Exercicis: Nuclis atòmics i estabilitat d'isòtops

El potassi dels plàtans conté una petita fracció de l'isòtop potassi-40, el nucli del qual té nombre atòmic $Z = 19$ i nombre màssic $A = 40$.

1. a) Indica quants protons i quants neutrons té aquest nucli.
2. b) Escriu el seu símbol amb la notació ${}^{A}_{Z}\text{X}$.
3. c) Quants electrons té l'àtom neutre de potassi-40? Justifica la resposta.

En un nucli d'heli hi ha dos protons confinats en una regió d'uns $10^{-15}\ \text{m}$ de diàmetre. Com que tots dos tenen càrrega positiva, es repel·leixen elèctricament amb una força considerable; tanmateix, el nucli no es desfà.

1. a) Explica què és la força nuclear forta i per què aconsegueix mantenir unit el nucli.
2. b) Raona per què, tot i existir aquesta força, els nuclis amb massa protons acaben sent inestables.

El carboni té tres isòtops naturals: carboni-12, carboni-13 i carboni-14, tots amb $Z = 6$.

1. a) Explica què significa que dos nuclis siguin isòtops.
2. b) Calcula el nombre de neutrons del nucli de cadascun dels tres isòtops.
3. c) Tenen els tres isòtops les mateixes propietats químiques? Raona la resposta pensant en els seus electrons.

La unitat de massa atòmica (u) es defineix com la dotzena part de la massa d'un àtom de carboni-12, i equival a $1\ \text{u} = 1,66 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) La massa del nucli d'oxigen-16 és d'unes $16\ \text{u}$: expressa-la en quilograms, en notació científica.
2. b) Raona per què en física nuclear resulta més còmode treballar en unitats u que en quilograms.

Dels prop de $3000$ núclids coneguts, només uns $250$ són estables; la resta s'acaba desintegrant tard o d'hora.

1. a) Explica què significa que un nucli sigui estable i què li passa a un nucli inestable.
2. b) En els nuclis lleugers estables, el nombre de neutrons $N$ i el de protons $Z$ són gairebé iguals: indica quant val, aproximadament, la raó $\frac{N}{Z}$ en aquests nuclis.

El radi d'un àtom és de l'ordre de $10^{-10}\ \text{m}$, mentre que el del seu nucli és de l'ordre de $10^{-15}\ \text{m}$, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula quantes vegades és més gran el radi de l'àtom que el del nucli.
2. b) El volum d'una esfera és proporcional al cub del radi: estima quantes vegades és més gran el volum de l'àtom que el del nucli.
3. c) Explica, a la vista del resultat, per què es diu que l'àtom està gairebé buit.

Les mesures de precisió mostren que la massa d'un nucli d'heli-4 és menor que la suma de les masses dels seus dos protons i dos neutrons mesurats per separat.

1. a) Explica què és el defecte de massa d'un nucli.
2. b) En què s'ha transformat la massa que «falta»? Esmenta en la teva explicació la relació d'Einstein $E = \Delta m \cdot c^2$.

L'energia d'enllaç per nucleó és l'energia mitjana que costa arrencar un nucleó d'un nucli.

1. a) Defineix què és l'energia d'enllaç d'un nucli.
2. b) L'energia d'enllaç per nucleó és màxima en els nuclis de massa intermèdia, com el ferro, i menor en els molt lleugers i en els molt pesants: raona quins nuclis seran els més estables.

Considera aquests cinc núclids: ${}^{14}_{6}\text{C}$, ${}^{14}_{7}\text{N}$, ${}^{12}_{6}\text{C}$, ${}^{16}_{8}\text{O}$ i ${}^{15}_{7}\text{N}$.

1. a) Calcula el nombre de protons i de neutrons de cadascun.
2. b) Indica quines parelles són isòtops (mateix $Z$) i quina parella és isòbara (mateix $A$).
3. c) Assenyala dos núclids que tinguin el mateix nombre de neutrons (isòtons).

Dades: massa del protó $m_p = 1,0073\ \text{u}$, massa del neutró $m_n = 1,0087\ \text{u}$, massa del nucli d'heli-4 $m_{\alpha} = 4,0015\ \text{u}$ i $1\ \text{u} = 1,66 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la suma de les masses dels dos protons i els dos neutrons que formen el nucli d'heli-4, mesurats per separat.
2. b) Calcula el defecte de massa $\Delta m$ del nucli, en unitats u.
3. c) Expressa aquest defecte de massa en quilograms, en notació científica.

El defecte de massa del nucli d'heli-4 és $\Delta m = 0,0305\ \text{u}$, equivalent a $5,06 \cdot 10^{-29}\ \text{kg}$. Dades: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ i $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula l'energia d'enllaç del nucli amb la relació d'Einstein, $E = \Delta m \cdot c^2$, expressada en joules.
2. b) Converteix el resultat a $\text{MeV}$ (tingues en compte que $1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$).
3. c) Calcula l'energia d'enllaç per nucleó de l'heli-4.

A les taules de núclids es llegeix que l'energia d'enllaç per nucleó del ferro-56 val $8,8\ \text{MeV}$ i la de l'urani-235, $7,6\ \text{MeV}$, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula l'energia d'enllaç total de cadascun d'aquests dos nuclis.
2. b) Explica per què el ferro-56 és més estable que l'urani-235 encara que la seva energia d'enllaç total sigui menor.
3. c) Relaciona el resultat amb el fet que l'urani-235 alliberi energia en fissionar-se.

Dos protons dins d'un nucli estan separats per una distància de $10^{-15}\ \text{m}$, com es mostra a la figura. Dades: constant de Coulomb $K = 9 \cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ i càrrega del protó $e = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

1. a) Calcula la força elèctrica de repulsió entre ells aplicant la llei de Coulomb, $F = K \cdot \frac{e^2}{r^2}$.
2. b) El valor obtingut és enorme per ser una força entre partícules: explica quina conclusió es dedueix sobre la intensitat de la força nuclear forta que els manté units.

La raó $\frac{N}{Z}$ dels nuclis estables val aproximadament $1$ en els lleugers i creix fins a uns $1,5$ en els més pesants, com mostra la figura.

Calcula la raó $\frac{N}{Z}$ de cadascun d'aquests núclids i prediu, comparant amb aquesta tendència, si cal esperar que siguin estables o inestables:

1. a) ${}^{12}_{6}\text{C}$
2. b) ${}^{14}_{6}\text{C}$
3. c) ${}^{206}_{82}\text{Pb}$
4. d) ${}^{238}_{92}\text{U}$

Marie Curie va aïllar el radi el $1898$, i durant dècades l'activitat d'$1\ \text{g}$ de radi-226 va servir com a unitat de mesura, el curie. Dades: $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ i massa molar del radi-226: $226\ \text{g/mol}$.

1. a) Calcula quants nuclis de radi-226 hi ha en una mostra d'$1\ \text{mg}$.
2. b) Calcula quants nuclis hi ha en $1\ \text{g}$, la quantitat que definia el curie.

En física nuclear s'utilitza l'equivalència entre massa i energia $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) El defecte de massa del deuteri (nucli d'hidrogen-2) és $\Delta m = 0,0024\ \text{u}$: calcula la seva energia d'enllaç en $\text{MeV}$.
2. b) Calcula la seva energia d'enllaç per nucleó i compara-la amb la del ferro-56 ($8,8\ \text{MeV}$ per nucleó): raona quin dels dos nuclis és més estable.

Dades: massa del protó $m_p = 1,0073\ \text{u}$, massa del neutró $m_n = 1,0087\ \text{u}$, massa del nucli de ferro-56 $m(\text{Fe}) = 55,9207\ \text{u}$ i $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) El ferro-56 té $Z = 26$: indica quants protons i quants neutrons conté el seu nucli.
2. b) Calcula el seu defecte de massa, en unitats u.
3. c) Calcula la seva energia d'enllaç total i la seva energia d'enllaç per nucleó, en $\text{MeV}$.
4. d) Sabent que l'energia d'enllaç per nucleó del carboni-12 és de $7,7\ \text{MeV}$, raona quin dels dos nuclis és més estable i quin procés, fusió o fissió, podria alliberar energia partint de cadascun.

La corba d'energia d'enllaç per nucleó respecte al nombre màssic $A$ creix ràpidament des dels nuclis més lleugers, arriba a un màxim al voltant del ferro-56 ($8,8\ \text{MeV}$ per nucleó) i descendeix després suaument fins a uns $7,6\ \text{MeV}$ en l'urani-235.

1. a) Esbossat al teu quadern aquesta corba, marcant el màxim i les zones de nuclis lleugers i pesants.
2. b) Explica, a partir de la forma de la corba, per què la fusió de nuclis lleugers allibera energia.
3. c) Explica, amb el mateix argument, per què la fissió de nuclis molt pesants també allibera energia.
4. d) Raona per què no es pot obtenir energia ni fusionant ni fissionant nuclis de ferro.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

L'energia d'enllaç total del triti (nucli d'hidrogen-3) és de $8,48\ \text{MeV}$. Dades: $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$, $m_p = 1,0073\ \text{u}$ i $m_n = 1,0087\ \text{u}$.

1. a) Calcula el defecte de massa del triti, en unitats u.
2. b) Sabent que el triti té un protó i dos neutrons, calcula la massa del seu nucli.
3. c) Calcula la seva energia d'enllaç per nucleó i, comparant-la amb la de l'heli-4 ($7,1\ \text{MeV}$), raona per què la fusió de deuteri i triti per formar heli allibera energia.

L'oxigen només té tres isòtops estables: ${}^{16}_{8}\text{O}$, ${}^{17}_{8}\text{O}$ i ${}^{18}_{8}\text{O}$. Els isòtops amb excés de neutrons tendeixen a desintegrar-se per emissió beta menys ($\beta^{-}$: un neutró es converteix en protó), i els que tenen dèficit de neutrons, per emissió beta més ($\beta^{+}$: un protó es converteix en neutró).

1. a) Calcula la raó $\frac{N}{Z}$ de l'${}^{14}_{8}\text{O}$ i de l'${}^{21}_{8}\text{O}$ i compara-la amb la de l'${}^{16}_{8}\text{O}$.
2. b) Prediu quin tipus de desintegració patirà cadascun d'aquests dos isòtops inestables, justificant la resposta.
3. c) Escriu l'equació de cada procés i identifica el núclid fill que es forma en cada cas.

Poc després del Big Bang, els protons i neutrons de l'univers primitiu es van unir formant deuteri, i en cada unió es va emetre un fotó gamma. Dades: $m_p = 1,0073\ \text{u}$, $m_n = 1,0087\ \text{u}$, massa del nucli de deuteri $m_d = 2,0136\ \text{u}$ i $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) Calcula el defecte de massa del procés en què un protó i un neutró formen un nucli de deuteri.
2. b) Calcula l'energia alliberada en la formació de cada nucli de deuteri, en $\text{MeV}$.
3. c) On va a parar aquesta energia? Explica el paper del fotó gamma emès.

El radi d'un nucli es pot estimar amb l'expressió $R = R_0 \cdot A^{1/3}$, on $R_0 = 1,2 \cdot 10^{-15}\ \text{m}$ i $A$ és el nombre màssic. Per al ferro-56 pren $A^{1/3} \approx 3,8$ i una massa nuclear de $9,3 \cdot 10^{-26}\ \text{kg}$. El volum d'una esfera és $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3$, amb $\pi \approx 3,14$.

1. a) Calcula el radi del nucli de ferro-56.
2. b) Calcula el seu volum i la seva densitat, en $\text{kg/m}^3$.
3. c) La matèria d'un estel de neutrons té una densitat semblant a la nuclear: calcula la massa que tindria una cullerada petita d'$5\ \text{cm}^3$ d'aquesta matèria i comenta el resultat.

Quan un estel massiu esgota el combustible del seu nucli, acaba produint ferro-56, un núclid situat pràcticament al màxim de l'energia d'enllaç per nucleó.

1. a) Explica, a partir de la corba d'energia d'enllaç per nucleó, per què fusionar ferro no allibera energia, sinó que en consumeix.
2. b) Raona quina conseqüència té això per a l'estel, que deixa de tenir font d'energia al seu nucli.
3. c) Els elements més pesants que el ferro es formen sobretot per captura de neutrons durant les explosions de supernova: explica per què aquests elements són molt més escassos a l'univers que el ferro.

Tota l'electricitat consumida a Espanya durant un any és de l'ordre d'$9 \cdot 10^{17}\ \text{J}$. Dades: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Suposa que aquesta energia s'obtingués convertint massa directament en energia, amb un rendiment del $100\ \%$: calcula, amb $E = \Delta m \cdot c^2$, la massa que caldria convertir.
2. b) Comenta el resultat: et sembla molta o poca massa per proveir d'electricitat un país sencer durant un any?
3. c) Un alumne afirma: «en les reaccions nuclears la massa es conserva, igual que en les reaccions químiques». Corregeix la seva afirmació i explica què és el que sí que es conserva en una reacció nuclear.