Exercicis: Sistemes òptics: lents primes i miralls

A l'estoig d'òptica del laboratori hi ha dues lents: l'una és més gruixuda al centre que a les vores i l'altra és més gruixuda a les vores que al centre.

1. a) Indica quina és convergent i quina divergent.
2. b) Descriu què li passa a un feix de raigs paral·lels a l'eix òptic en travessar cadascuna d'elles: convergeixen en un punt o s'obren com si vinguessin d'un punt?

Un objecte es col·loca a una distància d'una lent convergent més gran que el doble de la seva distància focal.

1. a) Enuncia les regles de traçat dels tres raigs principals d'una lent convergent (el raig paral·lel a l'eix, el que passa pel centre i el que passa pel focus objecte).
2. b) Dibuixa a la teva llibreta el traçat i determina les característiques de la imatge: és real o virtual, dreta o invertida, més gran o més petita que l'objecte?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una persona es troba a $2\ \text{m}$ d'un mirall pla de paret. Observa l'esquema:

1. a) A quina distància darrere del mirall es forma la seva imatge?
2. b) Indica les característiques de la imatge: és real o virtual, està dreta o invertida i quina mida té en comparació amb la persona?
3. c) A quina distància veu la persona la seva pròpia imatge?

Un rellotger fa servir una lupa per revisar el mecanisme d'un rellotge.

1. a) Quin tipus de lent és una lupa: convergent o divergent?
2. b) On s'ha de col·locar l'objecte respecte al focus de la lent perquè la lupa funcioni?
3. c) Indica les característiques de la imatge que s'observa (real o virtual, dreta o invertida, més gran o més petita).

Un objecte lluminós es col·loca a $s = 30\ \text{cm}$ d'una lent prima convergent de distància focal $f = 10\ \text{cm}$. Fes servir l'equació de les lents primes $1/f = 1/s + 1/s'$ amb aquest conveni de signes: $s$ és positiva per a l'objecte real, $s'$ és positiva si la imatge és real i negativa si és virtual, i $f$ és positiva en lents convergents i negativa en divergents.

1. a) Calcula la distància imatge $s'$.
2. b) Indica si la imatge és real o virtual i si es pot projectar en una pantalla.

Les ulleres correctores de la miopia porten lents divergents.

1. a) Dibuixa a la teva llibreta el traçat de raigs d'una lent divergent amb un objecte al davant.
2. b) A partir del dibuix, justifica per què una lent divergent dona sempre imatges virtuals, dretes i de mida més petita que l'objecte.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Relaciona cada aplicació amb el tipus de mirall i explica'n breument el motiu: el retrovisor exterior d'un cotxe, el mirall que fa servir el dentista per veure un queixal augmentat i el mirall del far d'un cotxe que dirigeix la llum de la bombeta cap endavant en un feix gairebé paral·lel.

1. a) Retrovisor exterior.
2. b) Mirall del dentista.
3. c) Mirall del far.

La potència d'una lent es defineix com a $P = 1/f$, amb $f$ en metres, i es mesura en diòptries ($\text{D}$).

1. a) Calcula la potència d'una lent convergent de $f = 0,5\ \text{m}$.
2. b) Calcula la distància focal d'una lent de $-4\ \text{D}$ i indica si és convergent o divergent.

Un objecte de $10\ \text{cm}$ d'alçària es col·loca a $s = 60\ \text{cm}$ d'una lent convergent de $f = 20\ \text{cm}$. Fes servir $1/f = 1/s + 1/s'$ i l'augment lateral $A = -s'/s$, amb el conveni de signes habitual (positives les distàncies d'objectes i imatges reals). Observa l'esquema:

1. a) Calcula la distància imatge $s'$.
2. b) Calcula l'augment lateral i l'alçària de la imatge.
3. c) Descriu la imatge: real o virtual, dreta o invertida, més gran o més petita.

Un projector de diapositives fa servir una lent convergent de $f = 15\ \text{cm}$. La diapositiva es col·loca a $s = 20\ \text{cm}$ de la lent.

1. a) Calcula la distància a la qual s'ha de situar la pantalla perquè la imatge quedi enfocada.
2. b) Calcula l'augment lateral.
3. c) Explica per què la diapositiva s'ha de col·locar de cap per avall al portadiapositives.

Una lupa és una lent convergent de $f = 10\ \text{cm}$. S'observa un segell col·locat a $s = 6\ \text{cm}$ de la lent. Observa l'esquema:

1. a) Calcula la distància imatge $s'$ i explica el significat del seu signe.
2. b) Calcula l'augment lateral i explica el significat del seu signe.
3. c) Indica les característiques de la imatge i per què no es pot recollir en una pantalla.

Un objecte de $5\ \text{cm}$ d'alçària és a $s = 30\ \text{cm}$ d'una lent divergent de distància focal $f = -20\ \text{cm}$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula la distància imatge $s'$.
2. b) Calcula l'augment lateral i l'alçària de la imatge.
3. c) Confirma amb els resultats que la imatge és virtual, dreta i més petita, com correspon a una lent divergent.

Un mirall esfèric còncau de laboratori té un radi de curvatura $R = 40\ \text{cm}$. Un objecte de $4\ \text{cm}$ d'alçària es col·loca a $s = 30\ \text{cm}$ del mirall. Recorda que $f = R/2$ i fes servir la mateixa equació $1/f = 1/s + 1/s'$ amb el conveni habitual (positives les distàncies d'objectes i imatges reals). Observa l'esquema:

1. a) Calcula la distància focal del mirall.
2. b) Calcula la posició de la imatge.
3. c) Calcula l'augment i l'alçària de la imatge, i indica si es pot recollir en una pantalla.

El retrovisor exterior d'un cotxe és un mirall convex de distància focal $f = -0,5\ \text{m}$. Un cotxe de $1,5\ \text{m}$ d'alçària circula a $s = 10\ \text{m}$ del mirall. Observa l'esquema:

1. a) Calcula la posició de la imatge.
2. b) Calcula l'augment lateral i l'alçària de la imatge.
3. c) En vista del resultat, explica el significat de l'advertiment «els objectes al mirall són més a prop del que sembla».

En una revisió de la vista, a un pacient hipermètrope li prescriuen lents de $+2\ \text{D}$ i a un pacient miop, lents de $-2,5\ \text{D}$. Recorda que $P = 1/f$ amb $f$ en metres.

1. a) Calcula la distància focal de cada lent i indica'n el tipus.
2. b) Explica quin problema d'enfocament té cada pacient (on es forma la imatge d'un objecte llunyà respecte a la retina?) i per què el signe de la seva lent el corregeix.

Una persona de $1,80\ \text{m}$ d'alçària, amb els ulls a $1,70\ \text{m}$ del terra, vol comprar el mirall pla vertical més petit que li permeti veure's de cos sencer.

1. a) Dibuixa a la teva llibreta els raigs que van dels peus i de la coroneta als ulls reflectint-se en el mirall i, aplicant la llei de la reflexió i la semblança de triangles, dedueix que l'alçària mínima del mirall és la meitat de l'alçària de la persona.
2. b) Calcula aquesta alçària mínima i a quines alçàries del terra han de quedar les vores inferior i superior del mirall.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es vol dissenyar un projector que formi una imatge real tres vegades més gran que l'objecte sobre una pantalla situada a $4\ \text{m}$ de l'objecte. Observa l'esquema:

1. a) Tenint en compte que per a una imatge real la distància objecte-pantalla és $s + s'$, planteja el sistema amb la condició d'augment $|A| = s'/s = 3$ i calcula $s$ i $s'$.
2. b) Calcula la distància focal de la lent necessària i la seva potència en diòptries.
3. c) Raona per què no serviria una lent divergent per a aquest projecte.

Un telescopi refractor d'un club d'astronomia té un objectiu de distància focal $f_{\text{ob}} = 90\ \text{cm}$ i un ocular de $f_{\text{oc}} = 3\ \text{cm}$. Per a un objecte molt llunyà, l'augment angular del telescopi és $M = f_{\text{ob}}/f_{\text{oc}}$ i la longitud del tub és aproximadament la suma de les dues distàncies focals. Observa l'esquema:

1. a) Calcula l'augment angular del telescopi.
2. b) Calcula la longitud aproximada del tub.
3. c) Explica el paper de cada lent i per què interessa que l'objectiu tingui un diàmetre gran (pensa en la llum que capta d'un estel feble).

L'objectiu d'una càmera es pot aproximar per una lent convergent de $f = 12\ \text{cm}$. Es fotografien objectes situats a $s = 36\ \text{cm}$, $s = 24\ \text{cm}$ i $s = 18\ \text{cm}$ de la lent.

1. a) Calcula la distància imatge $s'$ i l'augment lateral en tots tres casos.
2. b) Descriu i justifica la tendència: en apropar l'objecte cap al focus, què fan la posició i la mida de la imatge?
3. c) Analitza els casos límit: què passa si l'objecte és exactament a $s = f$? I si és més a prop que la distància focal?

Un forn solar com el d'Odelló (França) concentra la llum del Sol amb un mirall esfèric còncau de radi $R = 1,2\ \text{m}$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula la seva distància focal.
2. b) La llum del Sol arriba en raigs pràcticament paral·lels (objecte a l'infinit): raona, a partir de $1/f = 1/s + 1/s'$ amb $s \rightarrow \infty$, on s'ha de col·locar el receptor per concentrar l'energia.
3. c) Si un objecte es col·loca a $s = 0,9\ \text{m}$ del mateix mirall, calcula la posició de la imatge i l'augment, i indica'n les característiques.
4. d) Explica on s'ha de situar una font lluminosa puntual perquè el mirall produeixi un feix emergent paral·lel, com en un far, i justifica-ho amb l'equació.

En el disseny d'un instrument òptic s'enganxen dues lents primes en contacte: una de $+3\ \text{D}$ i una altra de $-1\ \text{D}$. Per a lents primes en contacte, les potències se sumen: $P = P_1 + P_2$.

1. a) Calcula la potència i la distància focal del conjunt i indica si es comporta com a lent convergent o divergent.
2. b) El conjunt es fa servir com a lupa amb un objecte a $s = 0,3\ \text{m}$: calcula la posició de la imatge i l'augment lateral, i indica les característiques de la imatge.
3. c) Explica, en vista dels signes, per què el conjunt final està dominat per una de les dues lents.

Un retrovisor convex té $f = -0,4\ \text{m}$. Un cotxe d'$1,8\ \text{m}$ d'amplada es troba a $s = 8\ \text{m}$.

1. a) Calcula la posició de la imatge, l'augment i l'amplada aparent del cotxe al mirall.
2. b) Compara amb un mirall pla de la mateixa mida, en què la imatge tindria la mida real de l'objecte: explica, fent servir els resultats, per què el mirall convex permet abastar un camp visual molt més gran en un mirall petit.
3. c) Comenta l'inconvenient que té aquest disseny per estimar distàncies i per què la normativa obliga a incloure l'advertiment corresponent.

Un microscopi òptic de laboratori porta un objectiu de $40$ augments i un ocular de $10$ augments, de manera que l'augment total és el producte de tots dos.

1. a) Calcula l'augment total del microscopi.
2. b) Explica el paper de cada lent: quin tipus d'imatge forma l'objectiu de la mostra i com actua l'ocular sobre aquesta imatge intermèdia.
3. c) Una cèl·lula fa $20\ \mu\text{m}$: calcula la mida aparent amb què s'observa a través del microscopi, expressada en $\text{mm}$.

L'ull humà es pot modelar com una lent (el cristal·lí) la imatge de la qual es forma sempre sobre la retina, situada a $2,4\ \text{cm}$ de la lent. El cristal·lí canvia la seva distància focal gràcies als músculs ciliars (acomodació). Observa l'esquema:

1. a) Calcula la distància focal del cristal·lí quan s'observa un objecte molt llunyà ($s \rightarrow \infty$).
2. b) Calcula la distància focal necessària per llegir un llibre a $25\ \text{cm}$ de l'ull.
3. c) Amb els dos resultats, explica en què consisteix l'acomodació i per què amb l'edat (presbícia) costa enfocar els objectes propers.

Repte del tema. Com es pot caracteritzar un sistema òptic utilitzant objectes quotidians? Dissenya i calibra el teu propi banc òptic casolà.

1. Mesura experimental: Utilitza una lupa (o un got cilíndric transparent amb aigua) com a lent convergent. Amb la llanterna del mòbil tapada amb una cartolina perforada com a objecte, projecta la imatge nítida sobre una pantalla blanca per a 5 distàncies objecte diferents. Mesura $s$ i la distància imatge $s'$ estimant la incertesa instrumental ($\pm 0,1\text{ cm}$).

2. Anàlisi gràfica: Construeix una taula amb els valors de $s$, $s'$, $1/s$ i $1/s'$. Representa gràficament $1/s'$ enfront de $1/s$, ajusta la recta i determina experimentalment la distància focal $f'$ a partir de l'equació de les lents primes: $\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'}$.

3. Sistemes i reflexió: Observa la formació de la teva imatge reflectida en les dues cares d'una cullera metàl·lica (mirall còncau i convex) a dues distàncies diferents. Traça a escala els diagrames de raigs tant per a la lent com per al mirall, justificant si les imatges són reals o virtuals, dretes o invertides.

4. Producte final: Elabora un informe breu amb la taula, la gràfica de l'ajust, els traçats de raigs i les conclusions físiques.

Es valorarà:

• Precisió en la presa de dades empíriques, càlcul d'incerteses i linealització gràfica.

• Determinació correcta de la focal $f'$ i interpretació física dels paràmetres de la recta.

• Rigor conceptual i geomètric en el traçat de raigs per a refracció i reflexió.