Exercicis: Radioactivitat i processos nuclears

Els nuclis inestables emeten tres tipus de radiació: alfa ($\alpha$), beta ($\beta$) i gamma ($\gamma$).

1. a) Indica la naturalesa de cadascuna: es tracta d'un nucli d'heli, d'un electró o d'un fotó?
2. b) Ordena-les de menor a major massa.
3. c) Assenyala quines tenen càrrega elèctrica i de quin signe.

En un laboratori hi ha tres materials de protecció: un full de paper, una placa d'alumini d'uns mil·límetres de gruix i un mur gruixut de plom o de formigó. Observa l'esquema:

1. a) Associa cada material amb el tipus de radiació (alfa, beta o gamma) que és suficient per aturar.
2. b) Quina de les tres radiacions és la més penetrant? I la menys?
3. c) Explica per què els tècnics que treballen amb fonts gamma utilitzen pantalles o davantals de plom.

L'urani-238 es desintegra emetent una partícula alfa (un nucli d'heli-4, ${}^{4}_{2}\text{He}$) i es transforma en tori.

1. a) Escriu l'equació completa del procés, ${}^{238}_{92}\text{U} \rightarrow {}^{A}_{Z}\text{Th} + {}^{4}_{2}\text{He}$, calculant els valors d'$A$ i d'$Z$.
2. b) Enuncia les dues lleis de conservació que has aplicat: la del nombre màssic i la del nombre atòmic.

El carboni-14, utilitzat en la datació de restes arqueològiques, es desintegra per emissió beta menys: un neutró del nucli es converteix en un protó i s'emet un electró (${}^{0}_{-1}\text{e}$).

1. a) Escriu l'equació del procés, ${}^{14}_{6}\text{C} \rightarrow {}^{A}_{Z}\text{N} + {}^{0}_{-1}\text{e}$, calculant $A$ i $Z$.
2. b) Explica per què en una desintegració beta no canvia el nombre màssic però sí el nombre atòmic.

La semivida d'un isòtop radioactiu és el temps que triga a reduir-se a la meitat la quantitat de nuclis sense desintegrar. Una font de laboratori conté $100\ \text{g}$ de cert isòtop. La figura mostra la seva corba de decaïment.

1. a) Quants grams queden sense desintegrar quan ha passat una semivida?
2. b) I quan han passat dues semivides? I tres?
3. c) Escriu, en funció d'$n$, l'expressió general de la fracció que queda després d'$n$ semivides.

Després de moltes desintegracions alfa o beta, el nucli fill queda en un estat excitat i es desexcita emetent radiació gamma. Observa l'esquema de nivells:

1. a) Explica què és la radiació gamma: en què s'assembla a la llum visible i en què es diferencia?
2. b) Canvien el nombre màssic $A$ o el nombre atòmic $Z$ del nucli quan emet gamma? Justifica la resposta.

L'activitat d'una mostra radioactiva és el nombre de desintegracions que hi tenen lloc cada segon, i es mesura en becquerels ($1\ \text{Bq} = 1$ desintegració per segon).

1. a) En una mostra de laboratori es compten $12000$ desintegracions en un minut: calcula la seva activitat en becquerels.
2. b) Explica què li passa a l'activitat d'una mostra a mesura que passa el temps, relacionant-ho amb la disminució del nombre de nuclis.

Les dues vies per obtenir energia dels nuclis són la fissió i la fusió.

1. a) Defineix amb les teves paraules en què consisteix cadascuna.
2. b) Posa un exemple d'on té lloc cadascuna, de manera natural o tecnològica.
3. c) Quin dels dos processos és la font d'energia del Sol? Justifica-ho.

El tori-232 (${}^{232}_{90}\text{Th}$) emet primer una partícula alfa (${}^{4}_{2}\text{He}$) i el nucli resultant emet després una partícula beta menys (${}^{0}_{-1}\text{e}$). Observa l'esquema de la cascada:

1. a) Escriu l'equació de la primera desintegració i identifica el núclid fill (és un isòtop del radi, de $Z = 88$).
2. b) Escriu l'equació de la segona desintegració i identifica el núclid final (és un isòtop de l'actini, de $Z = 89$).
3. c) Comprova que a cada pas es conserven el nombre màssic i el nombre atòmic.

El iode-131, emprat en medicina nuclear, té una semivida de $8$ dies. Un hospital rep una mostra de $80\ \text{mg}$.

1. a) Quantes semivides han transcorregut al cap de $32$ dies?
2. b) Calcula la massa de iode-131 que queda sense desintegrar als $32$ dies.
3. c) Expressa aquesta massa com a percentatge de la massa inicial.

El tecneci-99m, el radiofàrmac més utilitzat en diagnòstic, té una semivida de $6\ \text{h}$. S'administra a un pacient una dosi l'activitat inicial de la qual és de $800\ \text{MBq}$ (recorda que el prefix mega significa $10^{6}$).

1. a) Calcula l'activitat que queda després de $6\ \text{h}$.
2. b) Calcula l'activitat que queda al cap d'un dia complet, $24\ \text{h}$.
3. c) Raona per què una semivida tan curta és un avantatge per al pacient i, al mateix temps, un problema logístic per a l'hospital.

En unes restes òssies trobades prop de les coves d'Altamira es mesura que la proporció de carboni-14 actual és la quarta part de la que tenien els ossos quan l'animal va morir. La semivida del carboni-14 és de $5730$ anys. La figura mostra la corba de decaïment del carboni-14.

1. a) Quantes semivides han transcorregut des de la mort de l'animal?
2. b) Calcula l'edat de les restes.
3. c) Explica per què el carboni-14 d'un organisme deixa de reposar-se quan aquest mor, i per què això permet utilitzar-lo com a «rellotge».

A la fusta d'un vaixell atribuït als víkings es mesura que la concentració de carboni-14 és la vuitena part de la de la fusta actual. La semivida del carboni-14 és de $5730$ anys.

1. a) Expressa la fracció $\frac{1}{8}$ com a potència de $\frac{1}{2}$ i dedueix quantes semivides han passat des que es va tallar l'arbre.
2. b) Calcula l'edat de la fusta.
3. c) Els víkings van navegar fa uns $1000$ anys: comenta si el resultat és compatible amb aquesta època i quines conclusions es podrien treure sobre el vaixell.

Una de les reaccions de fissió possibles de l'urani-235 és ${}^{235}_{92}\text{U} + {}^{1}_{0}\text{n} \rightarrow {}^{141}_{56}\text{Ba} + {}^{92}_{36}\text{Kr} + x \cdot {}^{1}_{0}\text{n}$. Observa l'esquema del procés:

1. a) Aplicant la conservació del nombre màssic, calcula el valor d'$x$.
2. b) Comprova que també es conserva el nombre atòmic.
3. c) Explica per què el fet que s'alliberin diversos neutrons en cada fissió fa possible una reacció en cadena.

Als reactors experimentals de fusió s'empra la reacció entre deuteri (${}^{2}_{1}\text{H}$) i triti (${}^{3}_{1}\text{H}$): ${}^{2}_{1}\text{H} + {}^{3}_{1}\text{H} \rightarrow {}^{4}_{2}\text{He} + {}^{A}_{Z}\text{X}$. Observa l'esquema:

1. a) Identifica la partícula ${}^{A}_{Z}\text{X}$ que s'emet, calculant els seus valors d'$A$ i d'$Z$.
2. b) Perquè dos nuclis es fusionin s'han d'acostar fins a uns $10^{-15}\ \text{m}$: explica quina força cal vèncer i per què fa falta escalfar el gas a més de $10^{8}\ \text{K}$.

La radiació alfa és la més ionitzant de les tres i, tanmateix, la menys penetrant; la gamma és la més penetrant i la menys ionitzant.

1. a) Explica què significa que una radiació sigui ionitzant.
2. b) Raona per què la radiació alfa, amb la seva gran capacitat d'ionitzar, amb prou feines travessa la capa externa de la pell.
3. c) L'americi-241 dels detectors de fum emet alfa: explica per què no suposa perill mentre roman dins de la seva carcassa, però ho seria si s'inhalés o s'ingerís.

Una font de cobalt-60 d'un equip de radioteràpia té una semivida de $5,27$ anys i una activitat inicial de $3,7 \cdot 10^{11}\ \text{Bq}$.

1. a) Expressa l'$12,5\ \%$ de l'activitat inicial com una potència de $\frac{1}{2}$.
2. b) Calcula quantes semivides han de transcórrer perquè la font quedi reduïda a aquest valor i el temps total que suposa.
3. c) Calcula l'activitat de la font en aquest moment.

L'activitat del carboni-14 en els organismes vius és d'unes $15$ desintegracions per minut i per gram de carboni. En un teixit humà prehistòric es mesura una activitat de tot just $1$ desintegració per minut i gram; pren-la com a $\frac{1}{16}$ de la inicial. La semivida del carboni-14 és de $5730$ anys.

1. a) Calcula l'edat del teixit.
2. b) Estima l'activitat que mesuraríem en una mostra d'uns $60000$ anys (unes $10$ semivides) i explica per què el mètode del carboni-14 deixa de ser fiable per a edats tan grans.

En la sèrie radioactiva de l'urani, el nucli de radi-226 (${}^{226}_{88}\text{Ra}$) acaba transformant-se en plom-206 (${}^{206}_{82}\text{Pb}$) emetent únicament partícules alfa i beta menys. Observa l'esquema:

1. a) Cada emissió alfa redueix $A$ en $4$ unitats i cada beta menys no el modifica: calcula quantes partícules alfa s'emeten en total per passar de $A = 226$ a $A = 206$.
2. b) Tenint en compte que cada alfa redueix $Z$ en $2$ unitats i cada beta menys l'augmenta en $1$, calcula quantes emissions beta menys calen per acabar en $Z = 82$.
3. c) Comprova que el balanç final de les dues lleis de conservació és coherent.

Al laboratori s'estudia una font radioactiva d'isòtop desconegut: es comprova que en $24$ dies la seva activitat s'ha reduït a la quarta part de la inicial.

1. a) Expressa la fracció que queda com a potència de $\frac{1}{2}$ i dedueix quantes semivides han transcorregut.
2. b) Calcula la semivida de l'isòtop.
3. c) Prediu quina fracció de l'activitat inicial quedarà després d'uns altres $24$ dies més, i comprova-ho amb el càlcul.

En cada fissió d'un nucli d'urani-235 s'alliberen uns $200\ \text{MeV}$. Dades: $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ i massa molar de l'urani-235: $235\ \text{g/mol}$.

1. a) Expressa l'energia alliberada en una sola fissió en joules.
2. b) Calcula quants nuclis hi ha en $1\ \text{kg}$ d'urani-235.
3. c) Calcula l'energia total alliberada en fissionar-se completament aquest quilogram i compara-la amb la gasolina, que allibera uns $4,6 \cdot 10^{7}\ \text{J/kg}$: quants quilograms de gasolina caldrien per igualar-la?

Al Sol, el balanç net de la cadena protó-protó és la unió de quatre protons per formar un nucli d'heli-4, amb un defecte de massa de $\Delta m = 0,0287\ \text{u}$ per cada heli format. Dades: $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$, $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$ i potència radiada pel Sol: $P = 3,8 \cdot 10^{26}\ \text{W}$.

1. a) Calcula l'energia alliberada en formar-se cada nucli d'heli, primer en $\text{MeV}$ i després en joules.
2. b) Calcula quants nuclis d'heli es formen cada segon a l'interior del Sol per sostenir aquesta potència.
3. c) Raona, sabent que la massa del Sol és d'uns $2 \cdot 10^{30}\ \text{kg}$, per què pot portar brillant així milers de milions d'anys.

Un aficionat a la paleontologia proposa datar amb carboni-14 un fèmur de dinosaure de $66$ milions d'anys d'antiguitat. La semivida del carboni-14 és de $5730$ anys i la del potassi-40, de $1,25 \cdot 10^{9}$ anys.

1. a) Calcula a quantes semivides del carboni-14 corresponen aquests $66$ milions d'anys.
2. b) Estima quina fracció de carboni-14 quedaria a l'os i explica per què el mètode resulta inútil en aquest cas.
3. c) Raona quina condició ha de complir la semivida d'un isòtop perquè serveixi per datar una mostra d'una edat donada, i justifica per què per a roques de milions d'anys s'utilitzen isòtops de semivida llarga com el potassi-40.

En la desintegració alfa del radi-226 en radó-222 s'allibera energia perquè la massa del radi és més gran que la suma de les masses dels productes. Dades: $m(\text{Ra}) = 226,0254\ \text{u}$, $m(\text{Rn}) = 222,0176\ \text{u}$, $m_{\alpha} = 4,0026\ \text{u}$ i $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) Calcula el defecte de massa del procés, en unitats u.
2. b) Calcula l'energia alliberada en cada desintegració, en $\text{MeV}$.
3. c) Explica en què s'inverteix aquesta energia i raona per què pràcticament tota apareix com a energia cinètica de la partícula alfa.