Exercicis: El model estàndard i les partícules fonamentals

El model estàndard descriu la matèria ordinària a partir d'unes poques partícules elementals: els quarks i els leptons. Hi ha sis tipus de quarks: up ($\text{u}$), down ($\text{d}$), strange ($\text{s}$), charm ($\text{c}$), bottom ($\text{b}$) i top ($\text{t}$), i els dos primers, amb càrregues $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ i $q_d = -\frac{1}{3}\,e$, formen els protons i els neutrons.

1. a) Quants tipus de quarks existeixen i quins formen la matèria ordinària que ens envolta?
2. b) Què significa que els quarks siguin partícules «elementals»?
3. c) Indica el valor de la càrrega elèctrica dels quarks $\text{u}$ i $\text{d}$ expressada en unitats de la càrrega elemental $e$.

Un protó està format per tres quarks: dos quarks $\text{u}$ i un quark $\text{d}$ (combinació $\text{uud}$). Dades: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$, $q_d = -\frac{1}{3}\,e$ i $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$. Observa l'esquema:

1. a) Suma les càrregues dels seus tres quarks i expressa la càrrega total del protó en funció de $e$.
2. b) Calcula el valor d'aquesta càrrega en coulombs.
3. c) Per què es diu que el protó no és una partícula elemental?

Un neutró està format per un quark $\text{u}$ i dos quarks $\text{d}$ (combinació $\text{udd}$). Dades: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ i $q_d = -\frac{1}{3}\,e$.

1. a) Calcula la càrrega total del neutró sumant les càrregues dels seus tres quarks.
2. b) Explica, a la vista del resultat, per què el neutró és elèctricament neutre malgrat estar format per partícules carregades.
3. c) Conté càrrega elèctrica el neutró en el seu interior? Raona la teva resposta a partir del teu càlcul.

A més dels quarks, el model estàndard inclou una altra família de partícules de matèria: els leptons. L'electró, el muó i el tau, juntament amb els seus tres neutrins associats, són leptons.

1. a) Quina propietat tenen en comú els leptons que els diferencia dels quarks? (Pensa en si estan o no formats per altres partícules i en quines interaccions senten.)
2. b) Quin és l'únic leptó carregat present en la matèria ordinària?
3. c) Indica dues propietats que distingeixen els neutrins respecte a la resta dels leptons.

En el model estàndard, a més de les partícules de matèria (quarks i leptons), hi ha els bosons. El fotó, els bosons $\text{W}$ i $\text{Z}$ i els gluons són partícules mediadores de les interaccions; el bosó de Higgs també és un bosó, però no fa de mediador de cap de les interaccions fonamentals.

1. a) Anomena el bosó mediador de la interacció electromagnètica.
2. b) Quin bosó del model estàndard està relacionat amb el fet que les partícules tinguin massa?
3. c) Explica amb les teves paraules la diferència entre el paper d'un bosó mediador i el d'una partícula de matèria com un leptó.

En un detector d'un laboratori de física de partícules es registren aquestes sis partícules: electró, protó, neutró, fotó, neutrí i bosó de Higgs.

1. a) Quines són leptons?
2. b) Quines són hadrons, és a dir, estan formades per quarks?
3. c) Quines són bosons mediadors o associats a un camp?

El 1932, Carl Anderson va descobrir el positró en els rajos còsmics: una partícula idèntica a l'electró però amb càrrega positiva. Va ser la primera antipartícula observada.

1. a) Quines propietats comparteixen una partícula i la seva antipartícula i en quina propietat es diferencien?
2. b) Indica com es diu i quina càrrega té l'antipartícula del protó.
3. c) Què passa quan una partícula i la seva antipartícula es troben?

Els hadrons es classifiquen en dos grans grups: els barions, formats per tres quarks, i els mesons, formats per un quark i un antiquark. Observa l'esquema d'un mesó:

1. a) A quin dels dos grups pertanyen el protó i el neutró?
2. b) El pió $\pi^+$ és un mesó format per un quark $\text{u}$ i un antiquark $\bar{\text{d}}$. Sabent que $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ i que un antiquark té la càrrega oposada a la del seu quark, calcula la càrrega del pió en funció de $e$.
3. c) Raona si el resultat obtingut és coherent amb el nom del pió, $\pi^+$.

Els barions delta són combinacions de tres quarks $\text{u}$ i $\text{d}$: el $\Delta^{++}$ és $\text{uuu}$, el $\Delta^{+}$ és $\text{uud}$, el $\Delta^{0}$ és $\text{udd}$ i el $\Delta^{-}$ és $\text{ddd}$. Dades: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$, $q_d = -\frac{1}{3}\,e$ i $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

1. a) Calcula la càrrega elèctrica de cadascun dels quatre barions delta en funció de $e$.
2. b) Expressa aquestes càrregues en coulombs.
3. c) Explica per què el superíndex de cada partícula ($++$, $+$, $0$, $-$) coincideix amb el resultat del teu càlcul.

Un mesó està format per un quark i un antiquark. Considera només quarks i antiquarks dels tipus $\text{u}$ i $\text{d}$. Dades: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$, $q_d = -\frac{1}{3}\,e$, i la càrrega d'un antiquark és l'oposada a la del seu quark.

1. a) Quina combinació quark-antiquark dona lloc a un mesó de càrrega $-e$? Comprova-ho sumant les càrregues.
2. b) Quines combinacions donen lloc a mesons neutres? Comprova-ho.
3. c) Justifica, a partir de les càrregues possibles, per què cap mesó no pot tenir càrrega $+2\,e$.

En física de partícules les energies s'expressen en electrons-volt i els seus múltiples: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$, $1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$.

1. a) L'energia en repòs de l'electró és $0,511\ \text{MeV}$: expressa-la en joules.
2. b) L'energia en repòs del protó és $938\ \text{MeV}$: expressa-la en joules.
3. c) Quantes vegades més gran és l'energia en repòs del protó que la de l'electró? Expressa el resultat en notació científica.

Segons la relativitat, tota partícula en repòs posseeix una energia $E_0 = m \cdot c^2$ associada a la seva massa. Dades: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ i $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula l'energia en repòs de l'electró en joules.
2. b) Converteix el resultat a $\text{MeV}$ i comprova que coincideix aproximadament amb el valor acceptat, $0,511\ \text{MeV}$.
3. c) Repeteix el càlcul per al protó ($m_p = 1,673\cdot10^{-27}\ \text{kg}$) i compara el resultat amb $938\ \text{MeV}$.

En una tomografia per emissió de positrons (PET), tècnica de diagnòstic mèdic, s'injecta al pacient un radiotraçador que emet positrons. Cada positró s'anihila amb un electró del teixit i s'emeten dos fotons gamma en sentits oposats. Dades: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ i $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. Observa l'esquema:

1. a) Suposant que l'electró i el positró estan pràcticament en repòs, calcula l'energia total alliberada en l'anihilació, en joules.
2. b) Quina energia porta cadascun dels dos fotons? Expressa-la en $\text{MeV}$.
3. c) Explica, fent servir la conservació del moment lineal, per què els dos fotons surten en sentits oposats i per què això permet a l'equip PET localitzar el punt on ha tingut lloc l'anihilació.

En el model estàndard és habitual expressar les masses de les partícules en $\text{MeV}/c^2$. Dades: massa de l'electró $m_e = 0,511\ \text{MeV}/c^2$, massa del muó $m_\mu = 105,7\ \text{MeV}/c^2$, $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$ i $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Explica què significa expressar una massa en $\text{MeV}/c^2$ i quina relació té amb l'equació $E_0 = m \cdot c^2$.
2. b) Calcula la massa del muó en quilograms.
3. c) Quantes vegades és més massiu el muó que l'electró? Aquest resultat, proper a $207$, va fer que als anys 30 el muó es confongués inicialment amb la partícula predita per Yukawa, que després es va descartar per la seva feble interacció amb els nuclis.

En l'experiment ALPHA del CERN es fabriquen àtoms d'antihidrogen, l'antimatèria més senzilla possible, combinant un antiprotó amb un positró. Dades: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$, $q_d = -\frac{1}{3}\,e$, i la càrrega d'un antiquark és l'oposada a la del seu quark.

1. a) Indica la composició de l'antihidrogen i raona quina és la seva càrrega neta.
2. b) L'antiprotó està format per dos antiquarks $\bar{\text{u}}$ i un antiquark $\bar{\text{d}}$: calcula la seva càrrega en funció de $e$.
3. c) Explica per què emmagatzemar antimatèria és tan difícil i quines tècniques (buit extrem, trampes magnètiques) s'empren per aconseguir-ho.

Cada segon travessen el nostre cos uns $10^{14}$ neutrins procedents de les reaccions nuclears del Sol, sense que notem absolutament res.

1. a) Explica, a partir de les seves propietats (càrrega, massa i tipus d'interacció que senten), per què els neutrins travessen tota la Terra sense gairebé interactuar.
2. b) A quina família del model estàndard pertanyen els neutrins i en què es distingeixen dels quarks?
3. c) Raona per què els detectors de neutrins, com Super-Kamiokande al Japó, utilitzen tancs gegantins d'aigua instal·lats profundament sota terra.

En la desintegració beta, un neutró lliure es transforma segons el procés $\text{n} \rightarrow \text{p} + \text{e}^- + \bar{\nu}_e$, on $\bar{\nu}_e$ és un antineutrí electrònic. Dades: el neutró és $\text{udd}$, el protó és $\text{uud}$, $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ i $q_d = -\frac{1}{3}\,e$. Observa l'esquema del procés:

1. a) Comprova que la càrrega elèctrica es conserva en el procés, sumant les càrregues abans i després.
2. b) Comparant les composicions del neutró i del protó, quina transformació pateix un dels quarks durant la desintegració?
3. c) Tenint en compte que el neutró és neutre i el protó té càrrega $+e$, explica per què és imprescindible que s'emeti també un electró, i raona quins indicis (conservació de l'energia i del moment lineal) van obligar a postular, a més, l'antineutrí.

Es proposen aquestes tres reaccions entre partícules ($\bar{\text{p}}$ representa un antiprotó, de càrrega $-e$; l'antineutrí $\bar{\nu}_e$ i els fotons $\gamma$ no tenen càrrega):

• Reacció 1: $\text{p} + \bar{\text{p}} \rightarrow \gamma + \gamma$

• Reacció 2: $\text{n} \rightarrow \text{p} + \text{e}^-$

• Reacció 3: $\text{e}^- + \text{e}^- \rightarrow \text{e}^-$

1. a) Comprova per a cada reacció si la càrrega elèctrica es conserva.
2. b) La reacció 2 conserva la càrrega i, tanmateix, mai no s'observa així a la natura: falta un antineutrí entre els productes. Explica quines magnituds no es conservarien sense ell (pensa en el nombre de leptons, en l'espín i en el fet que l'energia dels electrons emesos té un espectre continu).
3. c) En l'anihilació protó-antiprotó de la reacció 1, suposant ambdues partícules pràcticament en repòs, calcula l'energia total disponible per als fotons, en joules i en $\text{GeV}$. Dades: $m_p = 1,673\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ i $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

Els muons són leptons inestables, amb una vida mitjana de només $\tau = 2,2\ \mu\text{s}$. Es produeixen a l'alta atmosfera, a uns $15\ \text{km}$ d'alçada, quan els rajos còsmics xoquen amb les molècules de l'aire, i viatgen pràcticament a la velocitat de la llum. Dades: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; considereu un muó amb velocitat $v = 0,999\,c$. Observa l'esquema:

1. a) Segons la física clàssica, calcula la distància que recorreria el muó, de mitjana, abans de desintegrar-se.
2. b) Compara aquesta distància amb els $15\ \text{km}$ que el separen de terra i explica què prediria la física clàssica sobre la possibilitat de detectar muons a la superfície terrestre.
3. c) A la superfície sí que es detecten muons en abundància: explica qualitativament quin efecte relativista (dilatació del temps o, equivalentment, contracció de la longitud) ho fa possible.

L'anihilació matèria-antimatèria converteix el $100\ \%$ de la massa en energia, el rendiment més alt que permet la física. Dades: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; la combustió de la gasolina allibera uns $4,5\cdot10^{7}\ \text{J/kg}$.

1. a) Calcula l'energia alliberada en anihilar-se $1\ \text{g}$ d'antimatèria amb $1\ \text{g}$ de matèria ordinària. Recorda que desapareix la massa de totes dues.
2. b) A quants quilograms de gasolina equival aquesta energia? Expressa el resultat en notació científica.
3. c) Malgrat aquest rendiment espectacular, l'antimatèria mai no serà una font d'energia pràctica: raona per què, pensant d'on s'obté l'antimatèria i quanta energia costa fabricar-la.

La massa del protó és $938\ \text{MeV}/c^2$, però les masses dels seus tres quarks (dos $\text{u}$ i un $\text{d}$) amb prou feines sumen uns $9\ \text{MeV}/c^2$, al voltant del $1\ \%$ del total. Dada: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. Observa la gràfica:

1. a) Si la massa en repòs del protó no procedeix de la massa dels seus quarks, d'on procedeix fonamentalment? Explica la teva resposta fent servir l'equivalència $E_0 = m \cdot c^2$ i l'energia associada a la interacció forta que lliga els quarks.
2. b) Calcula en joules l'energia equivalent a la massa del protó.
3. c) Comenta críticament aquesta afirmació: «La massa de la matèria ordinària és, sobretot, energia atrapada».

El protó lliure és estable, però un neutró lliure es desintegra en uns $880\ \text{s}$ de mitjana. Dades (energies en repòs): $E_0(\text{n}) = 939,6\ \text{MeV}$, $E_0(\text{p}) = 938,3\ \text{MeV}$, $E_0(\text{e}^-) = 0,511\ \text{MeV}$; l'energia en repòs de l'antineutrí és pràcticament nul·la. Observa el diagrama de nivells:

1. a) Comprova amb les dades que la desintegració $\text{n} \rightarrow \text{p} + \text{e}^- + \bar{\nu}_e$ és energèticament possible i calcula l'energia alliberada.
2. b) Raona, amb les mateixes dades, per què el procés invers espontani, $\text{p} \rightarrow \text{n} + \text{e}^+ + \nu_e$, no pot tenir lloc per a un protó lliure.
3. c) Relaciona les teves conclusions amb el fet que la matèria estable de l'univers estigui formada per protons i electrons, i no per neutrons lliures.

Mai no s'ha observat un quark aïllat: els quarks només existeixen formant combinacions (barions de tres quarks o mesons quark-antiquark). Aquesta propietat de la interacció forta s'anomena confinament. Dades: $q_u = +\frac{2}{3}\,e$ i $q_d = -\frac{1}{3}\,e$.

1. a) Explica per què la càrrega elèctrica de qualsevol partícula que es pot observar lliurement és sempre un múltiple enter de $e$, encara que els quarks tinguin càrregues de $\pm\frac{1}{3}\,e$ o $\pm\frac{2}{3}\,e$. Comprova-ho amb un barió i amb un mesó.
2. b) En intentar separar dos quarks, l'energia invertida es materialitza en una parella quark-antiquark creada del buit, i en lloc de quarks lliures apareixen dos hadrons nous. Relaciona aquest fet amb el confinament i amb l'equació $E = m \cdot c^2$.
3. c) Compara la situació amb la de partir un imant per la meitat esperant separar el pol nord del pol sud: indica en què s'assemblen i en què es diferencien tots dos fenòmens.

Fins al 2012 el bosó de Higgs era l'única peça del model estàndard sense confirmació experimental. La seva existència explica per què les partícules elementals tenen massa. Dades: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ i $m_p = 1,673\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Explica qualitativament el paper del camp de Higgs: per què el fotó, que no interacciona amb aquest camp, no té massa, mentre que els bosons $\text{W}$ i $\text{Z}$, que sí que hi interaccionen, són molt massius?
2. b) La massa del bosó de Higgs és $125\ \text{GeV}/c^2$: calcula la seva energia en repòs en joules i la seva massa en quilograms.
3. c) Quantes vegades és més massiu el bosó de Higgs que un protó? Comenta per què va caldre l'accelerador més potent del món per produir-lo.