Exercicis: Aplicacions tecnològiques i sanitàries

En medicina nuclear de diagnòstic s'administren al pacient quantitats molt petites de radiofàrmacs, substàncies marcades amb isòtops radioactius que s'acumulen a l'òrgan que es vol estudiar.

1. a) Explica quin avantatge ofereix utilitzar un isòtop radioactiu per estudiar el funcionament d'un òrgan des de fora del cos.
2. b) Raona per què interessa que el radiofàrmac tingui una semivida d'hores i no d'anys.

La radioteràpia utilitza radiacions ionitzants per a destruir tumors.

1. a) Explica per què les radiacions ionitzants danyen sobretot les cèl·lules que es divideixen amb rapidesa, com ara les canceroses.
2. b) Indica quina diferència hi ha entre la dosi de radiació utilitzada en una prova de diagnòstic i la utilitzada en radioteràpia.
3. c) Esmenta una precaució lògica per a protegir els teixits sans que envolten el tumor durant el tractament.

Una central nuclear de fissió és, en essència, una gran caldera: la calor generada al reactor escalfa aigua el vapor de la qual mou turbines acoblades a un generador elèctric.

1. a) Indica quin procés físic subministra la calor al reactor.
2. b) Explica la funció del moderador (aigua o grafit) que envolta les barres de combustible.
3. c) Descriu la cadena de transformacions d'energia des del nucli d'urani fins a la xarxa elèctrica.

En un reactor, cada fissió d'urani-235 allibera entre dos i tres neutrons, que poden provocar noves fissions en els nuclis veïns, com es mostra a la figura.

1. a) Explica què és una reacció en cadena.
2. b) Indica quina és la funció de les barres de control de cadmi o de bor que s'insereixen entre el combustible.
3. c) Raona què passaria si es retiressin massa barres i el nombre de neutrons creixés sense límit.

El projecte internacional ITER, en construcció al sud de França, pretén demostrar que la fusió nuclear pot ser una font d'electricitat viable.

1. a) Indica quins dos isòtops de l'hidrogen es pretén fusionar a l'ITER.
2. b) Assenyala dos avantatges de la fusió respecte a la fissió com a font d'energia.
3. c) Explica per què un reactor de fusió no pot patir una reacció en cadena descontrolada com la d'un reactor de fissió.

Els residus radioactius es classifiquen segons la seva activitat i segons el temps que triguen a perdre-la.

1. a) Posa un exemple de residu de baixa activitat procedent d'un hospital i un altre d'alta activitat procedent d'una central nuclear.
2. b) Explica per què els residus d'alta activitat necessiten emmagatzematge vigilat durant moltíssim més temps.
3. c) Raona per què els residus es «confinen» en lloc de destruir-se: es pot «apagar» o «cremar» la radioactivitat d'un material?

L'efecte biològic de la radiació es mesura en sieverts ($\text{Sv}$), i rebem dosis naturals contínuament: del radó del sòl, dels rajos còsmics, dels aliments i fins i tot del nostre propi cos.

1. a) Ordena de menor a major aquestes dosis efectives típiques: radiografia de tòrax ($0,1\ \text{mSv}$), vol transatlàntic ($0,1\ \text{mSv}$) i fons natural rebut en un any ($2,4\ \text{mSv}$).
2. b) Raona per què les tripulacions dels avions reben una dosi anual més gran que la població que viu en superfície.

Les fonts radioactives tenen moltes aplicacions fora de la medicina i de la producció d'electricitat.

1. a) En la construcció d'oleoductes es «radiografien» les soldadures amb fonts gamma: explica en què es basa aquesta tècnica de control de qualitat.
2. b) En la indústria del paper s'utilitzen fonts beta per a controlar el gruix del full de manera contínua: raona en què consisteix el mètode.
3. c) El material quirúrgic d'un sol ús s'esterilitza amb radiació gamma: indica per què es prefereix aquest procediment a la calor.

El tecneci-99m (semivida $6\ \text{h}$) no es pot transportar a llarga distància, així que els hospitals l'obtenen in situ d'un «generador» de molibdè-99 (semivida $66\ \text{h}$), que es desintegra produint-lo.

1. a) Si del generador s'extreu una mostra de tecneci-99m amb una activitat de $1000\ \text{MBq}$, calcula l'activitat disponible $12\ \text{h}$ després.
2. b) Calcula quina fracció de l'activitat inicial queda al cap de $18\ \text{h}$.
3. c) Raona per què l'hospital no pot demanar tecneci-99m a una fàbrica llunyana, però sí rebre cada setmana un generador de molibdè-99.

En una prova PET s'administra fluor-18, que emet positrons. Cada positró s'anihila amb un electró del cos i la massa de tots dos es converteix en dos fotons gamma idèntics que surten en direccions oposades, com es mostra a la figura. Dades: massa de l'electró $m_e = 9,11 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$, $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ i $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula l'energia total alliberada en l'anihilació d'un electró i un positró (que té la mateixa massa) aplicant $E = m \cdot c^2$.
2. b) Calcula l'energia de cada fotó i expressa-la en $\text{keV}$.
3. c) Explica per què els detectors de l'anell de l'escàner enregistren els dos fotons pràcticament alhora i quina informació dona aquesta coincidència sobre el punt on ha tingut lloc l'anihilació.

Un reactor nuclear subministra una potència tèrmica de $3000\ \text{MW}$. Cada fissió d'urani-235 allibera uns $200\ \text{MeV}$. Dades: $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$ i $1\ \text{MW} = 10^{6}\ \text{W}$.

1. a) Expressa l'energia alliberada en una fissió en joules.
2. b) Calcula quantes fissions s'han de produir cada segon per a sostenir aquesta potència tèrmica.
3. c) Si el rendiment de la central en transformar la calor en electricitat és del $33\ \%$, calcula la potència elèctrica que lliura a la xarxa.

En braquiteràpia es col·loquen fonts radioactives al costat del tumor, o fins i tot a dins. Per a certs tumors de pròstata s'implanten «llavors» permanents de iode-125, amb una semivida de $59$ dies.

1. a) Explica quin avantatge té irradiar el tumor des de dins, en comparació d'irradiar-lo des de l'exterior amb un feix extern.
2. b) Calcula quina fracció de l'activitat inicial de les llavors queda al cap de $236$ dies.
3. c) Raona per què convé que l'isòtop implantat tingui una semivida de setmanes o mesos i no d'anys.

A l'interior de l'ITER, el plasma de deuteri i triti ha d'assolir uns $1,5 \cdot 10^{8}\ \text{K}$, unes deu vegades la temperatura del centre del Sol. Observa l'esquema del tokamak:

1. a) Explica per què cap material pot servir de «recipient» que toqui el plasma i en què consisteix la solució del confinament magnètic dels reactors de tipus tokamak.
2. b) Raona per què al Sol, amb una temperatura central molt menor, la fusió sí que se sosté de manera estable, pensant en la seva enorme massa.
3. c) L'objectiu de l'ITER és produir deu vegades més potència de fusió de la que s'injecta per a escalfar el plasma: explica què significa aquest objectiu i per què suposaria una fita històrica.

Una font gamma puntual emet en totes direccions, de manera que la dosi rebuda disminueix amb el quadrat de la distància. A $1\ \text{m}$ de certa font industrial la taxa de dosi és de $8\ \mu\text{Sv/h}$. La figura mostra aquesta dependència.

1. a) Calcula la taxa de dosi a $2\ \text{m}$ i a $4\ \text{m}$ de la font.
2. b) Calcula a quina distància la taxa es redueix a la centèsima part del valor mesurat a $1\ \text{m}$.
3. c) La protecció radiològica es resumeix en tres regles: temps, distància i blindatge. Relaciona cadascuna d'aquestes regles amb els resultats anteriors i explica com redueixen la dosi rebuda.

El radó-222 és un gas radioactiu natural, procedent de la cadena de desintegració de l'urani-238 present en sòls granítics, que es filtra als habitatges i s'acumula en soterranis mal ventilats. La seva semivida és de $3,8$ dies.

1. a) Explica per què, encara que cada àtom de radó desapareix en pocs dies, el radó d'una casa sobre sòl granític mai no s'«esgota».
2. b) Si es tanca hermèticament aire amb una certa quantitat de radó, calcula quina fracció en queda al cap de $15,2$ dies.
3. c) Indica una mesura senzilla per a reduir la concentració de radó en un habitatge i justifica-la físicament.

En algunes plantes s'irradien espècies i altres aliments amb radiació gamma de cobalt-60 per a eliminar bacteris, floridures i insectes.

1. a) Explica com aconsegueix la radiació gamma eliminar els microorganismes.
2. b) Raona per què l'aliment irradiat no es torna radioactiu, tenint en compte que a les energies utilitzades la radiació no arriba a modificar els nuclis dels àtoms de l'aliment.
3. c) Quan la font no s'utilitza, se submergeix en una piscina d'aigua o es guarda darrere de murs gruixuts de formigó: justifica aquesta mesura amb les propietats de penetració de la radiació gamma.

A Espanya, les centrals nuclears subministren al voltant del $20\ \%$ de l'electricitat pràcticament sense emissions de $\text{CO}_2$, però generen residus de llarga durada i el seu tancament progressiu està previst.

1. a) Exposa dos arguments tècnics a favor de mantenir les centrals nuclears dins del mix elèctric.
2. b) Exposa dos arguments tècnics en contra de mantenir-les.
3. c) Argumenta, amb criteris de física (emissions, residus, estabilitat del subministrament, riscos), quina posició et sembla més raonable: tancament programat, manteniment o aposta per la fusió a llarg termini.

Una central nuclear de $1\ \text{GW}$ de potència elèctrica té un rendiment del $33\ \%$. En cada fissió d'urani-235 s'alliberen $200\ \text{MeV}$. Dades: $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$, massa molar de l'urani-235: $235\ \text{g/mol}$ i un any $\approx 3,15 \cdot 10^{7}\ \text{s}$.

1. a) Calcula la potència tèrmica del reactor.
2. b) Calcula el nombre de fissions que es produeixen cada segon i l'energia tèrmica generada en un any.
3. c) Calcula la massa d'urani-235 que es fisiona en aquest any, expressa-la en tones i comenta el resultat comparant-lo amb els milions de tones de carbó que cremaria una central tèrmica equivalent.

La reacció deuteri-triti allibera $17,6\ \text{MeV}$ per cada parell de nuclis fusionats. Dades: $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$, masses molars: deuteri $2\ \text{g/mol}$ i triti $3\ \text{g/mol}$, i poder energètic del carbó: $3 \cdot 10^{7}\ \text{J/kg}$.

1. a) Calcula l'energia alliberada en cada reacció, en joules.
2. b) Calcula l'energia alliberada en fusionar-se completament $5\ \text{g}$ de mescla deuteri-triti (un mol de parells).
3. c) Calcula quants quilograms de carbó farien falta per a obtenir la mateixa energia i extreu una conclusió sobre la densitat energètica del combustible de fusió.
4. d) Malgrat aquest avantatge, encara no hi ha centrals de fusió comercials: esmenta dues dificultats tècniques que ho expliquin.

Per a tractar el càncer de tiroide s'administra al pacient iode-131 (semivida $8$ dies), que l'organisme concentra de manera natural en aquest òrgan.

1. a) Explica per què el iode, radioactiu o no, s'acumula justament a la tiroide i quin avantatge suposa això per al tractament.
2. b) Calcula quants dies han de transcórrer perquè l'activitat del iode-131 administrat baixi al $25\ \%$ i al $12,5\ \%$ de la inicial.
3. c) Després del tractament, el pacient ha de dormir sol i mantenir la distància amb els altres uns dies: relaciona aquestes normes amb els resultats de l'apartat anterior i raona per què el mateix isòtop serveix per a diagnosticar (dosis petites) i per a tractar (dosis altes).

Les sondes Voyager, llançades el $1977$, estan massa lluny del Sol per a utilitzar panells solars: s'alimenten d'un generador termoelèctric de radioisòtops (RTG) amb plutoni-238, de semivida $87,7$ anys.

1. a) Raona per què una semivida llarga és集群 imprescindible per a alimentar una missió que dura dècades.
2. b) Suposa que els instruments necessiten almenys el $25\ \%$ de la potència inicial del plutoni: calcula quantes semivides pot durar el generador i a quants anys equival.
3. c) A la pràctica, les Voyager perden potència sobretot per l'envelliment dels seus termoparells, no pel decaïment del plutoni: explica què significa això i per què la semivida només marca un límit teòric de durada.

Després dels accidents de Txernòbil ($1986$) i Fukushima ($2011$), els mitjans van parlar d'«explosió nuclear», però un reactor de potència no pot esclatar com una bomba atòmica.

1. a) El combustible de les centrals està enriquit només entre un $3\ \%$ i un $5\ \%$ en urani-235, mentre que una bomba necessita més del $90\ \%$: explica, basant-te en la idea de reacció en cadena, per què amb un $4\ \%$ d'enriquiment la reacció no pot «disparar-se» com en una bomba.
2. b) Llavors, què va ser el que va explotar a Txernòbil i a Fukushima? Distingeix els dos casos: a Txernòbil, relaciona-ho amb la pujada brusca de potència del reactor durant una prova i la generació sobtada de vapor; a Fukushima, amb la calor residual que continuen generant els productes de fissió després d'apagar el reactor i amb l'acumulació de vapor i hidrogen.
3. c) Explica en què consisteixen les barreres de defensa en profunditat (beines del combustible, vas del reactor i edifici de contenció) i quina funció compleix cadascuna.

Dos productes de fissió abundants en els residus són l'estronci-90 i el cesi-137, tots dos amb una semivida d'uns $30$ anys; el plutoni-239, en canvi, té una semivida de $24000$ anys.

1. a) Calcula quantes semivides han de passar perquè una mostra quedi per sota de l'$0,1\ \%$ de la seva activitat inicial (ajuda: $\left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1}{1024}$).
2. b) Calcula el temps que això suposa per al cesi-137.
3. c) Fes la mateixa estimació per al plutoni-239 i raona per què per als residus de vida llarga es proposen l'emmagatzematge geològic profund i la recerca en tècniques de transmutació.

Dosis efectives típiques: radiografia de tòrax, $0,1\ \text{mSv}$; TAC d'abdomen, $10\ \text{mSv}$; vol transatlàntic, $0,1\ \text{mSv}$; fons natural rebut en un any, $2,4\ \text{mSv}$.

1. a) Calcula a quantes radiografies de tòrax equival, en dosi, un TAC d'abdomen.
2. b) Calcula a quants anys de fons natural equival aquest mateix TAC.
3. c) El principi ALARA («tan baix com sigui raonablement possible») guia la pràctica de la medicina nuclear i la radiologia: utilitza'l per a argumentar quan està justificat fer un TAC malgrat la seva dosi i quines precaucions cal exigir.

Repte del tema. Com gestiona un hospital el subministrament de radiofàrmacs amb períodes de semidesintegració curts? Actua com a radiofísic hospitalari i analitza la logística del $^{99\text{m}}\text{Tc}$ ($t_{1/2} = 6,0\text{ h}$):

1. Experiment casolà: Simula la desintegració exponencial llançant $N_0 = 80$ monedes (o llenties marcades). En cada pas $t$ (tirades 1 a 6), retira les desintegrades (cares). Registra els nuclis supervivents $N$ en una taula amb la seva incertesa ($N \pm 1$), representa la gràfica $N(t)$ i estima la constant $\lambda$.

2. Estabilitat nuclear: Consulta al web del Consell de Seguretat Nuclear (csn.es) com s'obté el $^{99\text{m}}\text{Tc}$ a partir del $^{99}\text{Mo}$. Justifica el procés d'emissió $\beta^-$ analitzant la relació $N/Z$, el defecte de massa i l'energia d'enllaç per nucleó que determinen la seva estabilitat.

3. Proposta tècnica: Elabora un informe breu: calcula l'activitat inicial que s'ha de preparar a les $08:00\text{ h}$ per injectar una dosi diagnòstica de $150\text{ MBq}$ a les $14:00\text{ h}$, i avalua els protocols de protecció radiològica i gestió dels residus generats.

Es valorarà:

• Rigor en el tractament de dades experimentals casolanes, taula amb incerteses i ajust gràfic.

• Correcció conceptual en explicar l'estabilitat nuclear, el defecte de massa i els processos radioactius.

• Viabilitat dels càlculs d'activitat i coherència en la valoració de l'ús mèdic de radioisòtops.