{E}{c}$ i el radi de la trajectòria en un camp magnètic perpendicular és $r = \frac{p}{q \cdot B}$. Dades: $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ i $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula la quantitat de moviment d'un protó de $7\ \text{TeV}$ en $\text{kg}\cdot\text{m/s}$.
2. b) Aïlla el camp magnètic de l'expressió del radi i calcula el valor necessari per corbar aquests protons a l'anell.
3. c) El camp màxim assolible amb un electroimant convencional amb nucli de ferro és d'uns $2\ \text{T}$: compara amb el teu resultat i justifica per què el LHC necessita imants superconductors refrigerats amb heli líquid a $1,9\ \text{K}$.

Entre dos protons, la força elèctrica és unes $1,2\cdot10^{36}$ vegades més gran que la força gravitatòria.

1. a) Raona si és legítim menysprear completament la gravetat en analitzar una col·lisió entre partícules en un accelerador.
2. b) A l'interior d'una estrella, tanmateix, la gravetat comprimeix la matèria fins a vèncer la repulsió elèctrica entre els nuclis i encendre la fusió: explica com és possible que la interacció més feble imposi la seva llei a escala estel·lar. Pensa en què passa en sumar la massa de $10^{57}$ partícules enfront de la compensació de les seves càrregues.
3. c) A l'interior d'un forat negre la gravetat domina fins i tot sobre la interacció forta: comenta per què s'afirma que en aquests extrems la física actual no disposa d'una teoria completa.

El bosó de Higgs té una vida mitjana de tot just $10^{-22}\ \text{s}$: es desintegra molt abans de poder arribar a qualsevol detector. Dada: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la distància màxima que recorreria en aquest temps encara que viatgés pràcticament a la velocitat de la llum, i conclou per què és impossible observar-lo directament.
2. b) Com es «detecta» llavors una partícula així? Explica el paper dels productes de la seva desintegració (per exemple, dos fotons o quatre leptons) i de les lleis de conservació de l'energia i de la quantitat de moviment per reconstruir la seva massa.
3. c) El senyal del Higgs era un petit excés estadístic sobre un fons enorme d'esdeveniments semblants: raona per què l'anunci del 2012 va exigir acumular milions de col·lisions i aplicar un criteri estadístic tan exigent com el de «cinc sigmes».

Els raigs còsmics assoleixen energies molt superiors a les de qualsevol accelerador: el 1991 l'observatori Fly's Eye (Utah) va detectar una partícula, batejada com a «Oh-My-God», amb una energia d'uns $3\cdot10^{20}\ \text{eV}$. Dades: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$; al LHC cada protó porta $6,5\ \text{TeV}$.

1. a) Expressa l'energia d'aquesta partícula en joules i comenta per què el resultat és sorprenent tractant-se d'una única partícula subatòmica.
2. b) Quantes vegades era més energètica que un protó del LHC? Expressa-ho en notació científica.
3. c) Si els raigs còsmics són tan energètics i arriben de franc de l'espai, raona amb un mínim de dos arguments per què es continuen construint acceleradors com el LHC (pensa en la freqüència d'arribada, en el control del punt i de les condicions de col·lisió i en la possibilitat de repetir l'experiment).

En un xoc d'un feix contra un blanc fix, gran part de l'energia s'inverteix a conservar la quantitat de moviment del sistema i no queda disponible per crear partícules noves. Dades: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. Observa tots dos muntatges:

1. a) Explica, usant la conservació de la quantitat de moviment, per què en una col·lisió frontal de dos feixos iguals (quantitat de moviment total nul·la) tota l'energia queda disponible per crear massa segons $E = m \cdot c^2$.
2. b) El LHC col·lisiona protons de $6,5\ \text{TeV}$ contra protons de $6,5\ \text{TeV}$: quina és l'energia de centre de masses de cada col·lisió? Expressa-la en $\text{TeV}$ i en joules.
3. c) Raona quins inconvenients pràctics té el mode col·lisionador enfront del blanc fix (pensa en la probabilitat que dos feixos diminuts xoquin i en la precisió tecnològica requerida).

Redacció de síntesi: «Quatre interaccions per a un univers».

1. a) Resumeix en un esquema les quatre interaccions fonamentals indicant, per a cadascuna: bosó mediador, abast, intensitat relativa i un fenomen quotidià o astronòmic que governi.
2. b) Explica per què els fenòmens a escala humana (la química, la llum, l'electricitat, els materials) estan governats essencialment per la interacció electromagnètica, malgrat que n'hi hagi tres més.
3. c) Conclou discutint el paper dels grans acceleradors en la comprovació experimental d'aquestes idees i per què la física de frontera (el Higgs, l'antimatèria, la unificació) té valor encara que no ofereixi aplicacions immediates.

Repte del tema. Converteix-te en investigador del CERN dissenyant un informe sobre col·lisions i detecció de partícules subatòmiques.

1. Consulta al portal oficial CERN Open Data la massa del bosó $Z$ ($M_Z \approx 91,2\text{ GeV}/c^2$). Identifica en una breu fitxa la seva interacció fonamental, bosó mediador i les partícules fonamentals (quarks o leptons) en les quals pot desintegrar-se segons el Model Estàndard.

2. Modela la dispersió en col·lisionadors: fes rodar una bala per una rampa casolana cap a un obstacle cilíndric fix i mesura amb un regle la desviació lateral $y$ després del xoc, a una distància fixa $L$ de l'obstacle ($10$ repeticions), estimant una incertesa de $\Delta y = \pm 0,1\text{ cm}$.

3. Construeix una taula amb els teus valors ($y_i \pm \Delta y$) i elabora una gràfica de dispersió de freqüències segons l'angle de desviament estimat $\theta_i \approx \arctan(y_i/L)$.

4. Redacta una proposta raonada que connecti el teu assaig amb el funcionament dels acceleradors actuals: explica com l'LHC corba i detecta leptons carregats mitjançant camps magnètics ($F = q \cdot v \cdot B$) per reconstruir successos com el del bosó $Z$.

Es valorarà:

• Identificació rigorosa de les partícules i interaccions del Model Estàndard utilitzant dades del CERN.

• Correcció metodològica en la presa de mesures, càlcul d'incerteses, taula i gràfica.

• Qualitat de l'informe en vincular l'experiment casolà amb la física d'acceleradors i detectors.