Exercicis: Refracció i formació d'imatges

Una palleta introduïda en un got amb aigua sembla doblegada just a la superfície del líquid.

1. a) Quin fenomen òptic produeix aquest efecte?
2. b) Explica'n la causa física: què li passa a la llum quan passa de l'aigua a l'aire?

La llum viatja en el buit a $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ i l'índex de refracció de l'aigua és $n = 1,33$.

1. a) Escriu la relació entre l'índex de refracció $n$, la velocitat de la llum en el buit $c$ i la velocitat de la llum en el medi $v$.
2. b) Calcula la velocitat de la llum en l'aigua.

En una pràctica de laboratori es mesura que un pols de llum recorre un bloc de vidre a $2\cdot10^{8}\ \text{m/s}$. Dada: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula l'índex de refracció d'aquest vidre.
2. b) Raona si un índex de refracció pot ser menor que $1$.

Un raig làser incideix des de l'aire ($n \approx 1$) sobre la superfície de l'aigua d'un aquari ($n = 1,33$) formant un angle d'incidència de $30^\circ$ amb la normal. Dada: $\sen 30^\circ = 0,5$. Observa l'esquema:

1. a) Escriu la llei de Snell de la refracció, $n_1 \cdot \sen i = n_2 \cdot \sen r$, identificant cada magnitud.
2. b) Calcula l'angle de refracció dins de l'aigua.
3. c) Indica si el raig s'apropa o s'allunya de la normal i per què.

Un raig de llum entra des de l'aire ($n \approx 1$) en una placa de vidre d'índex de refracció $n = 1,5$ amb un angle d'incidència de $45^\circ$. Dada: $\sen 45^\circ \approx 0,71$.

1. a) Calcula l'angle de refracció aplicant la llei de Snell.
2. b) Dibuixa al teu quadern la superfície de separació, la normal, el raig incident i el raig refractat, assenyalant tots dos angles.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un focus submergit en l'aigua d'una piscina ($n = 1,33$) emet un raig que arriba a la superfície formant $20^\circ$ amb la normal i surt a l'aire ($n \approx 1$).

1. a) Sense fer càlculs, indica si el raig refractat s'apropa o s'allunya de la normal.
2. b) Justifica-ho a partir de la llei de Snell, raonant què passa quan el segon medi té un índex de refracció menor.

La llum viatja a $2,26\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ en l'aigua i a $1,94\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ en el quars. Dada: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula l'índex de refracció de cada material.
2. b) Si un mateix raig entra des de l'aire amb el mateix angle d'incidència en tots dos materials, en quin es desvia més? Raona la resposta.

En una fibra òptica la llum avança pel nucli sense escapar-se a l'exterior encara que la fibra es corbi. Observa l'esquema:

1. a) Quin fenomen òptic manté la llum dins del nucli?
2. b) Quina condició ha de complir l'angle d'incidència del raig sobre la paret del nucli perquè passi?
3. c) L'índex de refracció del nucli ha de ser més gran o més petit que el del revestiment que l'envolta? Raona la resposta.

Al laboratori d'òptica, un raig làser incideix des de l'aire ($n \approx 1$) sobre un semicercle de vidre d'índex $n = 1,52$ amb un angle d'incidència de $60^\circ$. Dada: $\sen 60^\circ \approx 0,866$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula l'angle de refracció en el vidre.
2. b) Calcula l'angle de desviació del raig, és a dir, la diferència entre l'angle d'incidència i el de refracció.

Un raig de llum viatja per l'aigua d'una peixera ($n_1 = 1,33$) i arriba a la paret de vidre ($n_2 = 1,5$) amb un angle d'incidència de $35^\circ$. Dada: $\sen 35^\circ \approx 0,574$.

1. a) Calcula l'angle de refracció en el vidre aplicant la llei de Snell entre els dos medis.
2. b) Indica si el raig s'apropa o s'allunya de la normal en passar al vidre i justifica-ho comparant els índexs.

Un gemmòleg vol identificar un mineral transparent. Fa incidir un raig des de l'aire ($n \approx 1$) amb $45^\circ$ i mesura un angle de refracció de $28^\circ$. Dades: $\sen 45^\circ \approx 0,707$ i $\sen 28^\circ \approx 0,469$.

1. a) Calcula l'índex de refracció del mineral.
2. b) Identifica'l entre aquests candidats: aigua ($n = 1,33$), vidre ($n = 1,5$) i diamant ($n = 2,42$). Justifica l'elecció.

Un banyista submergit en una piscina ($n_{\text{agua}} = 1,33$) mira cap a la superfície. L'aire té $n \approx 1$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula l'angle límit per al pas de la llum de l'aigua a l'aire, és a dir, l'angle d'incidència per al qual l'angle de refracció val $90^\circ$.
2. b) Explica què observa el banyista quan mira punts de la superfície que formen amb la vertical un angle més gran que aquest angle límit.

Un bloc de vidre d'índex $n = 1,5$ està envoltat d'aire ($n \approx 1$).

1. a) Calcula l'angle límit de la superfície vidre-aire.
2. b) Un raig que viatja pel vidre arriba a la superfície amb un angle d'incidència de $30^\circ$: indica, justificant-ho, si surt a l'aire o pateix reflexió total.
3. c) Respon a la mateixa qüestió si l'angle d'incidència és de $50^\circ$.

El diamant té un índex de refracció de $n = 2,42$. Dades: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ i $n_{\text{aire}} \approx 1$.

1. a) Calcula la velocitat de la llum dins del diamant.
2. b) Calcula l'angle límit per a un raig que arriba a la superfície diamant-aire des de l'interior.

Una fibra òptica té un nucli d'índex $n_1 = 1,48$ i un revestiment d'índex $n_2 = 1,46$.

1. a) Calcula l'angle límit a la superfície de separació nucli-revestiment.
2. b) Un raig del nucli arriba a aquesta superfície amb un angle d'incidència de $85^\circ$ respecte a la normal: indica, amb justificació, si es transmet al revestiment o si continua guiat pel nucli.

Un submarinista dirigeix una llanterna cap a la superfície del mar ($n_{\text{agua}} = 1,33$, $n_{\text{aire}} \approx 1$). El raig incideix amb $35^\circ$ respecte a la normal. Dada: $\sen 35^\circ \approx 0,574$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula l'angle amb què el raig surt a l'aire.
2. b) Calcula la desviació que pateix el raig en travessar la superfície.
3. c) Explica què pot passar si el submarinista va augmentant a poc a poc l'angle d'incidència.

Un raig de llum incideix amb $45^\circ$ sobre una làmina de vidre de cares planes i paral·leles, d'índex $n = 1,5$ i gruix $e = 2\ \text{cm}$, envoltada d'aire ($n \approx 1$). Dades: $\sen 45^\circ \approx 0,707$; un cop calculat l'angle de refracció $r$, pots fer servir $\cos r \approx 0,88$ i $\sen(45^\circ - r) \approx 0,29$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula l'angle de refracció $r$ a la primera cara.
2. b) Aplicant la llei d'Snell a la segona cara, demostra que el raig emergent surt amb $45^\circ$, és a dir, paral·lel al raig incident.
3. c) El desplaçament lateral del raig és $d = e \cdot \sen(i - r)/\cos r$. Calcula'n el valor i explica'n el significat amb un dibuix a la teva llibreta.

Una moneda descansa al fons d'una piscina de $2\ \text{m}$ de profunditat ($n_{\text{agua}} = 1,33$, $n_{\text{aire}} \approx 1$). Per a un observador que mira gairebé des de la vertical es compleix que els angles són petits i es pot aproximar $\sen\theta \approx \tan\theta$. Observa l'esquema:

1. a) A partir de la llei d'Snell i d'aquesta aproximació, dedueix que la profunditat aparent és $h' = h/n$.
2. b) Calcula la profunditat aparent de la moneda.
3. c) Explica per què la piscina sembla menys profunda del que és i quin risc pràctic té aquesta percepció.

Un raig entra des de l'aire ($n_1 \approx 1$) a l'aigua d'un aquari ($n_2 = 1,33$) amb un angle d'incidència de $50^\circ$ i, sense canviar de direcció dins de l'aigua, travessa després la paret de vidre ($n_3 = 1,5$), les cares de la qual són paral·leles a la superfície de l'aigua. Dada: $\sen 50^\circ \approx 0,766$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula l'angle de refracció a l'aigua.
2. b) Calcula l'angle de refracció al vidre.
3. c) Comprova que el resultat de l'apartat b) és el mateix que si el raig hagués passat directament de l'aire al vidre, i justifica-ho encadenant les dues lleis d'Snell.

Una fibra òptica d'índex del nucli $n_1 = 1,50$ i del revestiment $n_2 = 1,47$ és a l'aire ($n \approx 1$). Es pot demostrar que l'angle màxim d'entrada $\theta_{\text{màx}}$ perquè un raig quedi guiat per la fibra compleix $\sen\theta_{\text{màx}} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula l'angle límit a la superfície nucli-revestiment.
2. b) Calcula l'angle màxim d'acceptació $\theta_{\text{màx}}$ de la fibra.
3. c) Interpreta el resultat: explica què és el con d'acceptació i per què és important en injectar llum a la fibra, per exemple en un endoscopi mèdic.

Un joier compara la brillantor del diamant ($n = 2,42$) amb la del vidre ($n = 1,5$). Dades: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ i $n_{\text{aire}} \approx 1$.

1. a) Calcula la velocitat de la llum a cada material.
2. b) Calcula l'angle límit de cadascun respecte a l'aire.
3. c) Fent servir els resultats anteriors, justifica per què un diamant ben tallat retorna gairebé tota la llum que hi entra i «brilla» molt més que una peça de vidre de la mateixa forma.

Els prismàtics de qualitat fan servir prismes de Porro de vidre ($n = 1,5$) en lloc de miralls metal·litzats. A cada reflexió, el raig que viatja pel vidre arriba a la cara vidre-aire amb un angle d'incidència de $45^\circ$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula l'angle límit vidre-aire i comprova que a $45^\circ$ es produeix reflexió total.
2. b) Explica quins avantatges té aquest sistema respecte a un mirall metàl·lic (pensa en pèrdues de llum i en degradació).
3. c) Prediu què passaria si el prisma estigués submergit en aigua ($n = 1,33$): calcula el nou angle límit i raona si continuaria funcionant.

Un impuls de llum recorre una fibra òptica de $1\ \text{km}$ de longitud amb un nucli d'índex $n_1 = 1,48$ i un revestiment de $n_2 = 1,46$. El raig més ràpid és el que viatja en línia recta per l'eix, i el més lent és el que fa ziga-zaga incidint a les parets just amb l'angle límit; per a aquest últim, el camí recorregut és $L \cdot n_1/n_2$. Dada: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula el temps que triga el raig axial.
2. b) Calcula el temps que triga el raig límit.
3. c) Calcula l'eixamplament temporal del pols a la sortida i explica quin problema suposa per transmetre dades a alta velocitat i com es resol amb la fibra monomode.

Per mesurar l'índex de refracció d'un líquid desconegut es diposita sobre un bloc de vidre de $n = 1,5$. Fent arribar llum des de l'interior del vidre, s'observa que la reflexió total comença quan l'angle d'incidència a la superfície vidre-líquid és de $60^\circ$. Dades: $\sen 60^\circ \approx 0,866$ i $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula l'índex de refracció del líquid.
2. b) Calcula la velocitat de la llum al líquid.
3. c) Raona si seria possible observar reflexió total per a un raig que viatgés del líquid cap al vidre.